有意義的數學問題：提升主題活動內驅力

【摘" "要】有意義的數學問題是設計主題活動的核心和推動學生深入思考的關鍵。教師聚焦驅動性問題“一個物體的容積可能大于它的體積嗎？”，設計了“猜想、驗證、評價、反思、拓展”的活動內容，并在實施過程中為每個任務匹配核心問題，引導學生經歷探索的全過程，體會數學與生活之間的聯系，積累基本活動經驗，感悟數學思想，發展核心素養。

【關鍵詞】數學問題；主題活動；體積和容積

一、主題活動背景

長方體是小學數學五年級下冊的內容，教學這一內容旨在引導學生從度量的角度認識長方體，并掌握其要素與特征。在學習這一內容的過程中，學生需積累認識與探究立體圖形的基本經驗，從而發展空間觀念和推理意識。由此，學生對立體圖形的認知由感性走向理性，實現從定性描述到定量刻畫的轉變。

在學生學完長方體的體積與容積的相關內容后，筆者針對“一個物體的體積一定大于它的容積嗎？”這一問題，對他們進行了后測。結果顯示，約93%的學生認同此結論，他們僅基于體積與容積的基本概念，認為由于物體具有厚度，故其容積自然小于體積。僅有7%的學生對此結論提出質疑，但未能給出充分的理由。這一現象表明，五年級學生雖然已具備研究立體圖形的基本活動經驗，但在知識應用層面仍存在不足。產生這一現象的原因主要有兩方面。一方面，現行教材中對體積與容積關系的闡述較為匱乏，未能有效幫助學生建立兩者之間的緊密關聯，從而影響了他們對三維度量的整體認知。另一方面，由于缺少生活應用價值的引導，學生難以將所學知識與實際情境結合起來，更無法明確這些知識在實際生活中的應用場景。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，主題活動分為融入數學知識學習的主題活動和運用數學知識及其他學科知識的主題活動兩類。針對學生在體積與容積關系理解上的不足，在長方體知識復習階段，筆者嘗試借助第二類主題活動來突破這一難點。即讓學生面對生活背景，從數學的角度發現并提出值得探究的問題：“一個物體的容積可能大于它的體積嗎？”引導他們綜合運用體積、容積等的知識與方法，積累提出猜想、規劃步驟等經驗，并內化類比、轉化等數學思想方法，以分析和解決相關問題。

二、主題活動設計

提出有意義的數學問題是推動學生深入思考的關鍵。本次主題活動聚焦驅動性問題“一個物體的容積可能大于它的體積嗎？”，從確立活動目標和構建進階任務兩個方面進行設計。

（一）確立活動目標

立體圖形的認識與測量之間有著密切的聯系。本主題旨在引導學生在實際情境中，綜合應用長方體的特征、體積、容積等知識點，通過提出猜想和設計實驗方案，探究物體體積與容積之間的關系。然后分析不同實驗方法，反思體積與容積的關系，積累研究立體圖形度量屬性的基本方法，并深入感悟轉化等數學思想方法。接著通過改造立體圖形，改變其底面積或高，歸納影響體積與容積關系的關鍵要素。最后，通過找出或創造容積大于體積的物體，使學生形成初步的推理意識、應用意識和創新意識，并進一步發展其空間觀念。

（二）構建進階任務

進階任務為主題活動的有序開展提供了支架。筆者圍繞驅動性問題，對研究任務進行分解（如表1），使學生對概念的理解從定性的描述逐步向定量的刻畫轉變。然后在定量刻畫時，形成多樣的研究方法，內化容積與體積間的關系。

三、主題活動實施

主題活動的實施要注重關聯性。一是過程的關聯，例如，在第1課時中，教師要引導學生提出猜想，并設計研究方案，驗證猜想。在第2課時中，教師要在課前收集學生的實踐成果，選擇適切的作品作為課中評價與反思的學習材料。二是思維的關聯，教師要不斷引導學生回顧與反思：體積與容積有關系嗎？如果有，是什么關系？怎么來說明體積和容積的關系？還有別的方法可以說明嗎？

（一）第1課時：猜與做

1.項目啟動，回顧概念

在探究體積與容積之間的關系之前，先讓學生回顧對體積和容積的認識。

2.聚焦關系，提出猜想

● 核心問題1：你們覺得一個物體的體積與它的容積之間有怎樣的關系？

部分學生認為體積和容積是有關系的，并推測體積肯定比容積要大，理由是容積是從物體內部測量的，物體本身的厚度導致其內部空間小于外部尺寸。也有部分學生認為體積和容積是兩個不同的概念，無法直接進行比較。

教師呈現課前調查結果：有40名同學認同“一個物體的體積一定大于它的容積”的觀點，但仍有3名同學對此表示質疑。

3.討論材料，選定方法

● 核心問題2：你們打算怎么來驗證自己的猜想？

在討論問題的過程中，學生提出需根據物體形狀進行分類討論。對于不規則物體，可以采用“排水法”進行研究；而對于規則物體（如長方體），則可以利用底面積乘高、比較兩個長方體的體積差等方法來探究體積與容積的關系。

4.合作研究，探究關系

明確任務：兩人合作，選擇材料，利用計算、實驗等方法來驗證猜想。

（實施建議：本環節的關鍵在于設計研究方案。在實施過程中，教師可提供如表2所示的方案設計的基本框架，幫助學生系統地規劃研究過程。）

（二）第2課時：評與思

1.材料收集，成果賞析

為了讓學生更深入地理解一個物體的體積與它的容積之間的關系，教師組織學生以小組為單位進行探究，并收集了3個小組的研究成果（如圖1），以供全班共同學習。

2.明確要求，團隊合作

（1）選：四人小組合作，每個小組至少選擇一個作品進行研究。

（2）比：比較同一物體的體積與容積的大小關系。

（3）想：什么樣的物體，它的容積可能大于體積？

3.項目評估，關系理解

（1）立體圖形的體積與容積——數出體積單位的個數

● 核心問題3：怎么求出無蓋立體物體的體積？

學生通過計算發現：作品2中，水杯的容積是（7-2）×（7-2）×（10-1）=225（立方厘米），V體=V總-V容=7×7×10-225=265（立方厘米）。所以，這個立體圖形的體積大于它的容積。教師順勢引導學生提出疑問：算容積的時候，為什么長、寬要分別減2，高要減1呢？學生用聯系的眼光進行分析：先回顧作品1中搭積木的過程，之后進行想象，如果用棱長是1厘米的小立方體擺出水杯的形狀，底下這層擺滿，上面的每一層都擺成“回字形”，一共要擺10層。因為杯子有厚度，所以在計算容積時，長、寬要分別減去2個1厘米，高要減去1個1厘米。之后，引導學生驗證作品1中立體圖形體積與容積之間的關系。

（2）燒杯的體積與容積——從不規則物體到規則物體的轉換

針對學生對作品3的研究過程與結論進行解讀。在兩個相同容器中注入等高的水，先將燒杯完全浸沒在容器①中，此時水位上升的體積就是燒杯的體積。再在燒杯中加滿水，將水倒入容器②中，此時水位上升的體積則為燒杯的容積。由于容器②的水面高于容器①，因此燒杯的容積大于它的體積。總的來說，無論是體積還是容積，都是通過將不規則物體轉換為規則物體進行測量的。

4.對比反思，提煉要素

教師引導學生思考：什么樣的物體，它的容積可能大于體積？

學生認識到，如果是封閉物體，它的體積一定大于容積；如果是不封閉的物體，在厚度較小（壁較薄）的情況下，它的容積可能大于體積。

● 核心問題4：如圖2所示的物體，如果繼續往上搭小立方體，它的容積可能大于體積嗎？選擇圖3中哪個形狀作為底面，構造的物體的容積可能大于體積？

● 核心問題5：高為多少時，物體的容積可能大于它的體積？

教師出示任務：圖3中的②號圖形即為之前作品2中的水杯的“橫截面”。若按照上述規律，用1立方厘米的立方體繼續堆砌水杯，當水杯的高度達到多少厘米時，它的容積會大于體積？（嘗試以他人看得懂的方式表述你的思路，如列式、畫圖、列表等）

（實施建議：在學習材料的選擇上，應強調度量的本質屬性。前兩個作品中的物體都可以直接數出體積單位的個數，而作品3涉及不規則物體，須轉換為規則物體進行測量。由此，加深學生對體積與容積概念的理解。）

（三）第3課時：課外拓展，創意制造

讓學生選擇一個任務完成：（1）在生活中找出容積大于體積的物體，并利用數學實驗進行解釋。（2）創造一個容積大于體積的物體（可附上示意圖，標注必要數據，也可采用3D打印技術制作實物）。

（實施建議：在評價過程中，無論是對找出還是創造符合要求的物體，重點都應放在驗證方法和說明理由上。可借助如表3所示的評價量規，統計各水平層次的學生人數，并組織學生交流分享他們的成果。）

總而言之，提出一個有意義的數學問題比解決問題更重要。有意義的數學問題能為學生帶來認知沖突，具備實踐價值。本主題活動圍繞一個有意義的數學問題，設計了“猜想、驗證、評價、反思、拓展”的活動內容，并在實施過程中為每個任務匹配了核心問題，形成了驅動性問題、任務設計、核心問題的三級實施路徑。其目的在于引導學生經歷探索的全過程，體會數學與生活之間的聯系，積累基本活動經驗，感悟數學思想，發展核心素養。