抽象函數不“抽象”，數學思維無“極限”

摘 要：以抽象函數為場景的多選題，是近年新高考數學試題中比較常見的一類基本考題.而依托抽象函數的“假象”場景來設置具體函數問題，也是近年高考命題中的一個熱門考點.本文結合一道抽象函數試題的應用，合理剖析解決問題的技巧與策略，發散數學思維，培養思維品質，合理變式拓展，指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：抽象函數；賦值；解析式

抽象函數及其綜合應用問題，是近年高考數學試卷以及各級各類模擬考試中頻頻亮相的一類熱點與難點問題.有些抽象函數問題是具有真正的抽象性，函數的解析式無法唯一確定；而有些抽象函數問題是一種“假象”，是基于抽象函數背景下的具體函數問題.解決此類問題時，關鍵在于正確推理、合理分析數據和巧用數學運算等.通過邏輯推理與數學運算等方式來分析與判斷，為解決抽象函數問題創設條件與空間.

1 問題呈現

（2024年浙江省強基聯盟高考數學聯考試卷（3月份））已知函數f（x）的定義域為R，且

f（0）=fπ2=1，若

f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，則函數f（x）（" ）.

A. 以π為周期B. 最大值為1

C. 在區間－π4，π4上單調遞減

D. 既不是奇函數也不是偶函數

此題以抽象函數為問題背景，借助抽象函數所滿足的關系式以及特殊函數值的加持來創設條件，進而判斷函數的奇偶性、單調性、周期性等基本性質，以及求解函數的最值等，全面考查函數的基礎知識.

合理挖掘問題的本質與內涵，發現隱藏在抽象函數場景下的“不抽象”，實現抽象與具體之間的巧妙轉化與應用.上述問題就是一個基于抽象函數“假象”場景下的具體函數問題

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2 問題破解

方法1：賦值推理法.

依題，f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，令y=π2，可得fx＋π2＋fx－π2=2f（x）·cosπ2=0，那么

fx＋3π2＋fx＋π2=0，所以fx＋3π2=fx－π2，則知函數f（x）的周期為2π，故選項A錯誤.

令x=y=π4，結合f（0）=fπ2=1，可得fπ2＋f（0）=2fπ4cosπ4=2，即fπ4=2，則知函數f（x）的最大值不是1，故選項B錯誤.

由于f（0）=1，fπ4=2，知函數f（x）在區間－π4，π4上不是單調遞減，故選項C錯誤.

綜上分析，故選擇D.

點評：涉及抽象函數所滿足的關系式問題，往往是依托對應的抽象函數關系式，從不同層面視角進行賦值法處理，進而結合選項中的信息逐一排除與判斷，這是解決此類抽象函數問題中最為常見的“通性通法”.賦值法推理與分析，要同時考慮題設條件與對應的選項信息，合理賦值，巧妙應用，最為考驗考生的觀察分析能力、邏輯推理能力與數學運算能力等.

方法2：函數解析式法.

依題，由f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，結合f（0）=1，令x=0，可得f（y）＋f（－y）=2f（0）cosy=2cosy.

令x=π2，y=π2＋

t，結合fπ2=1，可得f（π＋t）＋f（－t）=2fπ2cos

π2＋t=－2sint.

令x=π2＋t，y=π2，可得f（π＋t）＋f（t）=2fπ2＋tcosπ2=0，則有－f（t）＋f（－t）=－2sint.

所以有f（x）＋f（－x）=2cosx，－f（x）＋f（－x）=－2sinx，兩式對應相減并整理可得f（x）=sinx＋cosx，即函數f（x）=sinx＋cosx滿足條件.

結合函數f（x）=sinx＋cosx=2·sinx＋π4的圖象與性質，函數

f（x）的周期為2π，最大值為2，在區間－π4，π4上單調遞增，既不是奇函數也不是偶函數.

可知選項A、B、C均錯誤，選項D正確，故選擇D.

點評：根據題設條件，該問題是隱藏在抽象函數背景下的一個具體函數問題.關鍵是抓住問題條件，借助賦值法轉化與處理，進而求出對應函數的解析式，結合函數的圖象與性質來分析與判斷各對應選項中命題的真假.函數解析式法的應用，是基于賦值法的巧妙推理與論證，賦值的應用與函數關系式的確定，往往是憑借解題經驗或直覺找到的.

方法3：特殊值法.

依題，設函數f（x）=asinx＋bcosx，結合f（0）=fπ2=1，可得f（0）=asin0＋bcos0=b=1，fπ2=asinπ2＋bcosπ2=a=1，所以函數f（x）=sinx＋cosx滿足條件.

結合函數f（x）=sinx＋cosx=2·sinx＋π4的圖象與性質，推出函數f（x）的周期為2π，最大值為2，在區間－π4，π4上單調遞增，既不是奇函數也不是偶函數.

可知選項A、B、C均錯誤，選項D正確，故選擇D.

點評：根據題設條件，抓住此類抽象函數問題所對應的結構形式與特征規律，憑借解題經驗或直覺，合理確定對應的正弦與余弦函數的一次線性關系式f（x）=asinx＋bcosx，進而結合待定系數法來確定參數值，得以求解抽象函數所滿足的函數解析式

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3 變式拓展

基于原問題中抽象函數所滿足的關系式“f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy”，挖掘其所對應的函數類型“f（x）=asinx＋bcosx”，通過具體函數值的改變，以不同的形式來設置問題，從而得到對應的變式與應用.

變式1 （2024年四川省德陽市高考數學一診試卷）已知函數f（x）的定義域為R，若f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（π2）=3，則（" ）

A. f（x）為偶函數

B. f（π）=1

C. x=π2是函數的極大值點

D. f（x）的最小值為－2

解析：依題，設函數f（x）=asinx＋bcosx，結合f（0）=0，可得f（0）=asin0＋bcos0=b=1.又結合fπ2=3，可得fπ2=asinπ2＋bcosπ2=a=3，所以函數f（x）=3sinx＋cosx滿足條件.

結合函數f（x）=3sinx＋cosx=2sinx＋π6的圖象與性質，推出函數f（x）是非奇非偶函數，f（π）=－1，fπ2=3不是函數的極大值點，f（x）的最小值為－2.

可知選項A、B、C均錯誤，選項D正確，故選擇D.

變式2 （2024年山東省德州一中高三期末數學試卷）（多選題）已知函數f（x）的定義域為R，若f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，fπ2=1，則（" ）.

A. f（x）為奇函數B. fπ4=12

C. f（x）為周期函數D. f（x）在（0，π）內單調遞減

解析：依題，設函數f（x）=asinx＋bcosx，結合f（0）=0，可得f（0）=asin0＋bcos0=b=0.又結合fπ2=1，可得fπ2=asinπ2＋bcosπ2=a=1，所以函數f（x）=sinx滿足條件.

結合函數f（x）=sinx的圖象與性質，函數f（x）是奇函數，fπ4=22，f（x）是周期為2π的周期函數，f（x）在0，π2內單調遞增，在π2，π內單調遞減.

故選擇AC.

4 教學啟示

解決此類以抽象函數為“假象”的具體函數問題，最為基本的方法還是回歸抽象函數問題的本質，正確掌握科學賦值法，這是解決此類問題的一種通法.借助特殊思維，利用函數具體化這種方法是解決問題的一種常見手段，關鍵是要看關系式的結構和一些條件的加持，進而加以合理選取與特殊構建.

直擊問題的本質，往往需要賦值法推理與科學法轉化相結合，合理確定相應函數的解析式，為問題的進一步分析與解決提供條件.當然，如果能夠更快地借助解題經驗或直覺思維等確定對應函數的解析式類型，以特殊值法為依據，合理利用待定系數法，可以更加簡單快捷地處理此類抽象函數問題.

特別要注意的是，對于抽象函數綜合問題的特殊模型或具體模型等方式的處理，三角函數模型往往是其中最為常見的一類基本構建函數模型.依托正弦函數或余弦函數以及相應的線性函數等來設置，通過函數的基本性質以及三角函數的相應公式等，都給問題的設置提供一個非常不錯的應用場景.特殊化思維或具體化思維，更是處理此類數學問題的基本技巧與策略，對考生的數學運算求解、邏輯推理論證和數學模型構建等綜合能力的要求比較高.