例析放縮問題中的解法探究

【摘要】放縮是解決高中數學問題的常用方法.使用放縮法，通過適當調整能夠使原本復雜的問題變為簡單的問題.放縮的本質在于找到一個合適的中間量使得某些復雜的項能夠消去.本文根據幾道例題來談高中數學中幾種特殊的放縮方法，以供參考.

【關鍵詞】放縮；高中數學；解題技巧

方法1 利用遞推式對數列放縮

此方法常用于數列問題中，在通過對于數列前幾項進行常數微調之后，就可以就此規律對數列的后續項進行同樣的微調，但是累積起來就能產生不同的效果，從而達到放縮的目的.

例1 已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*.

（1）求b1，b2，b3的值；

（2）設cn=bnbn+1，Sn為數列cn的前n項和，求證：Sn≥17n；

（3）求證：|b2n－bn|<164×117n－2.

解 （1）易得b1=4，b2=174，b3=7217.

（2）由an+2=4an+1+an，

可得an+2an+1=4+anan+1，

即bn+1=4+1bn，

所以當n≥2時，bn>4，

于是c1=b1b2=17，

cn=bnbn+1=4bn+1>17（n≥2），

所以Sn=c1+c2+…+cn≥17n.

（3）當n=1時，

結論|b2－b1|=14<1764成立；

當n≥2時，|bn+1－bn|=|4+1bn－4－1bn－1|=

bn－bn－1bnbn－1≤bn－bn－117≤bn－1－bn－2172≤…≤b2－b117n－1=14×17n－1.

所以b2n－bn≤bn+1－bn+bn+2－bn+1+…+b2n－b2n－1<14117n－1+117n+…+1172n－2=14×117n－11－117n1－117<164×117n－2，

所以對于任意的n∈N*，b2n－bn<164×117n－2.

評注 遞推放縮的關鍵在于如何對遞推式的前幾項進行調整，這就需要根據遞推式的結構適當地添加或減少一些項，使其在后續的累加或者累乘的過程中能夠具有某種特殊的性質，便于運算.

方法2 利用二項展開式放縮

二項展開式放縮是一種較為新穎的放縮形式，適用于指數函數形式的問題，將指數函數中常數進行合理拆分，從而將其寫成二項展開式的形式，之后將展開式中的某些項舍去或者每一項都與一確定常數進行比較即可放縮.

例2 已知n∈N*且n≥2，求證：23n&lpBEXViBMJWpKmoklAdhwwA==t;8（n+1）（n+2）.

證明 觀察23n的結構可以注意到32n=1+12n=1+C1n·12+C2n·122+…+Cnn·12n≥1+n2+n（n－1）8=（n+1）（n+2）+68>（n+1）（n+2）8，

所以23n<8（n+1）（n+2）.

評注 此方法放縮時需要學生熟悉二項展開式的結構特征，使得放縮后的式子符合題目所需.

方法3 利用單調性對函數放縮

單調性是函數的重要性質之一，對于含自變量的問題也可以從單調性入手構造函數進行研究.在發現構造的新函數的單調性后，對于常數項或者是式子的結構進行調整即可.

例3 求證：12≤1n+1+1n+2+…+1n+n<710（n∈N*）.

證明 令Sn=1n+1+1n+2+…+1n+n，

則Sn+1－Sn=14（n+12）（n+1）>0，

所以數列Sn單調遞增，

故Sn≥S1=12，

又因為14n+12（n+1）<14n+14n+54=14×1n+4－1n+54=14n+1－14n+5，

即Sn+14n+1>Sn+1+14n+5，

數列Sn+14n+1單調遞減，

所以Sn+14n+1≤S1+14×1+1=710，所以原不等式得證.

評注 能夠利用單調性解決的題目一般會有幾個特征：一是數列類問題，二則是在將自變量+1之后與原表達式結構上有相似之處的問題，等等，學生需要進行適當的嘗試才能夠確定是否適合利用此方法.

結語

以上三種方法是放縮的三種較為新穎且實用的方法，學生在使用的過程中要根據題目實際靈活選擇，牢記放縮的目的是找到合適的中間量，有時通過簡單的常數項調整就能得到所要的放縮式.

參考文獻：

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