離心率取值范圍的破解策略

【摘要】圓錐曲線中的離心率的取值、最值或取值范圍等問題是高考命題的一個重要方向．本文結合實例，就幾何法、函數法、不等式法等剖析破解離心率的取值范圍問題的幾種常見技巧策略，總結解題方式，拓展解題思維，歸納解題規律，指導師生的數學教學與學習以及解題研究．

【關鍵詞】高中數學；離心率；橢圓；雙曲線

離心率是一個反映圓錐曲線形狀的幾何量，是圓錐曲線統一定義的橋梁與紐帶．圓錐曲線中橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍的求解問題，一直是圓錐曲線模塊知識考查的熱點問題，常考常新，方式多變，綜合性強，難度較大．本文就對解離心率的取值范圍問題的一些常見解題技巧策略加以總結與歸納，結合實例加以剖析與應用，以幫助學生突破學習難點和瓶頸，拋磚引玉．

1 幾何法

根據題設條件中曲線所對應圖形的幾何性質，結合平面幾何中的相關知識合理構建對應的不等式，進而得以確定橢圓或雙曲線中參數a，b，c之間的不等式關系，結合離心率的定義得到對應的不等式及其取值范圍．

例1 已知P是以F1，F2為左、右焦點的橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點，若∠F1PF2=120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是．

分析 抓住橢圓所對應曲線圖形的幾何性質，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F1PF2逐漸增大，當P點位于短軸端點P0處時，∠F1PF2最大，通過平面幾何思維來切入，利用直角三角形所對應的三角函數定義來確定離心率的取值范圍．

解 根據橢圓圖形的幾何性質，可知當點P為橢圓的短軸頂點（不妨設上頂點為A）時∠F1PF2最大，由于存在點P為橢圓上的一點，使得∠F1PF2=120°，

所以在△AF1F2中，∠F1AF2≥120°，

那么在Rt△AOF2中，∠OAF2≥60°，

結合三角函數的定義有：

e=ca=sin∠OAF2≥sin60°=32，

又0<e<1，則有32≤e<1，

即該橢圓的離心率的取值范圍是32，1，

故填答案：32，1．

2 函數法

根據題設條件中相關參數的取值范圍或隱含相關變量的取值范圍，合理構建離心率與對應參數（或變量）間的函數關系式，通過函數思維與方法，利用函數的圖象與性質、函數與方程、函數與導數等方法來求出離心率的取值范圍．

例2 ［2023屆湖南省長沙市雅禮中學高三上學期月考（四）（2022年12月）數學試題］設F1，F2同時為橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2：x2a21-y2b21=1a1>0，b1>0的左、右焦點，設橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內交于點M，橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，O為坐標原點，若F1F2=4MF2，則e1e2的取值范圍是．

分析 根據圓錐曲線的定義構建相關參數的關系式或不等式，結合參數間的關系，將兩離心率的乘積表示成對應的函數表達式，利用消參轉化為單參函數問題，以函數思維來解決對應的取值范圍問題．

解 因為F1F2=4MF2，

即2c=4MF2，則有MF2=12c，

由橢圓的定義可得：

MF1=2a－MF2=2a－12c，

由雙曲線的定義可知0<2a1=MF1－MF2=2a－－12c－12c=2a－c<2c（三角形的基本性質：三角形兩邊之差小于第三邊），

則有2a<3c，所以e1=ca>23，

即e1∈23，1，亦即1e1∈1，32，

又e2=2c2a1=2c2a－c=2e12－e1，

所以e1e2=2e212－e1=22e21－1e1=

221e1－142－18∈23，2，

故填答案：23，2．

3 不等式法

根據題設條件中的參數a，b，c之間的不等關系式的構建，或其他已知相關參數得到涉及離心率的不等式等，進而通過不等式的基本性質、不等式（組）的求解等方法來求出離心率的取值范圍．

例3 過橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點B ，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若16<k<13，則橢圓C的離心率的取值范圍是．

分析 直接“翻譯”題設條件，通過點的坐標的確定，并利用直線的斜率公式構建參數k的關系式，通過題設中不等式條件來分析與求解，得以確定離心率的取值范圍．

解 依題可得左頂點A－a，0，右焦點Fc，0，將x=c代入橢圓的方程，

可得c2a2+y2b2=1，

解得y=±b2a，可得點Bc，±b2a，

結合直線的斜率公式，可得直線AB的斜率為

k=±b2ac+a=±b2aa+c=±a2－c2aa+c

=±a－ca=±1－e，

而16<k<13，0<e<1，

則有16<1－e<13，

解得23<e<56，所以橢圓C的離心率的取值范圍是23，56，

故填答案：23，56．

4 結語

破解離心率的取值范圍問題，關鍵就是充分分析與理解題目，從圓錐曲線的定義入手，結合曲線圖形的直觀，通過參數的函數、不等式的構建等方式，利用函數思維或不等式思維，以及其他相關知識來綜合應用．在實際破解此類問題時，有時一種解題技巧策略獨領風騷，有時多種技巧策略齊心協力，共同協作，綜合應用，從而實現問題的化歸與轉化，有效化陌生為熟悉，得以有效破解離心率的取值范圍問題．