圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的妙用

【摘要】本文針對圓錐曲線參數方程如何在高中數學解題中妙用進行研究，同時列出一些列解題實例.

【關鍵詞】圓錐曲線；參數方程；高中數學

在高中數學解題教學中，隨著試題難度的增加，教師在平常解題訓練中需指導學生借助圓錐曲線參數方程進行解題，使其通過巧妙使用有效簡化解題流程，提升他們解答數學試題的效率.

1 妙用參數方程解答圓類試題

通常情況下，參數方程的使用形式是將x與y列成一個方程組，分別表示變量t的函數，即為給定一個確定的t值，能夠求出對應的唯一的x與y的值，但是x與y不一定具有函數關系.在高中數學教學過程中，一直以來，圓都是一大難點，在解題環節，教師可指導學生妙用參數方程處理有關圓的問題，促使他們把解題過程變得直觀化，降低解題難度[1].

例1 已知圓的方程是x2+y2=1，現在圓上各點橫坐標保持不變，縱坐標則擴大2倍，得到一個曲線C.

（1）曲線C的參數方程是什么？

（2）設直線l：2x+y－2=0與這條曲線C相交于P1，P2兩點，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經過線段P1P2中點且與直線l垂直的直線的極坐標方程.

解 （1）設圓上的點的坐標是（x1，y1），變換后設曲線C上面的點的坐標是（x，y），

因為橫坐標保持不變，縱坐標則擴大2倍，

所以x=x1，y=2y1，

x12+y22=x2+（y2）2=1，

則曲線C的方程是x2+y24=1，

所以曲線C的參數方程是x=cost，

y=2sint（t是參數）.

（2）將曲線C的方程x2+y24=1與直線l：2x+y－2=0聯立得到一個方程組，

該方程組的解即為P1，P2兩點的坐標，

解之得x=1，y=0，或者x=0，y=2.

設P1（1，0），P2（0，2），

則線段P1P2的中點坐標是（12，1），

那么所求直線的斜率k=12，

方程是y－1=12（x－12），

轉變成極坐標方程是2ρcosθ－4ρsinθ=－3，

所以ρ=34sinθ—2cosθ.

2 妙用參數方程解答橢圓試題

在高中數學課程教學中，參數方程在橢圓問題中也有著廣泛運用，通常用來求解代數式或函數的最值.基本求解步驟是先寫出橢圓的參數方程，再利用橢圓中的參數表示成已知的代數式或者函數，然后結合三角函數的相關公式求最值.同時，高中數學教師還可引領學生妙用參數方程求橢圓軌跡，主要是利用θ的作用表示坐標，再結合公式消除參數即可[2].

例2 已知P是橢圓x=4cosα，y=23sinα（α是參數）上的一點，且位于第一象限內，OP（O是原點）的傾斜角是π3，那么點P的坐標是（ ）

（A）（2，3）. （B）（4，3）.

（C）（23，3）. （D）（455，4155）.

解 因為x=4cosα，

y=23sinα，

所以轉變成普通方程樣式，即為x216+y212=1，

又因為P位于第一象限，OP傾斜角是π3，

所以直線OP的斜率是k=tanπ3=3，

則得到直線OP的方程是y=3x，且x>0，

把橢圓與直線的方程聯立起來建立一個方程組，

這里需要舍去負值，

解之得x=455，y=4155，

所以得出點P的坐標是（455，4155），

故正確答案是（D）.

3 妙用參數方程解答直線試題

在高中數學知識體系中，直線方程作為解析幾何中的基礎性知識，也是各類考查測試中的重要內容.因此，高中數學教師既要講授教材中涉及的直線方程相關知識，還需注重對直線參數方程運用的講解，引導學生妙用直線參數方程解決求線段長度、動點軌跡等方面的問題，將解題步驟由復雜變得簡化，讓他們擁有明確的解答思路，使其突破難題的困境[3].

例3 已知直線l的傾角是π3，且過點P（1，5），其與圓x2+y2=16相X0nK8dZnpNhRALmGuSF1RA==交于A，B兩點，求A，B兩點到定點P的距離和|AB|的值.

解 根據題意可設直線的參數方程是x=1+12t①，

y=5+32t②，t是參數，

然后與圓的方程x2+y2=16聯立起來，

化簡后得到t2+（53+1）t+10=0，

根據韋達定理可得tA+tB=－（53+1），

tAtB=10，

則|tA+tB|=－tA－tB=53+1，

所以|tA－tB|（tA＋tB）2—4tAtB

=36+103，

也就是說A，B兩點到定點P的距離和是53+1，|AB|=36+103.

4 妙用參數方程結合綜合試題

在高中數學解題教學中，由于涉及的知識點較為廣泛，題目類型也較多，除單一考查某一知識要點的題目，還有不少題目具有綜合性，考查多個知識，解題難度也更大.特別是在圓錐曲線類的試題中，極少會出現單一性的題目，大多都是綜合類.高中數學教師應引領學生妙用參數方程解題，使其不再拘泥于一種形式，讓他們找到更為恰當的解題途徑.（例題略）

5 結語

總而言之，在高中數學圓錐曲線解題訓練實踐中，教師需高度重視解題方法的講解與傳授，深刻意識到參數方程在解題中的作用和功效，為學生將來的學習與發展奠定堅實基礎，使其通過巧妙使用參數方程對題目中的條件與信息進行分析，找準彼此之間的關系，以此降低解題難度，讓學生找到更為簡潔與便利的解題方法，進而不斷提高個人數學解題水平.

參考文獻：

[1]周花香.圓錐曲線參數方程在數學解題中的使用[J].數理化學習（教研版），2022（11）：10-12.

[2]單燦.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的使用[J].數理天地（高中版），2022（14）：31-32.

[3]權正清.高中數學解題中圓錐曲線參數方程的應用[J].數理化解題研究，2022（19）：35-37.