高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的解題應(yīng)用探析

【摘要】高中數(shù)學(xué)課程中，數(shù)列是非常重要的內(nèi)容.“數(shù)列求和”教學(xué)質(zhì)量是否有保證，最終要落實到解題上.學(xué)生解題正確率是重要的衡量標(biāo)準(zhǔn).本文針對高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的解題應(yīng)用展開研究.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列求和；解題技巧

高中數(shù)學(xué)中，“數(shù)列求和”是比較復(fù)雜的內(nèi)容，也是高考中出現(xiàn)概率比較高的題型.教師在講解這部分內(nèi)容的時候，要強調(diào)解題的重要性并不斷創(chuàng)新教學(xué)模式，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需要調(diào)整教學(xué)方法，讓學(xué)生加強對這部分知識的理解并熟練應(yīng)用[1].

1 “數(shù)列求和”的教學(xué)設(shè)計

在高中數(shù)學(xué)的“數(shù)列求和”教學(xué)中，要先從基本理論展開，所涉及的內(nèi)容包括數(shù)列概念、通項公式、遞推公式、數(shù)列求和方法.這些內(nèi)容貫穿于整個的“數(shù)列求和”教學(xué)過程中.

在數(shù)列知識體系中，比較具有特殊性的是等差數(shù)列和等比數(shù)列，這也是數(shù)列中的重要知識.進行“數(shù)列求和”教學(xué)時，教師要帶領(lǐng)學(xué)生深入研究等差數(shù)列和等比數(shù)列，明確其性質(zhì)，以引入數(shù)學(xué)題的方式讓學(xué)生深入理解這方面知識并靈活運用、快速解題[2] .

2 高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的解題應(yīng)用方法

2.1 指導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí)

學(xué)生進入高中，會感到數(shù)學(xué)知識難度非常大，不能抓住知識重點，感覺教師的講課進度快，無法跟上教師的思路.為幫助學(xué)生解決這一問題，教師可指導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí).“數(shù)列求和”教學(xué)之前給學(xué)生布置預(yù)習(xí)任務(wù)，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)知識并解決數(shù)列求和問題.

例1 已知等比數(shù)列{an}的首項a1，公比q，等比數(shù)列的前n項和公式如何推導(dǎo)？

解 q≠0．當(dāng)q=1時，Sn=na1；當(dāng)q≠1時，Sn=a1+a2+…+an，qSn=a1q+a2q+…+anq=a2+a3+…+an+anq， 所以（1-q）Sn=a1-anq，

所以Sn=a1-anq1-q=a1（1-qn）1-q，

所以Sn=na1，q=1

a1-anq1-q=a1（1-qn）1-q，q≠1.

學(xué)生對這個進行問題探究的時候，就是在認(rèn)真、高效預(yù)習(xí).上課之前，教師讓學(xué)生分享自己的預(yù)習(xí)成果，說出不解之處.上課的時候，學(xué)生聽課目的明確，而且有所側(cè)重，課堂學(xué)習(xí)效果提高.

2.2 課上精講

“數(shù)列求和”教學(xué)中，課堂講授是重要環(huán)節(jié)，講解質(zhì)量直接關(guān)乎學(xué)生對于知識的理解能力以及計算能力.但是，高中學(xué)生經(jīng)過多年數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備一定數(shù)學(xué)知識量，而且積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗.所以，教師通過引入數(shù)學(xué)題的方式引導(dǎo)學(xué)生主動思考是非常好的方法.

例2 1+2+3+…+99+100=.

解 1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（49+52）+（50+51） =（1+100）×50=5050.

解析 本題計算中，將最大的數(shù)和最小的數(shù)相加，第二大的數(shù)和倒數(shù)第二大的數(shù)相加……都等于101，100個數(shù)就有50個101.公式計算方法是首項加末項乘以項數(shù)除以2的數(shù)，在這道題中，首項為1，末項為100，項數(shù)是100，所以（1+100）×1002=5050.

當(dāng)學(xué)生解答出這道問題之后，教師提問：“等差數(shù)列有哪些特點？高斯求和公式如何推導(dǎo)？”

學(xué)生在思考的過中，教師在黑板上寫出：Sn=a1+（a1+d）+（a2+d）+…+（an-1+d）.

然后，教師讓倒序?qū)慡n式子.

最后，通過化簡，學(xué)生就可以得出等差數(shù)列的前n項和公式.如此在教學(xué)過程中，教師采用提問和點撥方式促使學(xué)生獨立思考并深入探索，學(xué)生不僅能理解知識，而且能掌握“數(shù)列求和”的解題技巧.

2.3 強化課后練習(xí)

教師指導(dǎo)學(xué)生課后練習(xí)，發(fā)揮的作用是讓學(xué)生鞏固知識基礎(chǔ)，能夠靈活運用知識解題，從中發(fā)現(xiàn)自身存在的不足[3].在高中“數(shù)列”知識中，最簡單的就是“等差數(shù)列”和“等比數(shù)列”，這兩個數(shù)列的求和公式也很簡單，容易掌握.但是在實際解題訓(xùn)練以及考試中，由于數(shù)列非常復(fù)雜，進行數(shù)列求和的時候，學(xué)生通常不能掌握正確方法.所以，高中數(shù)學(xué)“數(shù)列求和”教學(xué)過程中，課后練習(xí)非常必要，而且還要延伸知識，擴展題型，讓學(xué)生全面掌握這方面知識，提高運算能力[4].

例3 數(shù)列{xn}的通項xn=（-1）n+1，前n項和為Sn，則limn→∞S1+S2+…+Sn=.

解 由于數(shù)列{xn}的通項xn=（-1）n+1，前n項和為Sn，

故當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn =0，

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn =1．

所以當(dāng)n為偶數(shù)時，

S1+S2+S3+…+Sn=1+0+1+0+…+1+0=n2n=12，

所以limn→∞S1+S2+…+Snn=12．

當(dāng)n為奇數(shù)時，s1+s2+s3+…+sn=1+0+1+0+…+1=n+12n，

所以limn→∞S1+S2+…+Snn=12．

故答案為：12．

采用這種課后練習(xí)方式，能夠讓學(xué)生掌握更多計算方法，而且有關(guān)“數(shù)列求和”的知識面得以擴展，學(xué)生解題能力增強[5] .

3 結(jié)語

通過研究明確，高中數(shù)學(xué)教師進行“數(shù)列求和”教學(xué)過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)具體情況調(diào)整教學(xué)方案，做到教學(xué)具有針對性，符合學(xué)生知識需要.教師講解過理論知識后，就要引入例題，讓學(xué)生在解題的過程中逐步理解“數(shù)列求和”的相關(guān)知識，深刻地掌握知識內(nèi)容，從而增強學(xué)生靈活運用知識的能力，讓其能夠做到觸類旁通.

參考文獻：

[1]黃暉明.大概念引領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計——以“數(shù)列求和”為例[J].教學(xué)月刊（中學(xué)版）（教學(xué)參考），2023（06）：30-33.

[2]曲婷.以課本應(yīng)萬態(tài)，以方法應(yīng)萬變——數(shù)列求和解答題常見解法梳理[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)、高考數(shù)學(xué)），2022（01）：8-10.

[3]張琪.高中數(shù)學(xué)教科書中“閱讀與思考”欄目教學(xué)實踐研究——以“中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法”為例[J].教育進展，2023，13（06）：3599-3607.

[4]譚續(xù)續(xù).數(shù)學(xué)文化巧融合數(shù)列求和妙應(yīng)用——以一道高考數(shù)學(xué)題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（11）：84-85.

[5]金克勤，陳群星.平和之中有乾坤變化之處見功力——2023年高考“數(shù)列”專題解題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2023（07）：47-60.