解析幾何“范圍”問題的破解策略

【摘要】解析幾何“范圍”問題是高考中的一個熟悉面孔，綜合性強，難度偏大，備受命題者青睞．本文結合實例，尋找破解此類問題的技巧策略，合理構建不等式、函數式或幾何圖形，從不等式視角、函數值域視角或數形結合視角等展開，總結解題規律，引領并指導數學教學與復習備考．

【關鍵詞】解析幾何；“范圍”問題；解題技巧

解析幾何“范圍”問題一直是歷年高考數學的難點和熱點.“難”在于它綜合性強、靈活性高；“熱”在于它融眾多知識和技巧于一體，深得命題者偏愛與青睞．而在實際教學中，我們也發現有相當一部分學生因這類題目條件隱晦、變數較多、關系復雜、計算繁瑣，往往感到心中無數，甚至有些不知所措，有的學生還由此產生恐懼情緒，造成解題的心理障礙．本文結合實例分析說明解析幾何“范圍”問題的破解其實也是有規可尋、有據可依的．

1 構造相關的不等式，通過不等式的應用求范圍

解析幾何“范圍”問題很多都是可以轉化為相關的不等式處理的．常規思路就是看到“范圍”，馬上聯想到“不等式”．而“不等式”從何而來？依據又是什么？由此可知解題的關鍵就是正確合理尋找“不等式源”．

例1 （2023屆浙江省金華十校高三模擬考試（2022年11月）數學試卷）已知橢圓：x24+y2=1，過橢圓的右焦點F作互相垂直的兩條弦AB，CD，則AB+4CD的最小值為．

分析 在解析幾何問題中，涉及直線方程的確定往往離不開直線的斜率問題，這里需要根據焦點弦所在的直線的不同情況加以分類討論，進而通過設線法，借助函數與方程思維來轉化與應用，為進一步的分析與求解指明方向．

解 依題可得a=2，c=3，

F（3，0），

當AB為橢圓的長軸時，AB=4，CD=1，

可得AB+4CD=8；

當CD為橢圓的長軸時，AB=1，CD=4，

可得AB+4CD=17；

當AB不為橢圓的長軸，且CD不為橢圓的長軸時，設直線AB的方程為x=my+3，

A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my+3，x24+y2=1，

消元整理可得（m2+4）y2+23my－1=0，

則有y1+y2=－23mm2+4，y1y2=－1m2+4，

所以|AB|=m2+1|y1－y2|=m2+1·（y1+y2）2－4y1y2=

m2+1·（－23mm2+4）2+4×1m2+4=4·m2+1m2+4，

用－1m替換m，

可得|CD|=4·1m2+11m2+4=4·m2+14m2+1，

可得|AB|+4|CD|=4·m2+1m2+4+16·m2+14m2+1=4（m2+1）1m2+4+44m2+1=

4·8m4+25m2+174m4+17m2+4=

4×2－9·m2－14m4+17m2+4，

令m2－1=t，

則有m2－14m4+17m2+4=t4t2+25t+25=14t+25t+25≤124t×25t+25=145，

當且僅當4t=25t，即t=52，亦即m2=72時等號成立，

所以AB+CD=

4×2－9·m2－14m4+17m2+4≥

4×2－9×145=365，

此時AB+4CD的最小值為365.

綜上分析，可知AB+4CD的最小值為365，故填答案：365．

點評 在處理一些解析幾何“范圍”問題時，除了求解不等式以及不等式的基本性質等方面的應用，還經常綜合整體化思維、參數思維等，合理變形，巧妙轉化．

2 構造圖形的直觀性，借助數形結合直觀處理

解析幾何“范圍”問題的本質還是幾何問題，經常可以回歸到幾何中去，借助幾何圖形的直觀性，采用數形結合是一種積極有效的思維方法．直觀性解決解析幾何“范圍”問題經常從代數關系式的結構特征與幾何意義加以聯系，或直接利用曲線中的基本圖形特征直觀處理．

例2 （2022年上海市春季高考數學試卷）已知雙曲線x2a2－y2=1（a>0），雙曲線上右支上有任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），滿足x1x2－y1y2>0恒成立，則實數a的取值范圍是．

分析 根據題設條件中恒成立不等式的代數式結構特征，合理聯系平面向量的數量積公式，引入平面向量以及對應的數量積加以數形結合.結合數量積公式與基本性質，利用平面向量的夾角這一幾何模型，由“數”轉“形”，思維巧妙創新．

解 如圖1所示，設點P2（x2，y2）關于x軸的對稱點為點P3（x2，－y2），則點P3仍在雙曲線的右支上，

由于x1x2－y1y2>0恒成立，

即OP1·OP3=x1x2－y1y2>0恒成立，

所以向量OP1與OP3的夾角恒為銳角，即∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，其中直線OM，ON是雙曲線的兩條漸近線，

則知其中一條漸近線OM：y=1ax的斜率1a≤1，

解得a≥1，

所以實數a的取值范圍為1，+∞，

故填答案：1，+∞．

點評 其實，解析幾何中的相關曲線都有其自身的一些基本圖形特征，如橢圓的長軸長大于短軸長，也大于焦距長；雙曲線的實軸、虛軸長小于焦距長；它們的離心率都有一定的范圍；對于橢圓、拋物線，當點位于其內部或外部時，都滿足一定的不等關系；還有曲線上的點的橫坐標或縱坐標都是有界的……這些幾何圖形的直觀性，都可以很好地基于數形結合用于解題與應用．

3 結語

解析幾何“范圍”問題（參數或代數式的取值范圍或最值等）其實是一類較為常見的探索性綜合應用問題，是解析幾何與函數、方程、不等式、三角函數、平面向量等相關知識全面交匯與融合的一個重要載體.正確理解題設條件，可合理構建與之相關的參數或代數式所對應的不等式、代數式或幾何直觀模型等，借助不等式的求解、函數的值域的確定以及數形結合直觀等方式來解決與處理.有時用單種技巧策略分析，有時綜合用多種技巧策略，都可以很好解決對應的解析幾何“范圍”問題．