基于問題解決的數學教學方法

在數學教學中，問題解決教學法是一種行之有效的方法。通過這種方法，學生不僅能提高學習數學的技能，還能培養他們的創新思維和問題解決能力。此外，問題解決教學法能引導學生從多個角度思考問題，培養他們的批判性思維和解決問題的能力。因此，教師應該繼續探索和應用問題解決教學法，讓它在初中數學教學中發揮作用，促進數學教學的發展。本文將以“圖形的旋轉（二）”為例，探討基于問題解決的數學教學方法，助力數學教學發展。

一、問題解決教學法的概念

顧名思義，問題解決教學法是指教師引導學生通過發現問題、分析問題、解決問題的過程，來掌握數學知識，培養學生解決問題的能力。它以問題為引導，以解決問題的過程為途徑，提高學生的學習能力，內化學生知識，旨在培養學生的自主探究能力和合作交流能力。這種教學方法的核心在于問題，通過提出問題，教師能夠引導學生思考，激發他們的好奇心和求知欲，從而幫助他們建立自己的知識體系。在解決問題的過程中，學生需要自主探究、合作交流，充分發揮自己的主觀能動性，不斷探索解決問題的途徑和方法，從而讓學生深入理解知識、掌握知識，提高自己的思維能力、創新能力和實踐能力。

問題解決教學法強調學生的主體地位，教師則扮演著引導者和輔助者的角色。教師需要為學生提供必要的支持和指導，幫助他們解決學習過程中的困難和問題。同時，教師還需要創造積極、開放、互動的學習環境，鼓勵學生積極參與、大膽表達、互相交流、互相學習。顯然，問題解決教學法不僅注重知識的傳授，更注重能力的培養。通過問題解決教學法，學生不僅能夠掌握知識，還能夠提高自己的問題解決能力、團隊合作能力、溝通能力和創新能力等。這些能力的培養對于學生未來的學習與發展具有重要意義。

二、問題解決教學法的教學優勢

（一）有利于培養學生的思維能力

在初中數學教學中，教師采用或者選擇問題解決教學方法，能夠打開學生思路，引發學生思考，使學生逐漸靠近知識的內核，培養學生的思維能力。例如，教師可以設計問題：“你們結合生活實際想象一下，家中的臺燈在旋轉時，光線和影子有何變化？”這個問題貼近學生生活，能迅速引導學生進入思考狀態，讓他們聯想現實中的情景，發現和總結知識。為了讓學生更好地理解問題、解決問題，教師還可以組織實踐活動，如讓學生利用紙片制作簡單圖形，并在燈光下觀察影子的變化。引導他們去發現，“通過改變紙片的位置，影子的形狀也會隨之改變，就像圖形在‘旋轉’一樣”這一知識點。顯然，這樣的問題解決教學法，不僅能保證教學效率，還能培養學生的思維，為提高學生的學習能力奠定基礎。

（二）有利于提升學生的深度學習能力

問題解決教學法以其獨特的方式深得大多數教師的青睞，特別是對于初中生而言，通過這種教學法能極大地提高他們深度學習的能力。如在“圖形的旋轉（二）”這一主題中，問題教學法的優勢顯得尤為突出。因為圖形的旋轉是一個重要、抽象的數學概念，問題解決法能引導他們逐漸理解這個概念。同時，理解這一概念不僅能提高學生的空間想象力，還能為他們后續的數學學習打下堅實的基礎。所以，課堂上，教師可以引導學生使用幾何畫板等工具進行圖形旋轉的模擬操作，并讓學生提出問題，再解決問題等。這樣不僅能讓他們直觀地感受圖形的變化過程，掌握旋轉圖形的概念、特征，發現知識形成的過程，還能培養學生獨立思考和解決問題的能力，為他們更好地理解和掌握圖形的旋轉知識，以及為接下來的數學學習打基礎。

三、對于教材的基本分析

本節課是九年級的內容，以平移和軸對稱的知識內容為基礎。在學習旋轉的過程中，我們可以借鑒之前的研究方法，從整體到局部，研究旋轉前后圖形的大小和形狀變化，以及對應點在數量和位置上的特征。通過旋轉的學習，學生可以更系統地認識圖形變換的研究過程，對圖形變換思想的體會也將更加深入。

四、學情分析

1.知識理論：從知識理論的起點來看，學生已經基本掌握了圖形旋轉的定義、特征與旋轉三要素等相關基礎知識，并能夠識別旋轉圖形。這為接下來探究圖形旋轉性質的學習奠定了基礎。

2.能力方面：從八年級學生的能力方面看，他們基本上能在教師的有效引導下，進行自我建構旋轉性質的相關基礎知識體系，并通過動手實驗、小組討論合作等方式，對相關熟悉的理論知識進行認證及歸納總結。這也在一定程度上表明學生具備一定的自主學習和合作探究能力。

3.情感價值：八年級的學生普遍具有求知欲和好奇心，在教師耐心、細致的引導下，他們能夠激發出主動獲取知識的動力，并從中獲得學習數學的參與感和成就感。這表明學生對數學學習持有積極的態度，愿意主動參與學習過程。

五、教學過程

（一）問題引入

在開始“圖形旋轉（二）”的教學之前，筆者首先通過一些問題引入相關概念和問題。首先，詢問學生：“你們是否曾經想過如何將一個圖形旋轉到指定的角度呢？”學生的反應十分熱烈，有的學生表示想要嘗試，有的學生則對此表示好奇。這時，筆者給學生展示下圖（見圖1）。

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圖1

然后，我們可以通過圖形的演示和引導，讓學生逐漸理解如何將圖形旋轉到指定的角度。在這個過程中，教師可以以問答的形式，引導學生思考和探索。

學生：老師，如何確定旋轉的角度？

教師：首先我們需要明確一點，旋轉圖形通常涉及二維圖形和三維圖形的旋轉。對于二維圖形，我們可以通過將其視為一個平面上的點集，并使用數學方法進行旋轉。而對于三維圖形，我們則需要使用三維坐標系和旋轉矩陣來進行旋轉。

假設我們有一個二維圖形，我們想要將其旋轉一定的角度（以弧度為單位）。我們可以按照以下步驟進行操作：

1.確定原點O（坐標為x0，y0）。

2.將圖形上的每個點（x，y）進行逆時針旋轉角度。由于圖形是一條封閉的曲線，我們需要對整個圖形進行循環旋轉。

3.將旋轉后的點按照原點的位置進行歸一化處理，得到新的坐標（x′，y′）。

通過以上步驟，我們就可以將一個二維圖形旋轉到指定的角度。三維圖形也可以采用類似的方法進行旋轉，但是需要使用三維坐標系和旋轉矩陣進行轉換。

需要注意的是，在旋轉圖形時，我們需要考慮一些細節問題，如邊界條件、重疊部分的處理等。同時，旋轉的角度應該是一個合理的大小范圍，不能太大或太小。因此，在應用上述方法時，需要結合具體的應用場景和需求進行選擇和調整。

學生：老師，那旋轉后的圖形會有什么變化？

教師：在我們的初中數學課程中，圖形的旋轉是一個重要的知識點。當一個圖形圍繞一個點旋轉一定角度后，其形狀和大小并不會發生改變，只是它的位置發生了改變。例如，我們通常會研究一個三角形圍繞一個點旋轉的情況等。當三角形旋轉后，它的各邊長度和角度大小都不會發生變化，只是它的位置發生了改變。同時，我們會發現旋轉中心對于整個圖形的重要性，它決定了圖形的旋轉方向和旋轉后的位置。

那么，旋轉后的圖形會有哪些變化呢？首先，它可能會變得與原來的圖形完全不同，但它的形狀和大小仍然保持不變。其次，旋轉后的圖形可能會與原來的圖形完全重合，但位置發生了改變。最后，如果原來的圖形是封閉的，那么旋轉后的圖形也一定是封閉的。同學們，圖形的旋轉是不是一個非常有趣且有用的知識點？我們生活中經常會見到的圖形旋轉應用，如旋轉門、風車、時鐘等。

（二）激發求知欲

通過“圖形的旋轉（二）”一課的學習，學生不僅可以深入了解圖形的旋轉原理，還可以培養空間想象力和邏輯思維能力。筆者會在具體的教學中，帶領學生逐漸發現數學知識的魅力，激發他們對未知領域的探索欲望，并讓這種探索的欲望帶領他們走向更廣闊的知識領域，幫助他們成為具有獨立思考能力和創新精神的未來人才。所以，教師在學生深入探究前，首先要激發學生的求知欲，讓學生無論是在課上還是課下，都有強烈的探究意識，并讓這種意識引導學生自覺深入知識進行探究，達到學習目的，提升學習能力。

教師：同學們，請觀察下面的圖形（如圖2），如果將ΔABC繞點C逆時針方向旋轉得到ΔDEC，你們能發現它的旋轉中心、旋轉角在哪里嗎？能發現點B的對應點在哪里嗎？線段CA的對應線是哪條？∠A對應的角是哪個角？

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圖2

學生看到這些問題會認真觀察圖形，積極思考，結合圖形旋轉的定義，總結圖形旋轉三要素（旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向），然后做出回答：

學生1：旋轉中心是C；旋轉角是∠ACD。

學生2：點B的對應點是點E；線段CA的對應線是線段CD。

學生3：∠A對應的角是∠D。

教師通過問題激發學生的求知欲，既能讓學生在復習圖形旋轉的定義的基礎上思考問題、回答問題，又能通過問題的遞進，激活學生的求知欲，培養學生的求知意識，為后續教學活動營造熱情、積極的氣氛。

（三）自主探究

自主探究是初中生學習數學的主要方法，尤其是素質教育背景下，初中數學教師在教學中設計自主探究環節，有利于學生自主學習能力與意識的形成，也能促進學生內在的成長。所以，在“圖形的旋轉（二）”導入環節之后，教師要引導學生進行自主探究。首先教師可以為學生展示幾個圖形旋轉的例子，讓學生觀察并思考這些圖形的特點（如圖3）。

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圖3

學生開始認真觀察，并積極思考、討論。在學生觀察、思考之后，教師可以以提問的方式，檢驗學生自主探究學習的成果。

教師：你們能總結一下旋轉圖形的基本特點嗎？

學生1：旋轉圖形是在平面內，一個圖形繞一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合的現象。

學生2：旋轉圖形的特點包括旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向和旋轉軸。旋轉中心決定了圖形旋轉后的位置，旋轉角度決定了圖形旋轉的弧度，旋轉方向決定了圖形順時針還是逆時針旋轉，旋轉軸決定了圖形旋轉的路徑。

學生3：旋轉圖形可以是軸對稱圖形，也可以是中心對稱圖形。軸對稱圖形的對稱軸就是旋轉軸，中心對稱圖形的對稱中心也是旋轉中心。旋轉圖形的性質包括旋轉前后圖形全等、對應邊相等、對應角相等。這些性質可以幫助我們解決與旋轉圖形相關的幾何問題。

在學生回答后，教師給予積極肯定和表揚。同時，教師引導學生發散思維，提出一些其他的觀點和想法，使學生的數學思維在潛移默化中得到培養。

（四）合作交流

在初中數學“圖形的旋轉（二）”的教學過程中，除了學生的自主探究，教師還可以組織學生進行合作交流，以加深學生對知識的理解和掌握。首先，教師可以將學生分成若干小組，讓每個小組分享各自在探究過程中的經驗和成果。通過交流，學生可以相互學習，取長補短，從而更好地掌握旋轉圖形的特點和規律。同時，教師可以引導學生發現新的問題，如在旋轉過程中有哪些注意事項、如何保證旋轉后的圖形是正確的等。這些問題可以為后續的教學做好準備，并為學生的深入探究提供方向。

合作交流不僅有助于學生之間的互相學習，還能促進師生之間的互動和交流。例如，在“圖形的旋轉（二）”的教學中，有些學生可能會發現旋轉圖形的一些特殊性質，如對稱性、周期性等。而有些學生則可能會提出一些新的問題，如旋轉圖形的形狀與原圖形的關系、旋轉角度與圖形變化的關系等。這些問題的提出和解決，不僅可以加深學生對知識的理解，還可以為后續的教學做好準備。在交流過程中，教師還可以了解學生的學習情況，發現教學中的不足和缺陷，并及時進行調整和改進。

（五）實操練習

練習永遠是檢驗課堂學習效率、幫助學生內化知識的重要方法。所以，在帶領學生以問題解決方法學了“圖形的旋轉（二）”后，教師要為學生設計較新穎的、學生感興趣的作業，讓學生運用實踐操作，檢驗理論知識，內化知識基礎，形成數學思維。如，“請同學們根據下面這張作旋轉圖的步驟（如圖4），課下制作自己心中的旋轉圖。”

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圖4

小結：通過基于問題解決的數學教學方法，學生不僅掌握了數學知識，更重要的是培養了問題解決能力、創新思維和團隊協作精神。同時，這種方法有助于提高學生的學習興趣和積極性，增強他們的自尊心和自信心。

六、教學反思

“圖形的旋轉（二）”是培養學生思維能力、運動變化觀點的重要課程，它作為平移和軸對稱的后續內容，蘊含著豐富的全等變換思想。在實際教學活動中，筆者注重通過生動有趣的學習情境，引導學生開展觀察、比較、操作等系列活動。例如，在講授一個新圖形時，筆者先讓學生觀察該圖形在旋轉前的狀態，再讓學生親手操作旋轉過程，最后比較旋轉前后的圖形是否一致。這些活動不僅幫助學生積極主動地進行探索性學習，還使他們積累了豐富的實踐經驗。此外，筆者注重從學生已有知識經驗的實際狀態出發，根據學生的認知特點設計教學環節。例如，在引導學生探索旋轉規律時，筆者先讓學生猜測旋轉的角度和方向，再通過實驗操作驗證自己的猜測，最后通過交流討論得出正確的結論。這種教學方式既激發了學生的學習興趣，又培養了他們觀察、分析和解決問題的能力。

當然，本節課還有許多需要改進的地方。例如，在提問時，筆者沒有給學生足夠的思考時間，這可能會影響學生的思考深度和回答質量。為了改進這一點，筆者將在今后的教學中應給予學生更充分的思考時間，并鼓勵他們養成思考、分析問題的良好習慣。此外，筆者將根據學生的學習反饋和表現，適時調整教學策略和方法，以更好地滿足學生的學習需求。

七、教學總結

教師在“圖形的旋轉（二）”的教學中運用問題解決的數學教學方法，有利于教學效率的提升。這種方法不僅可以有效地培養學生的創新思維和解決問題的能力，還可以提高他們的數學素養。教師需要從實踐中學習，積極面對和解決可能出現的問題，然后調整教學策略以適應學生的學習需求。只有通過這種方式，才能真正地為培養更多優秀的數學人才貢獻力量。

（作者單位：甘肅省蘭州市第十一中學）

編輯：張俐麗