生成式人工智能助力高中數學概念教學的探索

理解數學概念一直是課堂教學的重點，也是學生學習數學知識、提升數學素養的關鍵環節。數學理解型教學是一種以理解為取向的課堂教學形態，旨在避免數學教學中機械學習的傾向，促進以思維參與為核心的理解性學習^[1]。與傳遞取向的教學不同，數學理解型教學更重視知識所表征的意義或事物意義的獲得，主張通過知識的建構和意義的賦予，發展和豐富個體的意義世界^[2]。傳遞取向與理解型教學有較大區別：從教學方法上看，前者是教師講授、示范、練習和測試，讓學生模仿、記憶，后者是教師開展探究式、發現式、情境式教學，讓學生主動探索、建構知識，提升素養；從教學目標上看，前者要求學生掌握知識、會應試，后者要求學生理解知識，提高數學思維、邏輯推理和解決問題的能力；從教學評價上看，前者側重結果評價（如成績），后者全面多元評價，兼顧過程與結果，關注學生情感體驗和價值觀。在理解型教學模式下，課堂更加民主開放有彈性，評價更多元化。這必然對教學提出更高的要求，教師需要技術輔助。現代技術極大地改變了課堂活動的生態圖景，成為推動課堂教學變革中最為活躍的一個因素^[3]。教師運用生成式人工智能（Artificial Intelligence Generated Content，簡稱AIGC）教學能夠加深學生對知識的理解，增強體驗，促進思考，有利于規模化教育與個性化培養有機結合。教師需要積極適應人工智能技術的快速發展，秉持技術向善理念，使用相關工具協作完成各類教學任務。

基于此，筆者梳理AIGC賦能高中數學理解型教學的三個維度，構建基于AIGC的高中數學理解型課堂教學路徑，并以“斐波那契數列”為例，闡述“訊飛星火”認知大模型在數學理解型教學中的應用方法，并給出使用建議。

一、AIGC賦能高中數學理解型教學的三個維度

數學理解型教學包含彼此區別又相互聯系的三個層面：理解性教學、數學地理解和為理解而教^[4]。理解性教學：教師應為學生理解性學習創造條件，這是教學的基本要求。數學地理解：知識不會自發地形成，學生應該高效地參與知識建構，而不是被動地接受。為理解而教：理解是數學教學的目標，要評估目標達成度。AIGC憑借啟發性內容生成、對話情境理解、序列任務執行和程序語言解析4項核心能力，能夠在分析教材、診斷學情等方面提供支持，為師生提供高效、準確、公正的評估服務。在AIGC支持下學生可以更好地理解所學知識和技能，從而更好地應用它們^[5]。AIGC與高中數學理解型教學具有很好的耦合性，主要體現在教學、學習和評價三個維度。

（一）AIGC助力教師減負增效：生成教學資源，提高教學效率

AIGC平臺能生成教學資源，智能支持教學活動，自動化處理煩瑣任務，有效減輕教師工作負擔，提高教學效率（見表1）。

（二）AIGC促進學生自主學習：智能對話互動，深化數學理解

AIGC支持智能對話互動，為學生學習數學提供實時的技術支持。它能夠讀懂學生的學習需求，提供個性化的學習資源與指導，幫助學生解決問題，深化對數學知識的理解，提升學習能力（見表2）。

（三）AIGC革新教學評價方式：實時測評反饋，實現精準評價

AIGC正在改變教學評價方式，通過實時測評反饋與數據分析，為教師提供全面、客觀、細致的學生學習狀況評估報告，助力教師進行教學決策與干預（見表3）。

二、基于AIGC的高中數學理解型教學實踐

筆者選取人民教育出版社《普通高中教科書 數學 選擇性必修 第二冊（A版）》第10—11頁中“閱讀與思考”的內容“斐波那契數列”，用“訊飛星火”認知大模型輔助教學，探索AIGC助力數學理解型教學的方法與策略。

（一）教學路徑

教師在教學中既要關注學生理解數學的過程，循序漸進地設計教學流程，又要以學生理解數學作為教學目標，重視數學知識的深度與廣度。基于此，筆者以“斐波那契數列”為例，構建基于AIGC的高中數學理解型課堂教學路徑（如圖1）。在AIGC的技術融合線的連接下，教學流程線和數學理解線融合形成五個教學環節：情境導入，激活經驗性理解；觀察發現，助力形式化理解；類比探究，深化結構化理解；學以致用，達成遷移性理解；小結提升，拓展文化性理解。

（二）課堂教學

1.情境導入，激活經驗性理解

課堂伊始，教師利用“訊飛星火”獲得了關于“斐波那契數列”的教學情境素材，選取視頻《斐波那契螺旋》進行課堂導入，引導學生復習等差、等比數列的基本知識并探究數列的一般路徑，指出生活中還有一些比較特殊的數列，值得研究。

教師給出如下引例。1202年，意大利數學家斐波那契的著作《算盤書》出版了，書中記載了一個關于兔子繁殖的有趣問題：如果一對大兔子每個月可以生一對小兔子（一雄一雌），而一對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生一對小兔子。假定一年內沒有死亡，由一對初生的小兔子開始，一年后會有多少對兔子？樹狀圖的動態顯示，隨著月份增加，兔子數量不斷增加。學生得到一些數：1，1，2，3，5，8，…。教師要求學生自己歸納剩下的第6—12月的數據。在這個過程中，教師引導學生探究這些數的排列規律。

設計意圖：教師導入情境，介紹斐波那契及其發現的“兔子數列”，展現數學知識生成的文化背景，使學生初識數學文化，體會其中蘊含的趣味性、文化性和思想性。引導學生探究兔子數量之間的規律，將實際問題轉化為數列問題。回顧研究數列的一般路徑，復習等差、等比數列的知識，激活學生經驗性理解，為本節課的探究活動教學打基礎。

2.觀察發現，助力形式化理解

教師提出問題：對于該數列，應該如何求第50項？學生分組討論，他們想用數列的通項公式來求第50項，但該數列的通項公式不易觀察得出。部分學生的抽象概括能力和提煉總結意識較弱，于是教師引導學生應用AIGC幫助理解。學生用“訊飛星火”，直接輸入“1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…”并詢問是否認識該數列，數列有什么樣的規律。它馬上識別出這是“斐波那契數列”，給出數列定義和遞推計算公式，準確高效地歸納提煉出核心問題（如圖2）。

接著，教師問學生“‘斐波那契數列’的遞推公式是否就是 （）=（-1）+（-2）”。學生在辨析中認識到“訊飛星火”給出的答案不夠嚴謹。在教師啟發下學生提煉出“斐波那契數列”的遞推公式為

設計意圖：從具體的某一項出發，引導學生利用對遞推的經驗性理解來歸納提出數列的遞推公式。AIGC用自然語言和符號語言，幫助學生理解并強化斐波那契數列通項的特點，使學生有初步的形式化理解。

3.類比探究，深化結構化理解

問題：“斐波那契數列”是逐項遞推而來的，少了前一項就不知道后一項。求第項數列，要從頭算起，很麻煩。有時不想知道前面的數，只想知道某一項的數，怎樣辦？

在學生完成類比推導等比數列通項公式的探究任務后，教師引導學生詢問“訊飛星火”，得到通項公式，即  

教師追問：你們能理解這個式子有什么樣的結構特點嗎？

學生思考后，展開計算探究，發現將后一項除以前一項的商約等于1.6。于是，猜想隨著的增大，比值逐漸近似于某個值。但這個只是有限項的計算結果，這個猜想是否正確呢？倘若課堂上讓學生筆算，必然耗費相當多的時間，影響一節課的完整性。對于這種簡單重復的計算工作，AIGC非常勝任。“我想探究‘斐波那契數列’的后一項除以前一項的商的規律，你可以列出前十項的計算結果嗎”，學生詢問“訊飛星火”得到具體的數據證實了猜想，并且得知這個比值近似于黃金分割比例。學生得到一個性質：當趨向于正無窮時， 。

設計意圖：為了突破難點，教師指導學生從理解通項公式的本質出發，聯想、類比得到等差與等比數列的通項公式的過程，引導學生嘗試找到項之間的關系。學生會將后一項減去前一項，發現不是固定的常數，但是將后一項除以前一項，隨著的增大，會發現比值逐漸近似于1.618。教師盡量讓學生經歷這一發現過程。

接著教師又指出“斐波那契數列”有很多有趣的性質，引導學生計算分析它的結構特征。

教師：圖3中陰影部分這個長方形的面積是多少？最外圍的大長方形面積是多少？

學生分組討論，動手計算：

（1）1²+1²+2²+3²=3×（2+3）= 3×5=15；

（2）1²+1²+2²+3²+5²+8²=…。

教師追問：由此你可以猜想得到什么結論？學生觀察式子的結構特征，發現每個小正方形的邊長剛好是斐波那契數，得出結論：所有長方形的寬與長都是“斐波那契數列”中相鄰兩項，因此²+²+…+²=× （∈N）。

設計意圖：用圖形表示等式，讓學生體會數與形的完美結合。學生觀察式子結構，了解這個性質中對取任意正整數均可找到對應的圖形表示。在描述的過程中，教師引導學生關注到圖形中所構成的所有長方形的寬與長都是斐波那契數列中相鄰兩項，也為后面講解斐波那契螺旋線埋下伏筆，讓學生在學習數學文化的同時，感受“斐波那契數列”的數學美。

4.學以致用，達成遷移性理解

典例分析：已知“斐波那契數列”1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…遞推公式為

求解：

（1）+++…+ 是“斐波那契數列”中的第項。

（2）1++++…+ 是“斐波那契數列”中的第項。

（3）是“斐波那契數列”中的第項。

為了提高學生提問的積極性，使其體會AIGC答疑的優越性，教師引導學生在“訊飛星火”上輸入一個關于“斐波那契數列”的問題，接著利用“角色+學科+目標+要求”的指令句式對“訊飛星火”提問：“你是一名教師（角色），請你從高中數學的角度（學科），回答如何求‘斐波那契數列’奇數項的和（目標），并說明你的推導過程（要求）”。學生借助“訊飛星火”得到結果（如圖4）。

教師追問：由例題你能猜想有哪些結論呢？學生在AIGC幫助下，結合例題總結出“斐波那契數列”的一些性質。為了檢測學習效果，學生向“訊飛星火”提問，要求提供一道與“斐波那契數列”相關的高考試題。它很快提供題目，不僅有題目，還有題目的背景以及解法總結：“通過這道題目，我們看到‘斐波那契數列’可以與其他數列結合起來，形成復雜的遞推關系，并且需要運用歸納法來證明數列的性質。這類題目不僅考查了學生對‘斐波那契數列’的理解，而且考評學生的邏輯思維和數學推導能力。”

設計意圖：設置例題是為了鞏固學生對“斐波那契數列”性質的應用，讓學生借助AIGC總結得出更多的性質，接受個性化的習題訓練，達到遷移理解、自主學習的目的。

5.小結提升，拓展文化性理解

問題：如果在每個正方形內畫四分之一的圓弧，將這些弧線連起來，觀察它的形狀，在生活中能找到這樣的圖案嗎？

在學生拼出螺旋線后，教師指出：圖形中的正方形都是以斐波那契數為邊長的，因此這條優美的螺旋線稱為斐波那契螺旋。只要我們在圖中逐漸增加邊長為斐波那契數的正方形，則斐波那契螺旋就會不斷向外延伸。實際上，生活中有非常多這樣的案例，教師為學生展示海螺、發旋等圖片。

教師總結指出，這節課大家分析兔子繁殖問題認識了斐波那契數列，通過計算發現了該數列的一些性質和黃金分割數，其中黃金分割在生活中有廣泛應用。教師讓學生課后利用AIGC查閱資料，分組匯報對于“斐波那契數列”的文化認識。

設計意圖：教師讓學生作圖經歷發現美的過程，體會數學之美。帶領學生總結，全面梳理學習過程與核心知識，將知識拓展到生活中，將課堂教學延伸到課后，提出探究性問題，讓學生對“斐波那契數列”文化性有深刻的認識與理解。

三、反思及建議

（一）教學反思

AIGC在數學理解型教學中的應用，展現了巨大的潛力和價值，特別是在激發學生學習主動性和熱情方面。AIGC能夠根據師生需求生成個性化的資源，展開對話互動。學生不再是被動接受知識的容器，而是積極探索、主動學習的參與者。學生能夠根據自己的基礎和興趣，選擇合適的數學素材進行學習，這極大地提高了他們的學習興趣。每個學生都可以按自己的節奏學習。個性化學習有助于培養學生的自主學習能力，這恰好是數學理解型教學所倡導的。AIGC的及時反饋機制，為學生提供了及時的學習支持。這種及時反饋不僅突破了傳統教學中教師答疑的時間和空間限制，而且提高了解決問題的效率。學生在遇到困難時可立即獲得幫助，這對于學生持續學習和深度學習至關重要。

（二）使用建議

AIGC與一般的信息技術不太相同，對使用者的信息技術技能要求很低，這樣的低門檻將提高使用者的積極性。需要注意的是，清晰表達問題、掌握詢問技巧是運用AIGC生成準確素材的前提，這反映出數學交流能力的重要性。AIGC在解答數學問題時可能出現錯誤或不準確、不適合的情況。例如，在詢問“訊飛星火”如何開展數學理解時，它提供了多種教學方法，其中有“矩陣表示法”，這是不符合高中生實際水平的。如果初次提問得到的答復不符合要求，建議多次提問或換一個更加準確的說法進行提問。師生一定要批判性地使用AIGC。同時還要注意，如果學生過分依賴AIGC來解決數學問題，可能會忽視發展自身的計算和邏輯思維等能力，導致基本數學技能被削弱。筆者認為，教師的角色不可替代，我們需要找到一種平衡，讓AIGC成為教師的助手，而不是替代者。

注：本文系廣州市南沙區教育科學規劃2023年度課題“高中數學項目式學習案例的開發與實踐”（編號：NSJYK Y2023089）的研究成果。

參考文獻

[1][3]徐兆洋.基于TI-Navigator技術的數學理解型教學研究[J].電化教育研究，2013（11）：110-114.

[2][4]徐兆洋.數學理解型教學及其課例設計[J].數學通報， 2012（1）：41-44.

[5] 盧宇，余京蕾，陳鵬鶴，等.生成式人工智能的教育應用與展望 ：以ChatGPT系統為例[J].中國遠程教育，2023（4）：24-31.

（作者系廣東省廣州市南沙魚窩頭中學教師）

責任編輯：祝元志