巧用輔助元解答高中數(shù)學(xué)試題

【摘要】在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可引入輔助元的解題方法，就是把題目中的部分元素進行重新排列與組合，構(gòu)造出新的變量即為輔助元.本文據(jù)此展開分析和探討，并羅列幾道例題.

【關(guān)鍵詞】輔助元；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

在高中教育階段，隨著數(shù)學(xué)知識難度的提升，題目難度系數(shù)也隨之變大，不少問題采用常規(guī)方法很難求解，過程較為繁瑣，極易出現(xiàn)錯誤，部分題目甚至無法求出結(jié)果.這時高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)解題需求構(gòu)造輔助元，使其通過合理構(gòu)造輔助元，像函數(shù)、方程和圖形等，借此把陌生問題變得熟悉化，復(fù)雜題目變得簡單化，幫助他們巧妙解答數(shù)學(xué)題.

1 構(gòu)造數(shù)列輔助元巧解答數(shù)學(xué)試題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中構(gòu)造輔助元是一種常規(guī)解題思路，指引學(xué)生借助點位于曲線之上順利構(gòu)造出輔助性數(shù)列，如果相鄰2項或者3項存在著線性遞推規(guī)律，即可用到待定系數(shù)法將復(fù)雜化的數(shù)列轉(zhuǎn)變?yōu)榈缺葦?shù)列，或者讓他們按照題設(shè)關(guān)系，構(gòu)造出相應(yīng)的等差或等比數(shù)列，優(yōu)化解題思路.

例1 已知一個數(shù)列an，n∈N*，an+1=2an+2n+1+3n－1，而且a3=52，那么數(shù)列an的通項公式是什么？

分析 處理這一題目時，可根據(jù)題設(shè)中給出的已知條件an+1，2an，2n+1，3n之間“齊次式”的特點展開整體變形，結(jié)合式子特點通過聯(lián)想巧妙構(gòu)造出新的數(shù)列輔助元，便于找到解題的突破口，隨后借助累加法即可求得數(shù)列an的通項公式.

詳解 將an+1=2an+2n+1+3n－1兩邊同時除以2n+1，

能夠得到an+12n+1－an2n=3n2n+1－12n+1+1，且（n∈N*），

然后用“累加法”進行求解，

可以得到an2n－a12=12［32+（32）2+…+（32）n－1］－12［12+（12）2+…+（12）n－1］+n－1，

因為a3=52，

an+1=2an+2n+1+3n－1，

所以求得a1=6，

故數(shù)列an的通項公式an=n·2n+3n+1，且（n∈N*）.

2 構(gòu)造函數(shù)輔助元解答數(shù)學(xué)試題

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)實踐中，函數(shù)既是重要知識點之一，還是屬于解題中比較常用的一個工具，在訓(xùn)練中，教師可提示學(xué)生基于函數(shù)視角切入來分析題干內(nèi)容，由此順利構(gòu)造相應(yīng)的輔助元函數(shù)，引領(lǐng)他們借助函數(shù)有關(guān)知識處理與解答題目，使其形成清晰的解題思路.為此，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)借助有關(guān)練習(xí)融入構(gòu)造函數(shù)輔助元的解題方法與思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)建函數(shù)輔助元來進行解題，輔助他們快速解答導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與方程等多類試題.

例2 已知（3tanα+cotβ）3+tan3α+4tanα+cotβ=0，且α≠kπ+π2，β≠k，k∈Z，請證明：4tanα+cotβ=0.

分析 審?fù)觐}之后，從表面上來看是一道有關(guān)三角函數(shù)的題目，假如純粹f使用角代換、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的方法來求解，很難求解，不過可以先認(rèn)真研究題設(shè)特點，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)輔助元函數(shù)，再巧妙證明，即把4tanα+cotβ轉(zhuǎn)化成（3tanα+cotβ）+tanα，將3tanα+cotβ視為函數(shù)f（x）=x3+x上的一個零點，由此構(gòu)造出一個新的函數(shù)f（x），隨后借助函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性完成證明.

證明 將原式變形為（3tanα+cotβ）3+ tan3α+4tanα+cotβ

=（3tanα+cotβ）3+3（tanα+cotβ）+tan3α+tanα=0，

然后設(shè)函數(shù)f（x）=x3+x，

根據(jù)α≠kπ+π2，β≠k，k∈Z可知該函數(shù)為一個單調(diào)遞增函數(shù)，且還是一個奇函數(shù)，

所以f（3tanα+cotβ）=－f（tanα）=f（－tanα），

依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的特點能夠得到3tanα+cotβ=－tanα，

也就是4tanα+cotβ=0.

3 構(gòu)造圖形輔助元解答數(shù)學(xué)試題

眾所周知，數(shù)學(xué)知識主要包含代數(shù)與幾何這兩個板塊，數(shù)形結(jié)合思想也是高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中應(yīng)當(dāng)掌握的數(shù)學(xué)思想方法之一，可實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的彼此轉(zhuǎn)化，能夠讓他們找到更為適當(dāng)?shù)慕忸}思路.高中數(shù)學(xué)教師可引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)題目構(gòu)造圖形輔助元，包括輔助線、輔助多邊形或輔助圓等.通過對數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用，學(xué)會運用熟悉圖形的幾何性質(zhì)分析與解答繁難題目，達(dá)到化難為易的效果，提升他們的解題自信.

例3 已知α，β和γ均屬于銳角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，請問tanα·tanβ·tanγ的取值范圍是什么？

分析 讀完題干內(nèi)容以后，發(fā)現(xiàn)這是一道典型的三角函數(shù)類題目，雖然題干信息不多，但是如果直接運用三角函數(shù)相關(guān)公式來求解的話，解題過程將會異常繁瑣，不僅容易陷入到困境當(dāng)中，而且出錯概率較大，以至于很難證明結(jié)論.這時就要另辟蹊徑，突破固有解題思維的禁錮，借助構(gòu)造輔助元的方法解答試題，具體而言是根據(jù)已知條件構(gòu)造一個輔助長方體，依托數(shù)形結(jié)合思想的功效，把“數(shù)”和“形”巧妙結(jié)合到一起，最終結(jié)合長方體中的邊和角關(guān)系展開證明.

詳解 根據(jù)題意構(gòu)造出一個輔助長方體ABCD－A1B1C1D1，如圖1所示，設(shè)假該長方體的長、寬、高是a，b，c，與頂點A相交的3條棱與對角線AC1所形成的夾角分別為α，β和γ，

因cos2α+cos2β+cos2γ=1成立，

所以tanα·tanβ·tanγ

=a2b2c×b2c2a×a2c2b

≥2ab＋2bc＋2acabc

=22，

所以說tanα·tanβ·tanγ的取值范圍是［22，+∞）.

4 結(jié)語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動中，由于知識點難度較大，題目綜合性較強，學(xué)生在解題過程中不能僅僅依靠已有的公式或者定理.當(dāng)處理一部分難度系數(shù)較高的試題時，要注意聯(lián)系與類比，找出題干中已知條件與結(jié)論之間存在的關(guān)系，使其根據(jù)實際情況巧妙構(gòu)造和使用適當(dāng)?shù)妮o助元進行解題，盡可能把式子作簡化處理，最終讓他們高效地解答數(shù)學(xué)試題.

參考文獻：

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