立足整體視角，培養學生的系統思維

一、教學內容分析

本節課以含有多未知數的實際問題為情境，讓學生經歷“分析問題→設出合適未知數→根據數量關系列出方程組→解方程→檢驗方程的解”這一過程，學會用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界，并用數學的語言表達現實世界。

二、學情分析

學生在七年級上冊已經學過了一元一次方程。對于方程有了初步的了解，有了一定的知識儲備，本節課給學生搭建“腳手架”的同時，將知識進一步升級，從一元一次方程過渡為二元一次方程。通過類比學習，學生可將二元一次方程組的內容填充進已有的知識框架中，也為九年級上冊學習一元二次方程打下基礎。學生在分析實際問題時，會優先選擇已經學過的一元一次方程。因此，問題情境的設置要有針對性，有區別度，讓學生體會到有些問題一元一次方程比較簡單。但是有些問題用一元一次方程解決不了時，可以用二元一次方程解決。另外，在解二元一次方程組的過程中學生會遇到很多問題，為什么要向一元一次方程轉化、為什么可以轉化、如何轉化。這里需要教師引導學生理解兩個方程中的同一未知數表示的是實際問題中的同一意義，進一步體會消元、化歸思想。

三、教學目標

1.通過具體問題情境，讓學生了解數學源自生活，并將用來解決生活中的問題，激發學生的學習興趣，有助于學生快速進入學習情境，了解數學知識的抽象性和思維具體形象性的關系。

2.通過類比一元一次方程，了解二元一次方程及其相關概念。

3.通過對比和實際操作能了解解二元一次方程組的關鍵是消元，基本目標是化歸，最終轉化為x=a，y=b。根據二元一次方程組的特征選擇合適的方法解簡單的二元一次方程組。

4.回歸實際問題，能通過數學建模解決實際問題，并強化檢驗習慣。

5.給學生搭建起學習方程的路徑，為八年級學習分式方程打下基礎。

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圖1

四、教學設計

（一）創設情境，導入新知

情境1：今年的中國大學生籃球聯賽正在如火如荼地舉行。回顧去年的總決賽，廣東工業大學對戰清華大學的比賽在網上掀起熱浪。（插入視頻比賽的精彩瞬間）。已知籃球比賽每場都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分。某隊在10場比賽中得到16分。那么這個隊的勝負場數分別是多少？（只列式，不解答）

師生活動：教師播放視頻，引發學生興趣，并展示問題讓學生嘗試解決，讓學生體會到數學來源于生活，并用來解決生活中的實際問題。學生獨立完成。有些學生可能會遇到困難。教師嘗試引入工具表格，幫助學生分析題目。

表1

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學生完成后，分享結果。若有學生用了二元一次方程組，則提供出來一起分享。若沒有則需要追問：若直接設兩個未知數，我們應怎樣設？怎樣列方程更加容易呢？

（設計意圖：通過熱點視頻導入新課，能夠快速吸引學生的注意力，啟動學生思維，激發學生興趣。通過追問引入今天要學習的內容，并讓學生學會對比。工具表格可幫助學生分析題目中的數量關系，以便學生在遇到復雜的問題時也能夠熟練使用表格分析問題。）

情境2：因籃球比賽火遍網絡，你所創業開設的球衣工廠訂單暴增。某工廠加工球衣需經兩道工序，第一道工序每人每天可完成900件。第二道工序：每人每天可以完成1200件，現有7位工人參加兩道工序，應怎樣安排人力才能使每天第一道工序、第二道工序所完成的件數相等？（只列式，不解答）

師生活動：教師展示問題，創設問題情境，激發學生的學習興趣和求知欲，啟動學生的思維，激發學生對新知學習的熱情，拉近學生與新知的距離。學生獨立完成，列出方程。教師關注學生完成情況，個別有困難的學生指導如何利用工具表格分析數量關系，并請學生用黑板展示答案。

（設計意圖：通過讓學生當“小老板”，激發學生的興趣，并體會數學的實用性，體會數學在實際生活中的應用。通過分享答案，學生獲得數學學習的成就感，增強學習數學的興趣與信心。）

情境3：球衣制作工廠有兩種技術工人。兩個一級工人和五個二級工人同時工作兩小時共制作球衣360件。三個一級技術工人和兩個二級技術工人同時工作五小時可制作800件球衣。問每個一級技術工人和二級技術工人每小時平均各可以制作多少件球衣？（只列式，不解答）

師生活動：學生充分讀題，可以適當討論。學生嘗試解答后，對于有困難的學生，教師引導學生關注有兩個未知數、兩個等量關系。學生依據發現的等量關系建立方程組，并用黑板展示。對于這道題目而言，學生通過解題能夠發現用一元一次方程沒辦法解決。教師適時總結：“不能用一元一次方程解決的問題，我們也可以設兩個未知數列兩個方程解決。隨著未知量的增加，未知關系的復雜化，一元一次方程不能解決問題了，我們可以通過設兩個未知數列兩個方程來解決問題。”

（設計意圖：學生通過列出方程發現，這個實際問題只能通過設兩個未知數列兩個方程來解決。學生通過對比逐步發現，有些問題通過二元一次方程組解決更加簡單，還有一些問題必須通過二元一次方程組才能解決問題。）

（二）前銜后連，類比生成

任務一：觀察上述我們得到的算式，他們有何共同特點，類比我們學過的一元一次方程，得出上述式子的特征，并給它們取個名字，下個定義。

師生活動：學生一起回憶一元一次方程的定義，分享學生的觀察結論，找到關鍵點，將其規范化得出二元一次方程的定義：含有兩個未知數，含有未知數的項的次數都是1的方程叫作二元一次方程。

（設計意圖：通過類比讓學生通過觀察、分析、總結二元一次方程的特征，并得出二元一次方程的定義，體會從特殊到一般的歸納過程。這一過程讓學生找到新知識的生長點，體會新舊知識之間的銜接，感受知識的不斷升級，發現知識間的聯系，并將新知識納入自己已經有的知識框架中，有助于學生系統地學習，有助于知識的整體性發展。）

追問：剛剛的實際問題中包含兩個同時滿足的條件，即x，y需要同時滿足兩個方程。我們將它們用大括號合在一起就得到了方程組。那么二元一次方程組的概念你可以嘗試總結一下嗎？

師生活動：學生自由發言，互相啟發，不斷補充完善，教師最后總結，規范二元一次方程組的定義：方程組中含有兩個未知數，含有每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組。

任務達標：下列各方程組中，是二元一次方程組的是（ ）

（1）x+y=1y=-2 （2）xy=1x+y=2 （3）x=-1■=3

（4）x+y=1y-z=0 （5）x=12y=8

師生活動：學生獨立思考做出選擇，并說明理由。

任務二：類比探究，辨析概念。

1.將滿足實際意義并滿足方程x+y=10的x，y的值填入表2中。

表2

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2.將滿足實際意義并滿足方程2x+y=16的x，y的值填入表3中。

表3

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師生活動：類比一元一次方程的解得出二元一次方程組的解的概念，即使二元一次方程兩邊值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解。

追問：二元一次方程的解有幾組？

追問：觀察x+y=10和2x+y=16的解，我們有何發現？

有一組解x=６y=４是相同的。它既滿足x+y=10又滿足2x+y=16。我們把它稱為二元一次方程組x+y=102x+y=16 的解。

（設計意圖：通過對比表格體會二元一次方程組的解是這兩個方程的公共解，同時提高學生的細心觀察和大膽分析的能力。）

追問：我們只能通過列表格的方法找二元一次方程組的解嗎？

在解決剛剛的實際問題的過程中，我們既可以用一元一次方程解決，又可以用二元一次方程組解決。那么對比觀察我們得到的這兩種方程，它們有什么關系？從中你能得到什么啟發嗎？

2x+（10-x）=16 x+y=102x+y=16

900x=1200（7-x） x+y=7900x=1200y

師生活動：學生獨立思考后小組討論。大部分學生能發現兩個方程之間的聯系，對于一元一次方程中括號里的內容，我們可以用二元一次方程組里的一個方程變形得到。例如，2x+（10-x）=16中的10-x可以由方程組中的x+y=10得到。我們將變形后的y=10-x代入第二個方程中就得到了一元一次方程。

追問：通過將二元一次方程組轉化為一元一次方程，我們是否達到了解方程組的目的？你能嘗試解出x，y的值嗎？

師生活動：學生獨立思考、完成解題過程。教師巡視過程，并拋出問題，解出x后怎樣得到y的值？學生思考并嘗試并得到答案，將x值代入y=10-x中。

追問：1.我們把y=10-x代入x+y=10中可以解出x的值嗎？試試看。

學生通過思考或者嘗試發現不可以。

2.我們為什么可以將x+y=10變形為y=10-x并帶入2x+y=16中？

3.在方程組的兩個方程中x和y是否表達實際問題中的同一意義？

4.我們進行上述轉化的目的是什么？

（設計意圖：讓學生理解兩個方程組中的x都表示勝場數，y都表示負場數。兩個x表示的意義相同。因此我們能夠通過變形帶入，從而將二元一次方程組轉化為一元一次方程。而進行轉化的目的是進行消元，而消元的目的則是將未知轉化為已知，達到解方程的目的，讓學生更好地發現代入消元法的關鍵。）

5.我們能將x的值代入2x+y=16中求y嗎？哪種運算更加簡便？

6.對于x+y=102x+y=16，你能寫出求解過程嗎？你可以總結一下這個步驟嗎？

學生總結：（1）變形。（2）代入。（3）解一元一次方程。（4）將解代入簡單方程求另一個未知數。

（設計意圖：總結代入消元法求解二元一次方程組的步驟是一個數學建模的過程，是一個從特殊到一般的過程。這個過程有利于學生知識的系統化，提高學生的計算能力。學生完成解題后，教師可以利用投影等方式規范學生的解題過程。）

追問：你認為我們在解上面兩個方程的過程中最關鍵的是哪一步？

學生自由發言，互相啟發，明確最關鍵的一步是代入。

教師總結：通過將10-x代入2x+y=16，我們將二元一次方程組轉化為一元一次方程，目的是將未知數的個數由多化少，逐一解決。減少未知數的個數，使多元方程轉化為一元方程再求解。我們把這一過程叫做“消元”。把這種解方程的方法叫做代入法解方程。

任務達標：用代入法解方程組

x+y=7900x=1200y x-y=33x-8y=14

師生活動：學生獨立解方程組，教師邀請兩位學生上講臺解題。教師在巡視過程中時刻關注學生的解題情況，盡量做到及時批改。學生做完，教師基本可以批完，并糾正學生出現的錯誤。對于部分基礎薄弱的學生，教師可以通過小組互助的方法來幫助。

（三）知識建構，指向未來

到這里我們已經能夠順利解決我們開始遇到的兩個實際問題。還有第三個問題我們沒有解決，你能嘗試用我們剛剛學過的內容解一下這個問題的答案嗎？

學生獨立解題，發現能夠解出答案，但是解題過程比較復雜。

追問：為什么不好解？

學生能很快反應與x，y的系數有關。我們前面解的方程x或y的系數為1。因此很容易轉化帶入。

追問：回顧我們這節課的學習，結合我們學過的一元一次方程，你能總結一下我們本節課的學習路徑嗎？

師生活動：學生自由發言，互相啟發，互相補充完善，構建這節課的知識框架和學習路徑。教師總結：“我們從實際問題出發，通過設未知數，列出方程，在一元一次方程的基礎上又學習了二元一次方程和二元一次方程組。然后類比一元一次方程的解，我們知道了什么是二元一次方程組的解。并通過對比分析得出解二元一次方程組的方法——代入消元法。這個二元一次方程組的解也就是我們開頭實際問題的答案。帶領學生回顧，我們在學習一元一次方程時，是不是也是遵循這個路徑進行一步步的學習。同樣，我們以后學習分式方程和一元二次方程也將遵循這個路徑，形成一個完整的閉環。”

（四）分層作業，積累經驗

▲基礎作業

1.代入法解方程。

x+2y=5y=2x x-y=13x+y=7

2.我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何。”你可以用二元一次方程組來表示題目中的數量關系嗎？試找出問題的解。

3.若方程3xm-2+5y2n-m是關于x，y的二元一次方程，則m= ，n= 。

▲拓展作業

1.若方程（m+2）x■+（n+3）y■=3是關于x，y的二元一次方程，則m= ，n= 。

2.代入法解方程。

x+y+z=12x+2y+5z=22x=4y

（作者單位：鄒平經濟技術開發區實驗學校）

編輯：張俐麗