初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的實(shí)踐

一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課以北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第四章“一次函數(shù)”中的“函數(shù)”（第74頁到78頁）為例，通過實(shí)例引入常量與變量的概念，進(jìn)而講解函數(shù)中常量與變量的意義，旨在幫助學(xué)生理解函數(shù)關(guān)系，特別是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及如何從實(shí)際問題中抽象出這種關(guān)系。此外，介紹了變量之間的關(guān)系可以用不同的形式（如解析式、圖像、表格等）進(jìn)行表達(dá)，并強(qiáng)調(diào)了在解決實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值范圍應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來確定。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.通過實(shí)例了解常量、變量的概念，理解函數(shù)中常量、變量的意義。

2.引導(dǎo)學(xué)生通過探究性學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)尋找常量、變量，判斷兩個(gè)變量之間是否滿足函數(shù)關(guān)系。

3.培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，使其能夠運(yùn)用函數(shù)模型描述和解決實(shí)際問題。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)中常量、變量的意義，掌握判斷兩個(gè)變量之間是否滿足函數(shù)關(guān)系的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問題抽象為函數(shù)模型，確定自變量的取值范圍。

四、教學(xué)過程

師：同學(xué)們，我們生活中常常會(huì)遇到很多變化的量，如時(shí)間和距離、購買數(shù)量和總價(jià)。今天我們將要學(xué)習(xí)一種新的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)，來幫助我們更好地理解和描述這些變化關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：通過簡單的對(duì)話引起學(xué)生的好奇心和興趣，為接下來的教學(xué)活動(dòng)做鋪墊。）

◆活動(dòng)一：實(shí)踐探究，學(xué)習(xí)新知

［探究1］

師：請(qǐng)同學(xué)們看這兩個(gè)例題，我們來分析一下其中哪些量是變化的，哪些量是不變的。

（展示例題1和例題2）

例題1：小轎車在高速公路上勻速行駛，速度是恒定的100千米/時(shí)，那么哪些是變量，哪些是不變量呢？

A.行駛速度

B.行駛時(shí)間

C.行駛路程

例題2：每張電影票的售價(jià)為10元，某日共售出x張票，票房收入為y元，其中，_____是常量，_____是變量。

學(xué)生觀察例題，思考。

師：對(duì)于第一道例題，小轎車在高速公路上勻速行駛，速度是恒定的100千米/小時(shí)，那么哪些是變量，哪些是不變量呢？

生1：時(shí)間是變量，因?yàn)檐嚳梢孕旭偛煌臅r(shí)間；路程也是變量，因?yàn)樾旭偟臅r(shí)間不同，路程也會(huì)不同。而速度是常量，因?yàn)樗恢笔?00千米/小時(shí)。

師：很好，分析得很到位。那么對(duì)于第二道例題呢？

生2：電影票售出的張數(shù)x是變量，因?yàn)槭燮钡臄?shù)量會(huì)變化；票房收入y也是變量，因?yàn)殡S著售票數(shù)量的增加，收入也會(huì)增加。而每張電影票的價(jià)格10元是常量，因?yàn)樗粫?huì)變。

師：非常正確！通過這兩道例題，我們可以看出有些量是不變的，我們稱之為常量；而有些量是變化的，我們稱之為變量。在生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這種變量之間的關(guān)系，而函數(shù)就是描述這種關(guān)系的一種工具。

（設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)際問題的分析，引導(dǎo)學(xué)生理解常量和變量的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)打下基礎(chǔ)。同時(shí)，通過師生的互動(dòng)對(duì)話，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，提高思維能力和表達(dá)能力。）

［探究2］

師：在之前的探究中，我們發(fā)現(xiàn)了時(shí)間和路程、電影票數(shù)量和票房收入之間都存在著某種關(guān)系。現(xiàn)在，請(qǐng)大家思考這兩個(gè)問題。

問題1：在上述的問題中，都出現(xiàn)了兩個(gè)變量，它們之間有什么聯(lián)系？

問題2：這些變量之間有什么特點(diǎn)？

師：請(qǐng)同學(xué)們分小組討論這兩個(gè)問題，并嘗試歸納出你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（學(xué)生分組討論，記錄發(fā)現(xiàn)）

小組代表1：我們發(fā)現(xiàn)，在時(shí)間和路程的關(guān)系中，當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，路程s也隨之確定。比如，當(dāng)t=1時(shí)，s=100；當(dāng)t=2時(shí)，s=200。這說明s和t之間是互相關(guān)聯(lián)、互相影響的。

小組代表2：在電影票數(shù)量和票房收入的關(guān)系中，也存在類似的規(guī)律。當(dāng)電影票數(shù)量x確定時(shí)，票房收入y也隨之確定。這說明x和y之間也是互相關(guān)聯(lián)的。

教師小結(jié)：很好！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了這些變量之間的一個(gè)重要特點(diǎn)。那就是，在兩個(gè)變量中，當(dāng)其中一個(gè)變量為定值時(shí)，另一個(gè)變量就有一個(gè)唯一的值與它相對(duì)應(yīng)。這就是函數(shù)的基本特征。

（設(shè)計(jì)意圖：在本次函數(shù)概念的教學(xué)活動(dòng)中，教師采用了問題引申和小組合作討論的方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索和合作交流，深入理解函數(shù)的本質(zhì)。教師通過引導(dǎo)學(xué)生歸納變量間的相互關(guān)系，幫助學(xué)生逐步把握函數(shù)的基本特征，從而為其后續(xù)深入探究函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。）

◆活動(dòng)二：開放訓(xùn)練，體現(xiàn)應(yīng)用

師：同學(xué)們，我們之前討論了變量之間的關(guān)系，并了解到這種關(guān)系可以用不同的方式來表示。現(xiàn)在，讓我們來看一個(gè)實(shí)際生活中的例子，汽車油箱中的油量隨著行駛的路程而變化。

例題：汽車油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km。請(qǐng)找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并確定x的取值范圍。

師：首先，我們來看如何表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。同學(xué)們能嘗試寫出一個(gè)表示這種關(guān)系的式子嗎？

生1：我覺得應(yīng)該是y=50-0.1x，因?yàn)橛拖涑跏加?0 L油，每行駛1 km耗油0.1 L。

師：非常好！這個(gè)式子正確地表達(dá)了y與x之間的關(guān)系。那么，接下來我們要考慮x的取值范圍。同學(xué)們覺得x可以取哪些值呢？

生2：x應(yīng)該不能取負(fù)數(shù)，因?yàn)槁烦滩豢赡苁秦?fù)的。而且，當(dāng)x=500時(shí)，y=0，所以x的取值范圍應(yīng)該是0到500之間。

師：非常棒！你不僅考慮了x的實(shí)際意義，還結(jié)合了函數(shù)關(guān)系式來確定x的取值范圍。確實(shí)，x的取值范圍是0≤x≤500。

（設(shè)計(jì)意圖：通過講解例題和師生互動(dòng)對(duì)話的形式，教師引導(dǎo)學(xué)生初步理解變量間的關(guān)系可用解析式表達(dá)，深化對(duì)變量和常量的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，借助實(shí)際問題的應(yīng)用，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的問題解決和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，還規(guī)范了他們的語言表達(dá)和書寫習(xí)慣。）

◆活動(dòng)三：課堂檢測，鞏固提升

師：我們來看這道題：小明決定每天攢1元錢去幫助需要幫助的人，并且他現(xiàn)在已經(jīng)存了3元。同學(xué)們，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)情境，找出存錢總數(shù)y與天數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系。

生：函數(shù)關(guān)系式是y=x+4。因?yàn)樾∶髅刻鞌€1元，所以x天后，他會(huì)攢x元，加上原有的3元，總數(shù)應(yīng)該是x+3+1=x+4元。但是這里有個(gè)問題，如果x從0開始算的話，那么第一天他應(yīng)該有3元，所以函數(shù)關(guān)系式應(yīng)該是y=x+3才對(duì)。

師：很好，你發(fā)現(xiàn)了問題并進(jìn)行了修正。確實(shí)，函數(shù)關(guān)系式應(yīng)該是y=x+3，其中x表示從第一天開始算起的天數(shù)。那么，當(dāng)天數(shù)x越大，存錢總數(shù)y會(huì)怎樣變化呢？

生：隨著天數(shù)x的增加，存錢總數(shù)y也會(huì)相應(yīng)增加。

師：現(xiàn)在我們來看另一道題目：每天值日的同學(xué)要整理粉筆盒，班級(jí)原來有4盒粉筆，老師們每周用1盒。同學(xué)們能找出剩余的粉筆盒數(shù)y與所用星期x之間的函數(shù)關(guān)系嗎？

生：函數(shù)關(guān)系式是y=4-x。因?yàn)槊恐苡?盒，所以x周后剩下的粉筆盒數(shù)就是4-x盒。

師：非常好！你準(zhǔn)確地找出了函數(shù)關(guān)系式。那么，當(dāng)星期數(shù)x越大，剩余的粉筆盒數(shù)y會(huì)怎樣變化呢？

生：隨著星期數(shù)x的增加，剩余的粉筆盒數(shù)y會(huì)逐漸減少。

師：好，現(xiàn)在我們來看最后一道題目：小明家與姥姥家距離為2千米，他從家以每分鐘0.3千米的速度騎車去姥姥家。你們能寫出他距姥姥家的距離y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？

生：函數(shù)關(guān)系式是y=2-0.3x。因?yàn)樗糠昼婒T0.3千米，所以x分鐘后他騎行的距離是0.3x千米。總距離是2千米，所以他距離姥姥家的剩余路程就是2-0.3x千米。

師：非常棒！那么，當(dāng)時(shí)間x越大，與姥姥家的距離y會(huì)怎樣變化呢？

生：隨著時(shí)間x的增加，與姥姥家的距離y會(huì)逐漸減少。當(dāng)他騎行足夠長的時(shí)間后，y會(huì)變成0，表示他已經(jīng)到達(dá)了姥姥家。但是實(shí)際上，當(dāng)他到達(dá)姥姥家后就不會(huì)再騎行了，所以y不會(huì)小于0。因此，在實(shí)際情境中，我們應(yīng)該考慮y≥0的情況。

師：很好。確實(shí)，在實(shí)際情境中，我們需要考慮實(shí)際情況對(duì)函數(shù)取值范圍的限制。

（設(shè)計(jì)意圖：通過這三道例題的練習(xí)，進(jìn)一步鞏固函數(shù)關(guān)系式的建立和對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解。）

◆活動(dòng)四：課堂小結(jié)，畫龍點(diǎn)睛

師：同學(xué)們，這節(jié)課的內(nèi)容已經(jīng)基本講完了。現(xiàn)在我們來進(jìn)行課堂小結(jié)，回顧一下今天學(xué)到的知識(shí)。首先，我們來講講常量和變量。

生1：常量和變量就是在某個(gè)過程中不變和變化的量。

師：對(duì)，非常準(zhǔn)確。常量和變量是普遍存在的，它們只是一個(gè)過程中存在的兩個(gè)量。我們?cè)诮鉀Q問題的時(shí)候，要根據(jù)實(shí)際情況來區(qū)分它們。

師：接下來，我們談?wù)労瘮?shù)。判斷兩個(gè)變量之間是否為函數(shù)關(guān)系，我們需要看哪兩個(gè)方面呢？

生2：一方面是看一個(gè)變量的數(shù)值是否隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的改變而改變；另一方面是自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。

師：很好，你總結(jié)得很到位。這就是我們判斷兩個(gè)變量是否為函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

師：最后，我們來說說自變量的取值范圍。確定自變量的取值范圍時(shí)，我們需要考慮什么？

生3：我們不僅要考慮函數(shù)關(guān)系式有意義，還要確保實(shí)際問題在這個(gè)取值范圍內(nèi)是有意義的。

師：對(duì)，非常正確。這堂課，我們一起學(xué)習(xí)了常量和變量、函數(shù)關(guān)系以及自變量的取值范圍等知識(shí)點(diǎn)。希望大家能夠把這些知識(shí)點(diǎn)牢記在心，并運(yùn)用到實(shí)際問題中。同時(shí)，大家要積極分享自己的學(xué)習(xí)心得和體會(huì)，這樣可以幫助大家更好地理解和掌握這些知識(shí)。

（設(shè)計(jì)意圖：在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師作為引導(dǎo)者，通過提問的方式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧和總結(jié)。同時(shí)，通過鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得和體會(huì)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。）

五、教學(xué)反思

在本次教學(xué)活動(dòng)中，我采用了問題引申和小組合作討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索和合作交流，深入理解函數(shù)的本質(zhì)。同時(shí)，我通過實(shí)際問題的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在教學(xué)過程中，我注重引導(dǎo)學(xué)生歸納變量間的相互關(guān)系，幫助學(xué)生逐步把握函數(shù)的基本特征。然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足之處，如部分學(xué)生對(duì)函數(shù)模型的建立仍存在困難，需要我在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)引導(dǎo)和訓(xùn)練。此外，我應(yīng)更加注重學(xué)生的個(gè)體差異，因材施教，確保每個(gè)學(xué)生都能掌握函數(shù)的基本概念和應(yīng)用方法。

（作者單位：深圳市寶安區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校〈集團(tuán)〉海樂實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

編輯：張俐麗