以角的關系探索三角函數的化簡求值

【摘要】新課程標準在“四基”“四能”方面，對學生和教師都提出了更高的要求.學生每天都有一定的練習量，在課堂上有課堂作業，教師可能還布置相應的課外作業，目的只有一個，那就是要提高學生的“四能”，即發現問題和提出問題的能力，分析和解決問題的能力.在長期的教學實踐中不斷研究探索，發現尋找角的關系有助于探索三角函數的化簡求值.

【關鍵詞】三角函數；角的關系；化簡求值

在三角函數學習中，知識點多又分散是基本特點，遇到化簡求值時，還是有很多的方法技巧可以使用.教學過程中應遵循由簡到難的原則，幫助學生循序漸進地掌握三角函數的相關知識，要從基礎知識入手，切勿好高騖遠，細致耐心地幫助學生打好基礎，引導學生深入思考，逐漸掌握繁瑣的三角函數知識體系，全面理解掌握三角函數知識，培養學生的數學思維.本文就角之間的關系去探討三角函數化簡，談談個人的見解.

1 在新高考背景下，三角函數的化簡求值與角的關系緊密聯系在一起

例1 （2016·全國高考真題·理科）若cosπ4－α=35，則sin2α=（ ）

（A）725. （B）15. （C）－15. （D）－725.

分析 這道題應找到角的關系，即π4－α與2α的關系，這種關系是通過建立等式，消去未知數建立起與特殊角的關系.不難看出2π4－α+2α=π2，也就是sin2α=sinπ2－2π4－α=cos2π4－α=－725.選（D）.

另外一些角的構造需要學生注意，如①α=（α+β）－β，②2β=（α+β）－（α－β），③β=α+β2－α－β2，④2α=π4－α+π4－α，⑤2α=2π4－α－π2等.在此基礎上靈活運用，更加得心應手.

2 化簡求值需要找出角之間的關系，為構造和利用公式創造條件

例2 求sin6°sin42°sin66°sin78°的值.

分析 這里有6°，42°，66°，78°四個角度，那么它們之間存在什么關系呢？僅從數字上看不出有何種關聯，需要從三角函數角度分析，利用誘導公式得到sin78°=cos12°，sin66°=cos24°，sin42°=cos48°.所以

sin6°sin42°sin66°sin78°

=sin6°cos12°cos24°cos48°

=2sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°2cos6°

=sin12°cos12°cos24°cos48°2cos6°=116.

生活中的許多發現就是在數字間被找到的，如著名的哥德巴赫猜想——所有大于4的偶數都可以表示成兩個奇素數之和.伽利略曾

說：“其實在我之前已經有很多的大師表示過數學的美，數學是上帝用來書寫宇宙的文字.”

3 以角的關系探索三角函數化簡是研究三角函數性質的重要途徑

三角函數的性質包括周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最大值（或最小值）等.三角函數是最典型的周期函數.在學習過程中可利用三角函數構建數學模型，運用模型思想發現問題和提出問題，分析和解決實際問題.

例3 已知函數f（x）=3sin2x－π6+2sin2x－π12x∈R.

（1）求函數f（x）的最小正周期；

（2）求使函數f（x）取得最大值的x的集合.

分析 如果y=Asin（ωx+θ），則最小正周期T=2πω.需要通過化簡找到ω.

f（x）=3sin（2x－π6）+2sin2（x－π12）=3sin（2x－π6）+1－cos2x－π12=2sin2x－π3+1，所以f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（2）由（1）知：f（x）=2sin2x－π3+1，

當f（x）取得最大值時，2x－π3=2kπ+π2，k∈Z，即x=kπ+5π12.

所求x的集合為xx=kπ+5π12，k∈Z.

這道題的關鍵在于把f（x）函數化簡為最簡形式，因此，以角的關系探索三角函數化簡是一個很好的途徑.

4 以角的關系探索三角函數式的證明

三角函數式的證明，無論是從左往右推導還是從右往左推導，都必須先分析角的關系.一般我們都喜歡從復雜一邊往簡單一邊去證明，化大角為小角、化倍角為單角、運用升冪或降冪公式等進行因式分解來達到目的.

例4 證明：1+sin2θ－cos2θ1+sin2θ+cos2θ=tanθ.

證明 方法1 考慮常數1和其他項組合成公式，進而因式分解化簡

左邊=1+sin2θ－cos2θ1+sin2θ+cos2θ

=sin2θ+（1－cos2θ）sin2θ+（1+cos2θ）

=2sinθcosθ+sin2θ2sinθcosθ+cos2θ=sinθcosθ=tanθ=右邊.

方法2 利用平方關系公式直接代換1，合并后因式分解化簡

左邊=1+sin2θ－cos2θ1+sin2θ+cos2θ

=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ－cos2θsin2θ+cos2θ+2sinθcosθ+cos2θ－sin2θ

=2sin2θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）2cosθ（sinθ+cosθ）

=sinθcosθ=tanθ=右邊.

規律總結，三角函數化簡證明的常用技巧：（1）特殊值與特殊的三角函數進行互化；（2）如果是分式形式，要分別對分母、分子進行變形，有公因式（或數）要提取，進行因式分解、約分；（3）含有根式的要用升冪公式消去根號；（4）充分利用角之間的關系，如互余、互補等或與特殊角建立關系；（5）充分利用“1”代換法，和“1”有關的公式，如tan45°=1，sin2θ+cos2θ=1，等等.

5 結語

以上從幾個方面闡述了個人見解，一是從高考站位角度分析，三角函數的化簡求值是熱點問題，所以，在新高考背景下，具備解決實際問題的能力是擺在師生面前的一門功課.二是從純數字角之間去找角的關系，這對于大多數學生而言是容易理解和接受的.三是從研究三角函數的圖象和性質角度去分析.我們去認知世界，探究知識，不就是為了找尋規律和性質嗎？這正是數學這門基礎學科所追求的，是化簡的精髓.四是從等式角度證明分析.掌握等式的證明方法和技巧可以提高解決問題的能力.三角函數關系式的證明方法多種多樣，各顯神通，能用多種方法證明是能力的一種體現.