“隨機信號分析”課程教學內容與教學方法研究

［摘 要］ “隨機信號分析”課程是電子信息類專業的核心基礎課之一，在課程體系中處于承前啟后的位置。要解決學生在該課程學習過程中知識點孤立、動手計算較少、對知識點外延了解不夠的問題，須進行基于知識點類比和知識點構圖等的教學內容改革。針對該課程概念抽象、理論性強的特點，引入并結合實例介紹了隨機通達教學和BOPPPS教學。授之以漁，為數字中國建設培養創新型、應用型、復合型人才，為構筑國家競爭新優勢提供強有力的人才支撐。

［關鍵詞］ “隨機信號分析”課程；教學內容改革；隨機通達教學；BOPPPS教學模式

［基金項目］ 2023年度北京郵電大學引進人才科研啟動經費項目

［作者簡介］ 苗紅霞（1989—），女，河北邯鄲人，博士，北京郵電大學信息與通信工程學院特聘副研究員，博士生導師，主要從事非平穩隨機信號的分數域分析與處理研究。

［中圖分類號］ G642.41 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）28-0076-05 ［收稿日期］ 2023-05-16

一、研究背景與意義

黨的二十大報告指出：“教育、科技、人才是全面建設社會主義現代化國家的基礎性、戰略性支撐。”［1］高校在加快建設教育強國、科技強國、人才強國中扮演重要角色。通過全面提高人才自主培養質量、科技自主創新能力、現代大學治理水平，為全面建設社會主義現代化國家提供強大人才支撐。本科教育是高校發展的“牛鼻子”，也是高等教育的基石，通過評價標準、體制機制、教學模式、育人理念等方面的改變，以實現本科教育的革新和提升。《數字中國建設整體布局規劃》指出，打通數字基礎設施大動脈，是夯實數字中國建設基礎的方法之一。該規劃的提出，對電子信息類專業人才培養提出了更新、更高、更具體的要求。

《教育部關于一流本科課程建設的實施意見》開篇第一句指出，“課程是人才培養的核心要素，課程質量直接決定人才培養質量”，突出了課程建設在人才培養中的重要地位，也提出了人才培養質量提升的關鍵途徑。

“隨機信號分析”是電子信息類專業的核心基礎課之一，一般在大二或大三學年開設，在整個課程體系中具有承上啟下的作用［2］。其先修課程包括“概率論與數理統計”“信號與系統”“數字信號處理”等，后續課程包括“通信原理”“信息論”等。但該課程概念抽象、理論性強的特點易使學生望而卻步，甚至產生抵觸情緒。因此，在授課過程中，打消學生的學習疑慮、激發學生的學習興趣、幫助學生掌握本專業學習方法成為關鍵。該課程的建設對國家電子信息類專業人才培養有重要意義，對整體提升應用基礎設施水平，加強傳統基礎設施數字化、智能化改造有重要意義。

二、學生學習現狀分析

盡管諸多學者提出了以學生為中心的教學理念和教學方法，但由于學生群體和課程特點不同，學生在“隨機信號分析”課程學習過程中仍存在一些問題，主要體現在以下幾個方面。

（一）知識點孤立

雖然“隨機信號分析”課程在課程體系中具有承上啟下的重要作用，但學生在學習過程中往往更多地關注本課程中單獨的知識點，而較少關注課程內或不同課程之間知識點的聯系。一是因為課時有限，教師在授課過程中無法過多回顧先修課程知識，甚至導致一些學生一步跟不上，步步跟不上。二是由于考試時，相關試題是根據相應課程所涉及的關鍵知識點進行考核的，其中，不乏學生只是為了通過考試而在考前臨時學習，導致知識點掌握不牢固，無法為下一階段的學習提供知識上和思維上的幫助。

（二）動手計算較少

在實踐教學中發現，部分課上看起來認真聽講、積極回應、課后作業認真的學生，反而在期末考試中未能取得理想的成績。隨機信號分析是一門綜合了數學和工科特征的學科，在學習和考核過程中涉及動手計算部分。然而，為了激發學生的學習興趣，在課程導入和上機實驗過程中，往往在側重趣味性的前提下講解基礎知識。但是，一些學生可能過多關注教學案例中的趣味性，而對具體推導和演算過程關注較少，導致閉卷考試動手計算時，小錯頻出，丟分嚴重。另外，部分習題老舊，甚至可通過網絡找到參考答案。

（三）對知識外延了解不夠

在學習過程中，一些學生更多地關注與考試相關的知識，易造成對課程外延知識了解不多。此外，由于課時有限，教師在授課過程中無法過多介紹外延知識。但適當的外延，可幫助學生更深刻理解課本上的核心知識點。若對同一個知識點采取“就事論事”的方法進行講解，學生也只能領會知識點本身的含義；對某些知識點，若稍加一步拓展，以另一個視角審視當前知識點的含義，可達到橫看成嶺側成峰的效果。

三、教學內容改革

針對上述三個問題，首先對教學內容進行改革。在教學前、教學中、教學后三個階段做好知識體系構建，使學生在學習過程中溫故而知新，對“概率論與數理統計”“信號與系統”“數字信號處理”等課程知識點有更深刻的理解，基于此，理解并掌握“隨機信號分析”課程的知識點。對教學內容的改革方法及其作用如圖1所示，此四部分內容相互補充、互為支撐，為學生學習本課程及其他課程提供了有效方法論。

（一）知識點類比

依照概率論學隨機，從信號與系統分析。本課程圍繞隨機過程展開，隨機過程可看作時間和集合的二元變量，其概念的引入方式有以下兩種：第一種是從隨機變量加時間的維度，是“概率論與數理統計”課程在時間維度的延拓，即可固定時間變量，考察隨機過程的隨機性，構建確定性的數字特征，然后再考察數字特征隨時間的變化規律；第二種是從確定性信號加集合的維度，是信號與系統在集合維度的延拓，即可從隨機過程的樣本來研究隨機過程。其中，根據第一種引入方式，介紹了課程中相關函數、相關時間、功率譜等概念；根據第二種引入方式，介紹了課程中的隨機信號經過線性時不變系統后的統計特征、設計了匹配濾波器等。這些知識點與先修課程中的相關知識點既有聯系，又有知識的增量。通過引導學生做好先修課程的復習，可降低本課程的學習難度。

因此，授課教師課前可安排學生回顧先修課程中的相關知識點，課上將重點放在教授知識的增量上，課后告知學生下節課所需的知識點。

（二）知識點構圖

多維度構建藍圖，悉知知識點占位。構圖是為了讓學生了解當前知識點在本課程乃至本專業中的定位，知識點不是孤立的，而是相互聯系的。掌握知識點之間的相互聯系有助于深刻理解課程中的知識點，形成體系化認知，達到觸類旁通的效果。除了教材從“隨機信號處理理論與應用”角度給出的知識點體系以外，還可從其他維度梳理知識點框架。例如，從信號與系統的角度來歸納本課程的知識點。其中，“信號”部分知識點包括隨機變量、隨機過程的概念，相關函數和功率譜的定義和性質；“系統”部分知識點包括隨機過程經過線性時不變系統后相關函數和功率譜的變化規律，并利用此規律進行信號檢測、參數估計、濾波器設計。縱向歸納整理知識點在不同課程中的應用，例如，卷積運算在“概率論”中可用來表示兩個隨機變量和的概率密度函數；在“信號與系統”中可用來描述信號經過線性時變系統后的輸出，并且由卷積定理和快速傅里葉變換實現卷積的快速計算；在“通信原理”中可用來描述信道的特征。

（三）知識點鞏固

公式推導打基礎，動手實驗助理解。本課程兼具數學類課程和工科類課程的雙重特點。因此，在課后設置習題環節，將課下練習與上機實驗相結合；在課程考核環節，將平時練習作業、上機實驗納入考核成績中。由于“隨機信號分析”是一門經典的課程，大部分院校都有開設，并且選用的教材相似，因而很容易形成一套固定的題庫。為了促進學生獨立思考、自主復習、避免抄襲題庫答案，教師須課上根據例題舉一反三，將知識點講解明白，課下對練習題進行一定的設計和修改。有余力的教師可針對不同學生設計個性化作業，一方面，避免學生之間相互抄襲；另一方面，通過增加部分學生互相批改作業環節，增加學生對知識點的理解。

文獻［3］介紹了多種實驗和課程設計，側重于幫助學生理解知識點在工程實踐中的應用。此外，MATLAB等軟件中已經有現成的函數可一鍵計算結果和呈現波形，對于形象化理解課程知識點提供了便捷。但作為初學者，仍應手動計算，才能對知識點產生深刻理解。在期末考試等考核環節，大部分習題需要手動計算，這就要求學生確保每個計算系數的正確性。而這些能力都是通過仿真實驗無法鍛煉的。扎實的理論功底不僅是為了在課程學習中取得好成績，更是為了熟練掌握知識點、理解新知識的處理方法，為后續科研工作中解決新問題訓練扎實本領。

（四）知識點拓展

信號非平穩更實際，系統隨時變是常態。新知識的獲得過程，往往是站在巨人的肩膀上的，即建立在已有知識的基礎上，學習知識的增量。教師在授課過程中稍加一些知識的外延，一方面，可在對比學習中激發學生的興趣；另一方面，可弱化當前知識點的難度。依照信號與系統的思路，可以適當介紹現代信號處理的核心觀點：信號是非平穩的，系統是非線性或時變的。例如，通信中信號因調制而具有特殊的非平穩性質——循環平穩性。本課程只簡要介紹了其概念。事實上，可做如下拓展：針對循環平穩信號的周期性，介紹循環相關和循環譜這兩個統計量，加深學生對周期和非周期信號頻譜的理解，同時啟發學生對非平穩信號處理的思考；通過介紹這兩個統計量之間的聯系（廣義維納—辛欽定理），加深學生對本課程核心知識點——維納-辛欽定理的理解；通過介紹循環譜與信號截斷頻譜的聯系，加深學生對功率型信號和功率譜概念的理解；通過介紹循環維納濾波，加深學生對線性時變系統的理解。

四、教學方法改革

針對第二部分提出的問題，結合第三部分提出的知識點整合方法，本部分引入兩種新的教學方法。

美國教育家布盧姆（Bloom）將學生的認知過程分為知道、理解、應用、分析、綜合和評價六個層次，其中，前三個屬于低階層次，后三個屬于高階層次。相應地，低層次教學活動形成低階知識，主要是陳述性知識；高層次教學活動形成高階知識，主要是程序性和策略性知識［4］。

針對不同層次的知識點，采取不同的教學方法。針對高階知識，在基于講授式、討論式、案例式等傳統教學的基礎上，引入新的教學理念與方法，幫助學生更快、更深刻地學習新知識，培養學生分析、解決問題的能力。

（一）隨機通達教學

隨機通達教學的目標是獲得高級知識；方法是在不同時間、不同情景、不同目的、不同角度多次進行同一個知識點的學習［5］。

例如，針對本課程中維納-辛欽定理知識點，教材《隨機信號分析與處理（第3版）》（作者：羅鵬飛、張文明）第三章從功率型信號的定義出發，經過概念轉換和公式推導，利用傅里葉變換的帕塞瓦爾定理和構建時域與頻域之間轉換的橋梁作用，得到功率譜與相關函數的關系。要向學生強調，此關系與維納-辛欽定理所描述的關系不同：維納-辛欽定理是面向平穩信號展開的，而對于一般類型的功率型隨機信號，功率譜與相關函數之間還有一步求平均的運算。這是學生在本課程中第一次接觸和學習該定理，課上習題和課后作業應側重于對這一定理的具體表現形式進行學習，例如給出某隨機信號相關函數（或功率譜）的表達式，引導學生求解其功率譜（或相關函數），或給隨機信號模型，引導學生求解相關函數和功率譜；第七章介紹的維納濾波器其實是該知識點的一種應用，此時應向學生強調該知識點的應用。具體來講，當信號平穩且系統線性時不變時，維納—霍夫方程可由相關函數與系統沖激響應卷積表示。進而，通過傅里葉變換可將卷積運算轉化為乘積運算。此時，須利用維納-辛欽定理得到維納-霍夫方程的頻域表征形式，進而得到維納濾波器的顯式表達式。學生經過第三章的學習，已經理解并掌握了這一定理；在第七章的學習中，可從濾波器設計和時頻域轉換的角度再次體會該定理的內涵。最后，課上可適當補充有關循環平穩信號統計量的介紹，例如循環相關函數和循環功率譜以及這二者之間的廣義維納—辛欽定理。這種將針對平穩信號的定理拓展至非平穩信號定理的講解，一方面，可在兩個定理的對比學習過程中加深學生對該定理的理解；另一方面，在知識點拓展后，可弱化原有知識點的難度。有關該知識點在不同教學過程的體現如圖2所示。

在本案例中，實現了在三個不同時間、不同情景、不同目的、不同角度進行維納-辛欽定理的學習，各階段如圖2所示。學生在任何階段接入，都能學習并掌握該知識點，即實現了隨機通達教學。

（二）BOPPPS教學

BOPPPS的名稱來源于六個教學環節的英文首字母，即課程引入bridge、學習目標objective、課前摸底pre-assessment、參與式學習participatory learning、課后測驗post-assessment、總結summary，是以學生為中心、要求學生全方位參與的教學模式。該教學模式已引入“信號與系統”“數字信號處理”課程中，但是尚未引入到“隨機信號分析”課程中［6-7］。

本節仍以維納-辛欽定理為例，介紹BOPPPS模式在45分鐘課堂教學的各個環節中的體現。在課程引入環節（5分鐘），利用維納和辛欽兩位科學家的名人軼事及偉大成就導入授課內容，吸引學生注意力，同時進行思政教育；在學習目標環節（4分鐘），通過回顧前置課程中已經學習的有關隨機過程的數字特征——相關函數和能量信號，使學生明晰本課程的教學目標與重點；在課前摸底環節（6分鐘），求解矩形函數、三角函數等3～5個常見函數的正/逆傅里葉變換，了解學生的基礎；在參與式學習環節（20分鐘），利用板書、PPT等形式講明白功率譜的概念、一般隨機過程功率譜與相關函數的關系、平穩隨機過程功率譜與相關函數的關系后，采用案例分析、手動推算、個人報告等方式加深學生對本知識點的理解，強化學生的表達能力、合作能力；在課后測驗環節（6分鐘），通過判斷某信號是否為功率信號、計算已知相關函數前提下的隨機過程的功率譜等方式，判斷學生是否達到預期目標；在總結環節（4分鐘），鼓勵和引導學生自行對本課程進行總結，并將本課程內容納入知識框架中，并布置相應的課后作業。

第三部分介紹的四種知識點處理方法在BOPPPS教學過程六個環節中的具體體現如圖3所示。

結語

針對“隨機信號分析”課程，本文從教學內容和教學方法上提出了改革方案，旨在“教，是為了不教”，使學生學會在已有知識的基礎上，自主學習新知識，構建信號類課程的知識體系，厘清知識脈絡，實現學生知識和能力的貫通培養，為電子信息領域培養高水平拔尖創新人才，為數字領域建設培養創新型、應用型、復合型人才，為推進中國式現代化提供重要引擎，為構筑國家競爭新優勢提供有力支撐。

參考文獻

［1］高書國.新時代科教興國戰略的理論與實踐創新［J］.現代教育管理，2023（2）：22-31.

［2］張峰，陶然.電子信息類專業隨機信號分析課程教學方法探討［J］.新一代信息技術，2022，5（7）：95-97.

［3］張文明，羅鵬飛.“隨機信號分析與處理”課程設計案例［J］.電氣電子教學學報，2010，32（4）：88-90.

［4］李志義.解析工程教育專業認證的成果導向理念［J］.中國高等教育，2014（17）：7-10.

［5］杜益，段玉山，周維國.隨機通達教學法助力地理學科綜合思維培養：以“沙漠化”為例［J］.地理教學，2021（5）：36-41.

［6］賈永興，余璟，王淵，等.BOPPPS模型在“信號與系統”課程教學中的實踐［J］.工業和信息化教育，2021（2）：45-48.

［7］郭妍，曹聚亮，熊志明，等.BOPPPS教學模式在“數字信號處理”課程中的應用［J］.科教導刊，2022（8）：90-94.

Research on Teaching Content and Teaching Methods of Random Signal Analysis Course

MIAO Hong-xia

（School of Information and Communication Engineering， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing 100876， China）

Abstract： Random Signal Analysis course is one of the core and basic courses of electronic information major， which is at the middle position of this course in the undergraduate course system. However， there are three main problems of this course， which are isolated knowledge points， less manual exercises， and less knowledge extension. To solve these questions， a reform on teaching content realized by knowledge analogy，composition， solidify， and extension is proposed. Moreover， aiming at features of this course （large number of abstract concepts and strong theoretical characteristics）， the random-access instruction and BOPPPS teaching mode are introduced and explained with examples. To cultivate students’ interests and ability in lifelong learning by teaching them scientific learning methods. These works pave the way for cultivating innovative， applied， and composite talents for the construction of digital China， and providing strong support for building new national competitive advantages.

Key words： Random Signal Analysis course; teaching content reform; random access instruction; BOPPPS teaching mode