基于浙江省中考函數試題分析的初中數學教學策略

浙江省2023年及以前的中考命題存在地區差異，但2024年將統一命題，遵循新標準。此變化標志著浙江初中數學教學和評價體系的新階段。函數是初中數學的核心，特別是一次函數、反比例函數和二次函數，對提升學生的數學能力和素養至關重要。因此，本文專題分析了2023年浙江省各地區中考數學試題，發現試題要求學生全面掌握函數知識，并能應用其解決實際問題，全面檢驗了學生的知識儲備和思維能力。

一、2023年浙江省中考函數試題分析

（一）關注本質，指向核心知識

在探討函數相關問題時，教師應著重引導學生深入理解函數的本質——即函數的概念及其基本性質。以二次函數為例，通過表達式分析，我們可以直接得出函數的開口方向、對稱軸和頂點位置等重要信息。這些信息對于繪制函數圖象、解決參數取值范圍等問題具有至關重要的作用。在解決函數問題時，學生應能夠根據函數的表達式想象出對應的圖象，或者從圖象中推斷出函數的性質。

試題1：在二次函數y=x2-2tx+3（t＞0）中，（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當0≤x≤3時，y的最小值為-2，求出t的值；（3）如果A（m-2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數的圖象上，且a＜b＜3，求m的取值范圍。

此題目的本質在于讓學生理解二次函數的基本形式y=ax2+bx+c及其性質，如開口方向、對稱軸、頂點等。此題中，函數形式為y=x2-2tx+3，其中a=1（開口向上），b=-2t，c=3。對稱軸為x=t。圖象過點（2，1），將點（2，1）代入函數表達式，得到1=4-4t+3。解此方程可得t的值。這是利用函數圖象與坐標軸交點的性質來求解參數t的基本方法。由于二次函數開口向上，其最小值出現在對稱軸上，即x=t處。將x=t代入函數表達式，并令其等于-2，得到t2-2t2+3=-2。解此方程可得t的值。這里需要注意的是，由于t＞0，需要舍去不符合條件的解。由于點A和C的縱坐標相同，根據二次函數的對稱性，它們關于對稱軸對稱。即m-2和m的平均值等于t，從而得到t=■=m-1。點B（4，b）在函數圖象上，且b＜3，說明當x=4時，y的值小于3。將x=4代入函數表達式，得到16-8t+3＜3，解此不等式可得t的一個范圍。結合a＜b＜3的條件，以及點A、C的縱坐標相同且小于b，可以進一步確定m的取值范圍。可以說，此題通過不同的設問方式，全面考查了學生對二次函數性質、圖象以及參數求解的掌握情況。在解題過程中，始終圍繞函數的本質和核心知識展開，既考查了基礎知識的掌握情況，又考查了運用知識解決實際問題的能力。類似的問題在杭州卷第8題、麗水卷23題、寧波卷第9題和紹興卷23題中也有出現。

（二）立足方法，凸顯數形結合

函數作為數學中的核心概念，其表示方式多樣，包括解析法、圖象法和表格法等。但在深入研究各類函數時，我們更常依賴于解析法和圖象法的緊密結合。在浙江省2023年各地區的中考卷中，我們可以明顯看到這一趨勢的體現。大量題目要求考生結合方程、不等式和代數式來解決問題，這正是“數”的力量的體現。

試題2：在“探索一次函數y=kx+b的系數k，b與圖象的關系”的活動中，教師給出了直角坐標系中的三個點：A（0，2），B（2，3），C（3，1）。同學們畫出了經過這三個點中每兩個點的一次函數圖象，并得到對應的函數表達式y1=k1x+b，y2=k2x+b，y3=k3x+b，分別計算k1+b，k2+b，k3+b的值，其中最大的值等于_____。

試題3：一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y=■的圖象交于點A（2，3），（m，-2），則不等式ax+b＞■的解是（ ）。

此題目通過對一次函數y=kx+b的系數k、b與圖象的關系的探索，加深了學生對數形結合的理解，不僅考查了學生的作圖、識圖能力，還要求學生能夠從圖象中直觀地找到答案，實現數與形的完美結合。試題3考查的是如何利用函數圖象來解決方程和不等式問題。題目中一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=■的圖象的交點，直接對應了方程的解；而不等式的解則可以通過觀察圖象中函數值的大小關系來得出。這種方法既直觀又高效，充分體現了數形結合在解題中的優勢。

試題4：如圖1所示，點A，B分別在函數y=■（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C。點D，點E在函數（b＜0，x＜0）的圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連接DE，BE。若AC=2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a-b的值為__________，a的值為__________。

■

圖1

函數圖象與幾何綜合問題考查反比例函數k的幾何意義，解決此類問題要牢牢把握圖象與幾何圖形的交點坐標，通過坐標的概念實現坐標與線段之間的轉化，再結合所學幾何圖形的性質，通過勾股定理、相似三角形、點在函數圖象上等方式構建方程求解，過程復雜，需要學生對函數、幾何知識系統理解、掌握。

（三）遷移素養，彰顯育人價值

在2023年浙江省各地區的中考中，實際問題的類型非常豐富，包括方案選擇問題、行程問題、項目化問題等。學生需要從實際問題中摒棄其中的物理因素，抽象得到數學問題，通過作圖、活動經驗、收集實驗數據建立數量關系以及量之間的變化規律，完成數學的再抽象，形成函數模型思想，增強學生的函數應用意識以及學科核心素養。

試題5：“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具。綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的、豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置。

【實驗操作】綜合實踐小組設計了如下實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30 cm，開始放水后每隔10 min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據表（略）。

任務1：分別計算表中每隔10 min水面高度觀察值的變化量。

【建立模型】小組討論發現“t=0，h=30”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關系。

任務2：利用t=0時，h=30；t=10時，h=29這兩組數據求水面高度h與流水時間t的函數解析式。

【反思優化】經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差。小組決定優化函數解析式，減少偏差。通過查閱資料后知道：t為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小。

任務3：計算任務2得到函數解析式的w值。

【設計刻度】得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間。

任務4：請你簡要寫出時間刻度的設計方案。

此試題以我國古代的“刻漏”為背景，采用項目化問題解決的形式進行設計。學生首先需要理解“刻漏”的計時原理，即水面高度和流水時間有關。這實際上是將實際問題轉化成數學問題的第一次抽象，然后，借助一次函數進行刻畫，考查學生的函數應用意識。在數據的選擇上，學生需要進行分析和思考以及后續進行模型優化。這體現了模型應用的一般思路：建模—解模—優模。在后續的模型優化中，學生需要科學、準確地使用實驗數據和模型數據，選取誤差較小的k進行模型優化。

試題6：某校與部隊聯合開展紅色之旅研學活動，上午7：00，部隊官兵乘坐軍車從營地出發，同時學校師生乘坐大巴從學校出發，沿公路（如圖2）到愛國主義教育基地進行研學，上午8：00，軍車在距離營地60 km的地方追上大巴并繼續前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領取研學物資，然后乘坐軍車按原速度前行，最后和師生同時到達基地，軍車和大巴距離營地的路程s（km）與所用時間t（h）的函數關系如圖3所示。

■

圖2 圖3

（1）求大巴距離營地的路程s與所用時間t的函數表達式及a的值。

（2）求部隊官兵在倉庫領取物資所用的時間。

此試題改編自書本例題，學生解決問題時需要先將實際問題抽象成數學問題，并結合圖3的函數圖象進行數學建模，依據函數圖象特征，用一次函數模型刻畫該行程問題，通過函數圖象中的特殊點進行分析并結合實際情境解決問題，考查學生的建模、用模能力。

二、初中數學教學策略、建議

（一）理解核心概念，夯實基礎

函數作為描述和研究運動變化的重要工具，其核心概念的理解對培養學生的數學能力和素養至關重要。初中階段涉及的三種主要函數：一次函數、反比例函數和二次函數，雖然形式上都是通過表達式來定義，但它們各自背后所蘊含的核心意義卻截然不同。

一次函數通過斜率截距形式y=kx+b，其斜率k直觀地描述了勻速變化的快慢，而截距b則給出了函數圖像與y軸的交點位置。在教學中，教師要讓學生明確理解一次函數與勻速變化之間的對應關系，通過引入實際問題，讓學生體會一次函數模型在現實生活中的應用。反比例函數則通過y=■的形式來表示，其中k為常數，體現了變量間的定積關系。在教學過程中，教師應引導學生理解反比例函數圖象的雙曲線特性，以及為何在某些實際問題中需要用反比例函數來描述變量間的關系。二次函數作為刻畫勻變速運動的工具，其形式為y=ax2+bx+c。通過二次函數的頂點、對稱軸等性質，學生可以深入理解勻變速運動的特點。在教學中，教師可以通過實驗數據、物理情境等，讓學生直觀感受二次函數與勻變速運動之間的聯系，進而加深對二次函數概念的理解。

在夯實函數核心概念的基礎上，教師還應重視計算的教學。計算不僅是為了得出結果，更重要的是讓學生通過計算過程，理解函數表達式的運算邏輯和算理。為此，教師可以設置小型競賽、限時訓練等教學活動，讓學生在競賽中提高計算速度和準確性，在限時訓練中鍛煉思維的敏捷性和嚴密性。

（二）編織知識網絡，完善體系

為幫助學生全面理解數學知識，教師應構建邏輯清晰的教學框架，將數學中的核心概念、原理和方法整體傳授給學生，使他們能夠將這些知識點有效地串聯，進而形成系統、完整的知識體系。

首先，教師需要深入剖析每個數學核心概念，并利用知識框架圖，將相關知識點按其邏輯關系進行有序的排列和連接，幫助學生清晰地看到知識點之間的聯系和區別，從宏觀角度把握數學知識體系的結構。

其次，教師可以通過創新的教學方法來鞏固和深化學生對知識的理解。例如，教師可以鼓勵學生制作數學小報，自主搜集、整理、總結與所學知識點相關的內容。這一過程不僅能鍛煉學生的信息搜集和整理能力，還能讓他們在實踐中發現知識點之間的內在聯系，從而更深入地理解和掌握數學知識。

最后，為了提高學生的知識應用能力，教師需要注重跨學科知識的融合。例如，在函數的教學中可以引入物理學科中的速度和加速度等概念，通過建立速度與時間之間的函數關系，讓學生理解勻速、勻加速等運動狀態下的函數圖象和性質。這樣，學生不僅能夠直觀地理解函數的概念，還能夠看到數學在解決實際問題中的應用。

（三）滲透數學思想，提升能力

在函數模塊的學習中，數學思想的滲透對學生能力的培養至關重要。其中，“數形結合”與“函數建模”是兩種核心的數學思想，它們對提升學生的數學能力和解決實際問題具有顯著意義。“數形結合”思想的學習和應用，在新課和復習課中都應得到充分體現。例如，當學生學習含參二次函數時，教師可以通過引導學生自己動手作圖，讓他們直觀地觀察到函數圖象的變化規律。學生在嘗試繪制含參二次函數圖象的過程中，不僅能夠加深對函數性質的理解，還能在考試時靈活運用數形結合的方法解決問題。相較于單一的代數法，數形結合能更直觀地揭示問題的本質，從而提高解題效率。此外，學生在作圖過程中，不僅能培養動手能力，還能更深入地理解二次函數的性質。在比較和探究的過程中，學生的推理能力以及數形結合思想都會得到顯著提升。

“函數建模”則是連接數學知識與現實生活的橋梁。在現實生活中，許多問題都可以通過函數建模來解決。因此，教師在復習時應著重總結函數建模的一般方法。例如，教師可以引導學生將實際問題中的關鍵信息提取出來，識別出適用的數學模型，如線性模型、二次模型等。然后，學生根據這些模型建立數學方程，進而解決問題。在此過程中，學生不僅能掌握函數建模的方法，還能培養問題解決能力。為了進一步優化模型，教師還可以引導學生對建立的模型進行驗證和調整，使其更符合實際問題的需求。通過這樣的學習過程，學生不僅能深刻理解函數建模的思想，還能在實際應用中提升自己的問題解決能力。

（四）反思解題過程，遷移素養

解決問題是學生綜合能力的全面體現，它不僅涉及知識和技能的掌握，還體現了學生的數學能力和學科核心素養。為了進一步提升學生的理解和應用能力，教師需要引導學生進行深入的解題反思，并通過題型轉換和變式訓練加強學生對解題過程的總結。在二次函數的教學中，反思解題過程尤為重要。教師可以通過設計選擇題和填空題，幫助學生鞏固二次函數的基礎知識。例如，給出具有不同系數的二次函數表達式，讓學生求解函數的頂點、函數與坐標軸的交點等問題。這樣的訓練旨在使學生熟練掌握二次函數的基本性質和解題方法。隨著學生對基礎知識的逐漸掌握，教師可以適當增加題目的難度，如給出部分系數未知的二次函數表達式，引導學生進行求解。在此過程中，學生不僅需要靈活運用所學的知識和技能，還需要深入反思和總結解題的方法和思路。

解題反思的過程不僅有助于提升學生的數學知識和技能，還能培養其邏輯思維和分析問題的能力。通過不斷的反思和總結，學生能夠逐漸形成遷移核心素養的能力，即在面對新的問題和挑戰時能夠靈活運用所學的知識和方法，迅速找到解決問題的有效途徑。最終，這種深入的解題反思和總結將顯著提升學生的元認知能力。學生將能夠更加清晰地認識到自己的解題過程和思路，從而更好地監控和調節自己的學習過程，實現高效學習。同時，這種遷移核心素養的能力也將為學生的未來學習和發展奠定堅實的基礎，使其成為具備終身學習能力和創新精神的優秀人才。

綜上所述，隨著浙江省中考命題方式的轉變，全省統一命題的到來為初中數學教學帶來了新的挑戰和機遇。通過對2023年中考中有關函數試題的深入分析，不難發現，函數內容在中考中占據重要地位，其考查方式充分體現了對學生數學核心素養的全面要求。因此，在未來的教學中，教師應更加注重對核心概念的理解、數學思想的滲透以及解題過程的反思，以幫助學生構建完整的數學知識體系，提升數學能力和問題解決能力。

（作者單位：浙江杭州市余杭區太炎中學）

編輯：趙文靜