高中數學常見的恒成立問題的一般解法

【摘要】本文通過對恒成立的數學問題的特點和解題方法進行分析，總結了常見的解題策略.這些解題策略在解決一些復雜的數學問題時具有重要的指導意義.通過具體案例的分析，展示了這些策略在實際問題解決中的應用.希望本文能為讀者提供解決恒成立問題與存在性問題的有效途徑，提高解題的能力和水平.

【關鍵詞】高中數學；恒成立問題；解題策略

恒成立問題是數學中常見的兩類問題，解決這類問題需要靈活運用數學知識和技巧，總結一些常見的解題方法，幫助讀者能夠更好地掌握解決這兩類問題的技巧，具體研究如下：

1 區間端點處函數值含參的恒成立問題中的應用

例1 若函數f（x）=x－13sin2x+asinx在（－∞，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）

（A）［－1，1］. （B）－1，13.

（C）－13，13.（D）－1，－13.

解 因為函數f（x）=x－13sin2x+asinx在（－∞，+∞）上單調遞增，

所以f′（x）=1－23cos2x+acosx=－43cos2x+acosx+53≥0在（－∞，+∞）上恒成立，

令k=cosx，則g（k）=－43k2+ak+53≥0在［－1，1］上恒成立，

因為二次函數g（k）=－43k2+ak+53的圖象是開口向下的，

所以g（－1）=－43－a+53≥0g（1）=－43－a+53≥0，解得－13≤a≤13.故選（C）.

本題是關于二次函數恒成立求參數的恒成立問題，只有滿足a>0，且f（x）≤0在區間［m，n］上恒成立（a<0，且f（x）≥0在區間［m，n］上恒成立）時才適用，否則不可套用此法.

2 確定主元，構造函數，利用單調性解題

例2 對于滿足a≤2的所有實數a，求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.

解 將原不等式轉化為x2+（a－1）x－2a+1>0在a≤2時恒成立，

設f（x）=x2+（a－1）x－2a+1，則f（a）在［－2，2］上恒大于0，故有f（－2）>0，f（2）>0，即x2－4x+3>0，x2－1>0，解得x>3或x<1，x>1或x<－1，所以x<－1或x>3. 即x∈（－∞，－1）∪（3，+∞）.

本題構造新函數，利用函數單調性求出參數取值范圍.

舉一反三 例3 若對于任意a∈（－1，1］，函數f（x）=x2+（a－4）x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范圍.

解 設g（a）=（x－2）a+x2－4x+4，將其看成關于a的直線，

可知，直線恒在橫軸上方

所以g（－1）≥0，g（1）>0，

解得x<1或x=2或x≥3.

3 區間端點函數值為零，一階導函數單調且含參的恒成立問題中的應用

例4 設函數f（x）=（1－x2）ex，當x≥0時，f（x）≤ax+1，求實數a的取值范圍.

解 設h（x）=ax+1－f（x）=（x2－1）ex+ax+1，故當x≥0時h（x）≥0恒成立，

因為h（0）=0，h′（x）=（x2+2x－1）ex+a，

h（x）=（x2+4x+1）ex，x≥0時，則h（x）>0，

于是h′（x）在［0，+∞）上單調遞增，h′（x）≥h′（0）=a－1.

①證必要性：當a<1時，h′（0）=a－1<0，由于h′（x）在［0，+∞）上單調遞增，故x0∈（0，+∞），使得當x∈（0，x0）時，h′（x）>0，此時h（x）在（0，x0）上單調遞減，于是h（x）<h（0）=0，不符合題意.

②證充分性：當a≥1時，h′（0）=a－1≥0，由于h′（x）在［0，+∞）上單調遞增，所以h′（x）≥h′（0）≥0，此時h（x）在［0，+∞）上單調遞增，于是h（x）≥h（0）=0，符合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍［1，+∞）.

本題由于一階導函數含參且在定義域上單調遞增，易利用區間端點迅速解決問題.

舉一反三 例5 （2023全國甲卷21題節選）已知函數f（x）=ax－sinxcos3x，x∈0，π2.若f（x）<sin2x，求a的取值范圍.

解 由f（x）<sin2x，

得ax－sinxcos3x－sin2x<0，

令g（x）=ax－sinxcos3x－sin2x，x∈0，π2，g（0）=0，

則g′（x）=a－3－2cos2xcos4x－2cos2x=a－3cos4x+2cos2x－4cos2x+2，

當x∈0，π2時，令t=1cos2x，t∈（1，+∞），且t=1cos2x在0，π2上單調遞增.

則g′（x）=m（t）=a－3t2+2t－4t+2，t∈（1，+∞），

m′（t）=－6t+2+4t2，易知y=m′（t）在（1，+∞）上單調遞減，

所以m′（t）<m′（1）=－6+2+4=0，故m（t）=a－3t2+2t－4t+2在（1，+∞）上單調遞減，

從而m（t）<m（1）=a－3+2－4+2=a－3，

令m（1）≤0，得a≤3（問題成立的必要條件）.

易得g（0）=0，g′（1）=a－3，且g（0）<0恒成立，一階導函數在端點處值含參，若一階導函數g′（x）是單調遞減函數，利用端點效應問題迎刃而解.故有必要討論一階導函數g′（x）的單調性.令t=1cos2x進行換元后，轉化為討論m（t）=a－3t2+2t－4t+2在（1，+∞）上的單調性，大大減少了計算量.

4 結語

在解題過程中要靈活運用所學的數學知識，善用各種解題策略，并鼓勵培養創造性思維，勇于嘗試不同的方法來解決問題.解決數學問題的過程不僅僅是得出答案，更重要的是提高自己的邏輯推理能力和問題解決能力.希望本文所介紹的解題策略能夠幫助讀者更好地應對數學問題，提升數學學習的效果，激發對數學的興趣.

【廣西教育科學規劃2021年度課題“核心素養下高中數學概念課教學方法初探”編號：2021C676階段性成果.】

參考文獻：

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[3]高鴻慶，何睦.“端點效應”在一類不等式恒成立問題中的應用與思考[J].數學通訊，2023（15）：60-62.