聚焦導數試題中的典型易錯問題

【摘要】導數問題是高考試題中的必考問題.本文主要聚焦導數試題中的易錯問題，并對易錯點進行分析和解讀.

【關鍵詞】高中數學；導數；切線；單調性

導數問題是高考試題中的重中之重，也是許多教師和學生研究的重點知識.由于該類試題的難度較大，求解時極易出錯，因此在求解時需要格外謹慎.本文通過對導數試題中的典型問題進行分析，并對各類試題中常易出錯的地方進行點評，以防掉入陷阱[1].

1 混淆曲線在某點的切線與過某點的切線致誤

例1 若存在過點（1，0）的直線與曲線y=x3和y=ax2+154x－9都相切，則a等于（ ）

（A）－1或－2564. （B）－1或214.

（C）－74或－2564.（D）－74或7.

解析 因為y=x3，

所以y′=3x2，

設過點（1，0）的直線與y=x3相切于點（x0，x30），則在該點處的切線斜率為k=3x20，

所以切線方程為y－x30=3x20x－x0，

即y=3x20x－2x30.

又點（1，0）在切線上，

所以x0=0或x0=32.

當x0=0時，切線方程為y=0.

由y=0與y=ax2+154x－9相切可得a=－2564.

當x0=32時，

切線方程為y=274x－274，

由y=274x－274與y=ax2+154x－9相切，可得a=－1.

綜上，a的值為－1或－2564.

易錯點分析 在解決曲線的切線問題時，一定要注意區分“過點Ax0，y0的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同.“過點A和在點A”雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點.

2 單調性問題轉化不當致誤

例2 設函數f（x）=－13x3+12x2+ax.

（1）若f（x）在23，+∞上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；

（2）若f（x）在23，+∞上單調遞減，求a的取值范圍.

解析 （1）f′（x）=－x2+x+a=－x－122+14+a，

當x∈23，+∞時，

f′（x）max=f′23=29+a，

則當x∈23，+∞時，令29+a>0，

得a>－29.

所以，當a>－29時，f（x）在23，+∞上存在單調遞增區間.

（2）由（1）得，當x∈23，+∞時，

f′（x）max=f′23=29+a，

則當x∈23，+∞時，令29+a≤0，

得a≤－29.

所以，當a≤－29時，f（x）在23，+∞上單調遞減.

易錯分析 函數y=fx在區間D上單調可以轉化為恒成立問題；函數y=fx在區間D上存在單調區間可以轉化為能成立問題；函數y=fx在區間D上不單調可以轉化為變號零點問題．這三種情況由于理解不到位容易混淆.

3 分類討論時“界點”確定不當致誤

例3 已知函數fx=ax－1x，gx=lnx，a∈R是常數．

（1）求函數y=gx的圖象在點P1，g1處的切線方程；

（2）設Fx=fx－gx，討論函數F（x）的單調性．

解析 （1）因為gx=lnx，

所以g1=0，g′x=1x，g′1=1

故函數gx的圖象在P1，g1處的切線方程是y=x－1.

（2）因為Fx=fx－gx=ax－1x－1nxx>0，

所以F′=x=a+1x2－1x=a+1x－122－14.

①當a≥14時，F′x≥0，Fx在0，+∞上單調遞增；

②當a=0時，F′x=1－xx2，Fx在（0，1）上單調遞增，在1，+∞上單調遞減；

③當0<a<14時，由F′x=0，得x1=1－1－4a2a>0，x2=1+1－4a2a>0，且x2>x1，

故F（x）在0，1－1－4a2a，1+1－4a2a，+∞上單調遞增，在1－1－4a2a，1+1－4a2a上單調遞減；

④當a<0時，由F′x=0，

得x1=1－1－4a2a>0，x2=1+1－4a2a<0（舍去），

F（x）在0，1－1－4a2a上單調遞增，在1－1－4a2a，+∞上單調遞減．

易錯分析 利用導數研究函數的單調性，容易對參數的討論不全致誤.其中分類界點的確定主要為以下4類：根據二次項系數確定分類“界點”，根據判別式確定分類“界點”，根據導函數零點的大小確定分類“界點”，根據導函數零點與定義域的關系確定分類“界點”.

4 忽視“函數的單調區間”與“函數在區間上單調”的區別致誤

例4 已知函數fx的圖象與函數hx=x+1x+2的圖象關于點A（0，1）對稱．

（1）求fx的解析式；

（2）若gx=fx+ax，且gx在區間0，2上為減函數，求實數a的取值范圍．

解析 （1）設fx圖象上任一點Px，y，則點P關于（0，1）點的對稱點P′－x，2－y在hx的圖象上，

即2－y=－x－1x+2，

所以y=fx=x+1xx≠0．

（2）gx=fx+ax=x+a+1x，

所以g′x=1－a+1x2.

因為gx在0，2上為減函數，

所以1－a+1x2≤0在0，2上恒成立，

即a+1≥x2在（0，2]上恒成立，

所以a+1≥4，即a≥3.

故實數a的取值范圍是3，+∞．

易錯分析 求函數f（x）的單調遞減區間的方法是解不等式f′（x）<0，求函數f（x）的單調遞增區間的方法是解不等式f′（x）>0.解題時要注意“函數的單調區間”與“函數在區間上單調”的區別，勿因對題意的理解不明出錯.

參考文獻：

[1]陳國林.發揮導數工具作用，正確處理函數性質[J].中學生數理化（高中版），2021（09）：21-23.