處理復雜函數式極值點問題的策略

【摘要】導數問題中不可避免的一步就是對函數求導過后的極值點進行研究，但是往往出題人不會將極值點以簡單的形式呈現，經常以復雜函數式的方式給考生設置障礙，讓極值點難以直接得到.本文結合幾道典型例題探討解決此類問題的幾種策略.

【關鍵詞】高中數學；復雜函數；極值點

對于復雜函數式極值點問題，就應該拋棄傳統思維，轉而去研究一些其他的方法讓極值點變得可求，或者跳過極值點進行研究.本文就根據幾道例題談談此類復雜函數式極值點問題解法策略.

策略1 分解函數法

試題中經常會遇到原函數很復雜、由多種函數混合而成的情況，如指數函數、三角函數等，直接進行求導可能會因為各種函數求導結果的不同而導致極值點難以分析，此時就可以采取將導數進行分解，變為幾個簡單函數相加的形式，這樣就能夠便于處理.

例1 設函數f（x）=a（x－lnx）+2x－1x2（a∈R），求證：當a=1時，f（x）>f′（x）+32對于任意的x∈［1，2］恒成立.

證明 當a=1時，

f（x）=x－lnx+2x－1x2，

f′（x）=1－1x－2x2+2x3.

即x－lnx+2x－1x2>1－1x－2x2+2x3+32，

轉化后得到x－lnx+3x+1x2－2x3>52.

令函數g（x）=x－lnx，h（x）=3x+1x2－2x3，則只需要證明g（x）+h（x）>52對任意的x∈［1，2］恒成立.

由于g′（x）=x－1x≥0，從而g（x）在（1，2）上單調遞增，g（x）≥g（1）=1，當且僅當x=1時取等號，

由于h′（x）=－3x2+2x－6x4，

令h′（x）=0可得x=19－13.

從而得到h（x）在1，19－13上單調遞增，在19－13，2上單調遞減，

所以h（x）的最小值為h（1）或h（2）.

h（1）=2，h（2）=32，

所以h（x）≥h（2）=32，當且僅當x=2時取等號.

因為g（x）≥g（1）=1，

所以g（x）+h（x）>52，

所以f（x）>f′（x）+32在［1，2］上恒成立.

分解函數法的關鍵在于將函數進行合理的拆分，使得原函數變為單個的簡單函數，再進行研究.一般來說，常用的分解準則就是不同類型的函數進行拆分，求導后易于求解極值點的可以作為整體等.這需要學生在平時的練習中總結經驗.

策略2 等價轉化法

等價轉化法的原理是將導數零點問題轉化為其他代數式是否成立的問題，其根本上并沒有改變題目的整體性質，而是經過合理的變換將條件轉化成易于求解的形式，從而形成一個便于解決的新的問題.學生需要仔細閱讀題目，找尋可等價轉化的量或表達式，通過代數轉化使其形式精簡，答案就顯而易見了.

例2 設函數f（x）=ex+x－a，若曲線y=sinx上存在點（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，求a的取值范圍.

解 因為y0=sinx0∈［－1，1］，

且f（x）≥0，f（f（y0））=y0，

所以y0∈［0，1］.

又因為f（x）在定義域上是單調遞增的，

若f（y0）>y0，則f（f（y0））>f（y0）>y0與f（f（y0））=y0相矛盾，

同理f（y0）<y0也不成立，

所以f（y0）=y0，即f（x）=x在［0，1］上有解，

即ex+x－a=x，

可得a=ex+x－x2.

令g（x）=ex+x－x2，

則g′（x）=ex+1－2x≥0恒成立，

所以g（x）在［0，1］上單調遞增，

所以g（x）∈［g（0），g（1）］，即a∈［1，e］.

等價轉化法有多種類型的轉化，例如此題就是將原問題轉化為了可以用分類討論來簡化的形式.此外，還可以考慮將函數問題轉化為方程問題、幾何問題等.要達到簡化和等價的目的，就必然要有巧妙的轉化，聯系各種數學知識之間的關系，猜測出題人意圖就能解出答案.

策略3 降冪轉化法

在題目中遇到函數式的冪次不等時，就可以考慮使用降冪轉化法使整個表達式轉化為統一的冪次，或者是在運算過程中通過一些辦法將運算式轉化為所需要的冪次.這就需要學生根據題目所給條件合理轉化，有時求導也能起到降冪的作用.

例3 已知函數f（x）=x3+x2+ax+127有三個零點，求實數a的取值范圍.

解 f′（x）=3x2+2x+a，

則Δ=4（1－3a）>0，

從而a<13.設x1，x2（x1<x2）是f′（x）=0的兩個根，

則f（x）在（－∞，x1）和（x2，+∞）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，

所以f（x）的極大值和極小值分別為f（x1），f（x2），

且由3x12+2x1+a=0可以得出x12=－2x1+a3，

f（x1）=x13+x12+ax1+127=x1（－2x1+a3）－2x1+a3+ax1+127=6a－29x1+1－3a27，

所以f（x1）f（x2）=（6a－2）281x1x2－2（1－3a）29×27

（x1+x2）+1－3a272.

將x1+x2=－23，x1x2=a3代入并化簡可得到關鍵式：f（x1）f（x2）=（1－3a）227（12a+5），從而由f（x1）f（x2）<0得到a<－512.

降冪轉化法是一種很具有數學意義的方法，主要體現在其在數學維度上的降低.高次式轉化為低次式是永恒不變的數學問題解決方法.解決此類問題要抓住題目中降冪的關鍵式才能一步到位.

策略4 放縮法

放縮法的關鍵在于在一定的范圍內通過將原代數式和另一代數式進行比較，選擇適當的差量進行形式的簡化，常見的不等式有ex≥x+1，ex≥ex，lnx≥－1ex，1－1x≤lnx≤x－1，等等.同學們需要根據題目靈活選擇.放縮式相當于一個中間量，中間量與所要證明的兩項的大小比較是顯而易見的.

例4 設函數f（x）=ax+lnx+1，若對于任意的x>0，f（x）≤xe2x恒成立，求a的取值范圍.

解 f（x）≤xe2x即ax+lnx+1≤xe2x，

則a≤e2x－lnx+1x在（0，+∞）上恒成立.

由ex≥x+1可得e2x－lnx+1x=e2x+lnx－（lnx+1）x≥2x+lnx+1－（lnx+1）x=2，

由此可得a≤e2x－lnx+1xmin=2.

放縮法要找到放縮的中間量，有時候在一定范圍內放縮式才能成立，對于放縮式的大小需要通過常數或者變量代換的方式進行微調使其逐漸符合題目所需要求，此處也可以充分利用數形結合的方法來進行討論.

結語

以上四種策略從不同的層面對解決復雜函數式極值點問題進行了解

決，學生要舉一反三，利用其中的數學思想，充分發揮不同方法的特性，綜合運用才能快而準地解決問題.