優化圓錐曲線客觀題運算素養的幾個技巧

【摘要】“數學運算”是六大數學核心素養之一，學習數學離不開數學運算.數學運算是所有數學最基本的活動形式，不是簡單的數學計算能力，它反映了一名學生的綜合素養和能力.圓錐曲線中數學運算比較繁雜，優化運算，既縮短計算時間又提高運算的準確度，使運算過程簡單明了，十分必要.

【關鍵詞】圓錐曲線；高中數學；運算技巧

圓錐曲線試題一直是高考數學的難點，它的難點不僅在于需要幾何條件的代數化，而且在于數學運算，如何巧妙地簡化解析幾何的運算就是一種能力，也是數學運算素養的重要組成部分.本文通過典型例題，從“數學運算”核心素養的內涵出發，結合高中學生運算能力的現狀，從解析幾何的運算談如何巧妙切入，優化運算.

1 巧用極化恒等式化繁為簡

例1 （濟南市2024屆高三5月模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C上，如圖1，且PF1·PF2=2a2，PO=2b，則C的離心率為（ ）

（A）3. （B）2. （C）3. （D）2.

解析 由極化恒等式得：

PF1·PF2=14［（2PO）2－（F2F1）2］，

所以2a2=14［4×2b2－4c2］，

又c2=a2+b2，

所以c2=4a2，

所以e=ca=2.

技巧總結 本題利用極化恒等式大大簡化了數學運算.極化恒等式：a·b=14［（a+b）2－（a－b）2］.

（1）幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的14.

（2）在平行四邊形PMQN中，O是對角線交點，則：

①PM·PN=14|PQ|-|NM|2；（平行四邊形模式）；

②PM·PN=14|PQ|2-14|NM|2（三角形模式）.

2 運用極限思想避開運算

例2 P是雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）右分支上的一點，F1，F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則△PF1F2的內切圓圓心的橫坐標為（ ）

（A）a. （B）b.  （C）c. （D）a+b－c.

解析 當P沿雙曲線向右頂點無限接近時，△PF1F2的內切圓越來越小，直至“點圓”，此“點圓”應為右頂點，內切圓的圓心的橫坐標為a，故選（A）.

技巧總結 用極限法是解選擇題的一種有效方法，它根據題干及選擇題的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案.

3 利用二級結論簡化計算

例3 已知拋物線C：y2=8x，點P在C的準線上，過C的焦點F的直線與C相交于A，B兩點，則AB的最小值為，若△ABP為等邊三角形，則AB=.

解析 設直線AB的傾斜角為θ，

則∠PMN=π2－θ，

AB=2psin2θ=8sin2θ，

MN=12AB=4sin2θ，

MNPM=sinθ，

PM=4sin3θ=32AB=43sin2θ，

所以sinθ=33，

AB=8sin2θ=24.

技巧總結 用焦點弦與直線傾斜角的關系解決焦點弦或焦半徑的問題，有效利用二級結論可以簡化計算，快速準確地求解答案.

4 巧用光學性質

例4 甲、乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內如圖3所示的A、B兩點處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清楚，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質，即從一個焦點發出的光經橢圓反射后經過另一個焦點.現已知橢圓C：x2100+y236=1上一點M，過點M作切線l，A，B兩點為左右焦點，cos∠AMB=－14，由光的反射性質：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為.

分析 過點M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點A1，O1，B1，由光學性質和幾何位置關系得到∠A1AM=∠AMN=∠BMN=∠B1BM，求出sin∠AMA1=64，利用中位線的性質、橢圓的定義求出OO1.

解析 如圖4，過點M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點A1，O1，B1，由光學性質可知MN平分∠AMB，∠B1MB=∠A1MA，

則∠A1AM=∠AMN=∠BMN=∠B1BM，

因為cos∠AMB=－14，

故cosπ－∠AMB=cos2∠AMA1=1－2sin2∠AMA1=14，

所以sin∠AMA1=64，

OO1=12AA1+BB1=12（|AM|sin∠AMA1+|BM|sin∠BMB1）=12·20·sin∠AMA1=562.

故答案為：562.

技巧總結 從橢圓的一個焦點發出的光線，被橢圓反射后，必定經過另一個焦點，橢圓的這種光學特性常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置．例如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上．