估算重在“估”

【摘" "要】估算既要“算”，也要“估”。估算與計算密不可分，它們既有聯系，又有區別。目前部分教師把關注點放在估算的“算”上，而對于估算本身及其中蘊含的估算思想沒有給予足夠的重視。因此需要進一步探究估算以及估算思想，以理解估算中“估”的重要性，從而在日常教學中培養估算意識。

【關鍵詞】估算；計算；估算思想

人教版教材（2022年版）三年級下冊中，關于運用估算解決問題的例題的提示表述為：“估計大約騎行多少千米，不用算出準確結果”“267÷3≈100（千米）”和“267÷3≈90（千米）”。由此可見，教材中的估算是不用算出準確結果的計算，即直接計算但結果保留整數（整十、整百數），課后習題中的估算也同樣要求保留整數（整十、整百數）。部分教師將估算策略歸納為“忽略尾數計算”“改變數位計算”以及“轉換為易處理的數計算”等方法。也有教師認為估算是“不求具體數值的運算”，并強調估算教學的重點是引導學生形成估算策略。事實上，估算不僅局限于計算，“估”的本質實為一種合理的推測。這一過程中蘊含著推理和想象，同時體現主觀意愿的實現及思維的生成，具備靈活性（Flexibility）、原創性（Originality）和流暢性（Fluency）的特點。

一、如何理解估算

估算（Estimation）由“估”和“算”組成，“算”指計算，而“估”則指推測。須注意的是，這里的推測并非無目的的猜測。Dowker在其文章［1］中指出，估算是指在實際計算之前，對算術問題的近似答案進行合理的推測。推測過程中會涉及想象和推理。其中想象具有非現實的特征，它發生在思維中，能夠將不存在化為存在、靜止化為動態。即對估算所涉及的數學或物理對象進行分解與重組，結合所學的“數值關系和相對大小”的知識進行比較與推測。

而計算（Calculation）是指針對符號構成的算式，應用相應的算法，通過執行與操作，從而獲得結果的過程［2］。“計算”一詞的本義是以算籌（小棒）為工具的計數活動［3］，與早期人類使用石子或繩子計數相似。但這種計數也只是按照已有數量將小棒擺出，一個一個地數數。它類似于計算機從一到二、從二到三的機械化操作，使得計算遵循嚴格的先后順序。關于計算和估算的腦科學研究表明：從認知過程來看，計算具有較強的線性特點，各步驟之間具有較嚴格的時間先后順序。估算則更類似于并行式的加工過程，表現出較強的直覺化、跳躍化、內隱化特點［4］。正是估算的這種跳躍化特點，使得解題過程中的認知步驟得以簡化，提高了解決問題的效率。因而在面對復雜題目時，相較于計算，估算會更為省時。

無論是計算還是估算都涉及心算，即不使用紙筆等外部設備產出答案的計算。只是估算是在理解問題內容和性質的基礎上，運用更適當的近似數來解決問題，這就涉及對近似數的心算。人教版教材（2022年版）三年級上冊第四單元的教學內容涉及精算和估算的策略選擇問題，而選擇精算還是估算策略取決于問題的性質和涉及的數。如果題目涉及過于復雜的數，如9876.0376+3486.0087，直接進行精確計算較費時，使用估算便可以更快地解決問題。

不過，估算雖然涉及對近似數的心算，卻并非近似計算。近似計算是由于受到客觀條件限制而進行的不準確的計算，是一種“被迫”進行的計算。而估算則是具有主觀色彩的推測，無論是解題方法還是最終結果，都帶有強烈的主觀色彩。

結合以上內容，可以歸納出估算中的“估”具有以下幾個特點。

（1）內隱性：通常在頭腦中進行想象，較少需要計算工具。

（2）不精確：以達成意愿為目的。

（3）多樣化：解決問題的路徑和結果不唯一。

（4）跳躍性：追求簡潔和省時。

二、估算思想

估算思想蘊含于估算過程中，是一種關于推測的觀念或想法，涉及可能性思維。可能性思維是相對于確定性思維而言的，指的是針對不確定事物或現象進行比較與判斷的思考過程［5］。這樣的思考過程具有內隱性，可以分為感知過程、思維過程和輸出過程三個方面。在感知過程中，個體通過感覺器官接收外界的刺激。在思維過程中，個體對感知到的信息進行加工處理，以達到理解的程度。這兩個過程涉及對信息的排列組合、想象和推理，其間個體所生成的結果具有主觀性。而在輸出過程中，個體則通過符號系統將思維轉化為語言文字。下面以一個實際問題為例進行說明。

春節期間，有商販在賣砂糖橘。他的攤位上寫著“20元3斤砂糖橘”——這就是學生通過眼睛攝入的信息。在看到信息后，學生可以根據信息進行想象。假設學生的心理價格是“15元2斤”，如果要將這兩種價格進行比較，可以借助于2和3的最小公倍數6。即將20元3斤的砂糖橘擴大2倍，求出按照商販的定價購買6斤砂糖橘需要支付40元。而學生的心理定價則是15×3=45（元），將其與商販定價進行比較，可以得出“20元3斤”更優惠。這個根據已知價格求未知價格的估算過程，就涉及了想象和推理。在解決這個實際問題的過程中，可以窺見思維的靈活性、原創性和流暢性。

靈活性指面對一個問題，可以生成多種不同的解法。在上述問題中，情境暗示解題者運用除法進行估算，但是這道題卻可以不用除法，而是運用除法的逆運算，也就是乘法來解決問題，這恰恰體現了估算的靈活性。具體來說，“購買砂糖橘”一題主要有以下幾種解題方法（如表1）。

策略一體現的是比例推理的思想。比例推理（Proportional Reasoning）是關于數量關系的思考，要求同時對幾個數量關系或值進行比較［6］。這種策略考慮的是取一個2和3的最小公倍數，根據20和3、15和2兩組數據與3和6、2和6的比例關系來判斷同買6斤砂糖橘，哪一組價格更優惠。此外，策略一還體現了異中求同的思想，由于組合價格和斤數都在變化，要進行比較就可以統一一個量，即購買相同的斤數，比較價格的高低。策略三和策略一異曲同工，也體現了比例推理和異中求同，只不過策略三統一的是購買價格，比較的是可以買到數量的多少。策略一和策略三同時還屬于簡便運算，估算和簡便運算并不相互排斥，二者的思想方法是相互滲透的。策略二則體現了序關系的思想，這一思想可以表達對象的順序關系。例如，A小于B，C小于B卻大于A，就可以排列為A＜C＜B，從而得出A、B、C三者的大小關系。運用這種策略解題，可以先找一個中間標準7，然后擴大相應倍數，最后比較21和20、14和15的大小。總之，這些策略都體現了思維的靈活性。

原創性指面對某一問題，學生會依據已有知識和所注意到的元素，生成一種解決問題的路徑。這種路徑是由學生自己思考出來的，沒有參考他人的意見，具有主觀性和原創性。以“購買砂糖橘”一題為例，學生A通過推理單價來比較哪個組合更便宜，學生B則通過計算購買6斤時的價格來判斷。學生A和學生B的解題方法都具有個體原創性，都是他們各自思維的產物。

流暢性指在生成解決問題的路徑之后，學生能夠順利地執行這一路徑解決問題。也就是說，路徑中涉及的知識與學生已有知識相符。當然，這與學生的年級有關，不同年級學生所積累知識的差異，會影響其解決問題的流暢程度。例如，面對15×30這個算式，同學C可以將30拆分成15×2，列出式子15×15×2。但對于不知道15×15等于多少的同學D來說，這種解題路徑并不合適，他只能尋找適合自己的新路徑。不過，計算的流暢性主要體現在解決數較簡單的問題上，一旦遇到數位多、數大的問題，計算過程往往更費時費力。

三、在教學中培養估算思想

估算的這種合理推測，可以幫助學生發展定量思維，促進其數字推理能力的發展。同時，由于估算具有主觀性，解決問題和得出答案的路徑與學生的主觀意愿密切相關，因此估算有助于提升學生的獨立思考和創新能力。正如Reys所說，數學思維有這樣兩個特征：一是運用靈活的思維處理不同形式的數，二是認識到存在多種解決方案，并能勇于放棄一種策略以支持另一種策略。而這兩種特征恰好可以通過滲透估算思想來實現。

在日常生活中，近似答案在某些情況下比精確答案更適用。例如，裝修房屋時需要用到28.71米長的繩子。此時，購買者只要購買一根30米長的繩子即可滿足需求，而無需將繩子的米數精確到小數點后兩位。由此可見，估算和估算思想會在學生心智發展、社會應用及未來發展方向等方面產生重要影響。因此，小學數學課堂應注重估算思想的培養。具體可采取以下兩種策略。

第一，尊重學生個體差異。估算方法的選擇涉及個體的情感因素，有的學生偏愛比例推理，有的學生偏愛序關系。雖然他們的思維過程不同，但他們選擇的方法都滿足自身的主觀意愿。教師應尊重學生間的這種差異，鼓勵他們表達自己的想法。這樣既能激發學生的上進心，又能促進學生創新思維和問題解決能力的發展。

第二，營造鼓勵評估的課堂氛圍。讓不同的學生分享解決問題的方法不僅有助于減少“只有一個正確答案”的刻板印象，促進學生“可能性思維”的發展，還能幫助學生判斷推測是否合理。這種鼓勵評估的課堂氛圍，能使學生專注于證明估算的準確性，而非與他人競爭。在這樣的環境下，學生對“錯誤答案”的容忍度也會提高。

綜上所述，在小學數學教學中，應對估算和估算思想形成全面的認識，充分重視估算中的“估”，避免將估算與計算混淆。估算思想強調思維中的推理、想象以及認知中的情感因素，即主觀意愿的實現，其方法具有原創性、靈活性和流暢性。通過培養估算思想，有助于提升學生的核心素養和數學能力。

參考文獻：

［1］DOWKER A. Computational estimation

strategies of professional mathematicians［J］. Journal for research in mathematics education，1992，23（1）：45-55.

［2］郜舒竹.“算法”的雙刃性與“算理”的局限性［J］.教學月刊·小學版（數學），2023（12）：4-8，14.

［3］杜石然.數學·歷史社會［M］.沈陽：遼寧教育出版社，2003：8.

［4］董奇，張紅川.估算能力與精算能力：腦與認知科學的研究成果及其對數學教育的啟示［J］.教育研究，2002（5）：46-51.

［5］郜舒竹.小學數學這樣教（第2版）［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：187.

［6］CRAMER K，POST T. Proportional reasoning［J］. The mathematics teacher，1993（5）：404-407.