大概念引領下的數學學科育德實踐探索

摘 要：本文提出以大概念統領課堂的教學構思與實踐，讓學生在大概念的引領下，思維深度參與，用數學的方式思考，感受科學精神，實現數學學科育智與育德的融合.通過科學實施教學，驗證了大概念引領下課堂教學的有效性，并據此提出了一系列演繹觀點，強調課程育德實現對專業化的超越，育智之中育德需思維深度參與等.

關鍵詞：大概念；思維深度參與；育德；二次函數

“雙減”背景下，教育回歸育人本真，課程是實現立德樹人根本任務的主載體，學校教育是育人的主渠道，課堂是育人的主陣地，數學課堂如何落實“立德樹人”的根本任務，被廣大一線教師所重視.本文以一節“2021年度江蘇省教育科學規劃精品課題建設工作推進會”上，筆者所執教的蘇教版《義務教育教科書數學九年級下冊》中“二次函數的綜合應用”為例，具體闡述發展數學學科核心素養就是數學學科育德的具體且深刻的方式，把數學大概念作為教學主線是通往數學核心素養的基本路徑.

1 基于整體分析，提煉單元大概念

數學大概念是在數學事實、概念基礎上，對概念關系、結構體系、研究思路等學科本質的高度概括性表達，表現為數學表層知識背后的數學思想方法、觀點觀念，整合數學知識技能的重要論題、研究思路，反映數學本質的本源概念、核心概念等.［1］［2］

本課是學完二次函數之后的后建構課堂［3］，

通過整章復習建立完整的知識結構、思想方法結構之后，面對新的問題，調用已有“兩個結構”解決新的問題，在解決問題中感受大概念是這節課的基本目標.

因為二次函數是初中數學“數與代數”領域中最后一類函數，全章從實際問題中抽象出二次函數的概念，通過畫圖和觀察研究二次函數的圖象和性質，從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象，逐步歸納二次函數的圖形和性質，通過平移和配方建立一般二次函數與缺一次項、常數項二次函數之間的內在聯系，將所有二次函數圖象與性質化歸為最簡二次函數的圖象和性質.二次函數的應用主要是在數學內部與數學外部兩大領域.數學內部，主要體現在與一元二次方程的關系，還表現在二次函數的研究經驗和方法對研究其他函數的啟發；數學外部，主要是建立二次函數模型解決問題.

所以，站在“數與代數”的大單元視角下，“函數觀點”“方程、不等式統一于函數”“數形結合思想方法”“二次函數可以用來處理二次多項式”等，在學生對知識的深度理解和綜合應用中體現，發揮著通往幾何直觀的關鍵作用，這些就是“數與代數”大單元的大概念.

2 聚焦觀點假設，前置目標評價

學生經過全章學習之后，對于基本的知識、方法比較熟悉，但是對于知識、方法的綜合應用還比較陌生.用“函數觀點”處理二次多項式，用二次函數解釋數學內部其他知識，思維視角的轉換和方法原理的遷移對于學生來說有些困難.

基于以上分析，本節課試圖使學生在大概念的引領下，思維深度參與，用數學的方式思考，感受科學精神，發揮數學學科育智與育德的融合作用.

但是，這樣的一種思路如何由教師理解轉化為學生可感的活動？除了通過教師的總結，引導學生感受之外，還有哪些感受的途徑？用理性分析和實踐驗證探索問題解決的思路，創新問題解決的方法，用函數觀點統一二次多項式這類問題的研究，遵循科學之道的學習，本身就是最大的“道德”，除了潛移默化的滲透，如何能讓學生清晰地感受到這一點？學生是否能夠通過這節課的學習，感受和總結這些大概念，可以用怎樣的方式評價？課堂小結部分的兩個問題能否有效評價學生的學習效果？

據此預設本課目標和達成標志如下.

（1）能綜合運用二次函數的知識和方法解決數學內部問題，感受“數形結合思想方法”“二次函數可以用來處理二次多項式”等大概念.達成標志為學生能夠在教師的啟發下完成問題解決和解后總結.

（2）在綜合應用中進一步深化對二次函數知識的整體理解，掌握研究函數的一般思路.達成標志為學生能遷移二次函數的一般研究思路探索新的函數.

3 科學實施教學，育智育德融合

環節1：問題情境，整體認知.

函數y=a2-6a＋5是什么函數？它的圖象是什么？為什么？

總結：任何一個二次函數都是通過配方成頂點式的方式轉化為簡單二次函數的平移，我們通過對簡單二次函數的研究歸納出一般二次函數的圖象和性質.二次函數的知識、方法、思想有哪些應用呢？

【設計意圖】通過一道具體的二次函數題來復習二次函數一章學習的脈絡，因為此函數就是下面環節問題中的主要內容，也為下一環節的學習奠定基礎.

環節2：探索活動，綜合感悟.

活動1：二次函數知識方法的直接應用——變化之中求最值.

公式介紹：我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記半周長p=a＋b＋c2，則其面積S=p（p-a）（p-b）（p-c）.這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式.

（1）如果知道一個三角形周長為10，一邊長c＝4，你可以知道什么？

（2）這個三角形的面積有最大值嗎？

總結：將二次多項式看作二次函數的表達式，通過配方法將二次函數寫成頂點式之后，可以求最值.

師生活動：在教師的引導和啟發下逐步推進，從教師提問到學生回答，再到教師板書，逐步完成探索過程.

【設計意圖】介紹“海倫—秦九韶公式”，將其轉化成一個函數問題，既感受二次函數頂點式的應用，又了解中國古代數學成就，增強民族的文化自信.

活動2：二次函數知識方法的直接應用——測量之中有科學.

生活中，不論是量長度還是稱重量，結果都是近似值，無法測出真實值.

（1）在某次實驗中，小明需要測量一個物體的邊長，為了獲得盡可能精確的值，他測量了3次（單位：mm）：9.9，10.1，10.0，他想要找到一個最接近這三次測量值的一個數a作為這條線段長度的近似值.當a等于多少時，（a-9.9）2＋（a-10.1）2＋（a-10.0）2最小？

（2）由特殊到一般，對一條線段的長度進行n次測量，得到n個結果（單位：mm）x1，x2，…，xn，若用x作為這條線段長度的近似值，當x取何值時，（x-x1）2＋（x-x2）2＋…＋（x-xn）2最小？

總結：用二次函數解釋物理測量方法.

師生活動：第（1）問學生獨立完成，并由學生代表展示結果；第（2）問，在對比鋪墊之后，小組合作完成，然后由小組代表進行投影，展示結果.

【設計意圖】用二次函數知識解釋用平均值作近似值的合理性，體會二次函數的應用價值，感受這種方法的科學性，培養科學精神，發揮數學育德作用.同時，運用研究數學對象的一般思路，在學習中學會學習.

活動3：二次函數思想觀點的遷移應用——思想方法可遷移.

（1）你會解一元二次方程a2-6a＋5=0嗎？" 用一元二次方程的解法求解；用二次函數圖象讀取.

（2）你會解一元二次不等式a2-6a＋5＞0嗎？" 學生存在困難時，設置懸念，引出課題；學生能夠說出解決思路時，因勢利導，引出課題.

（3）你還能讀出哪些一元二次方程、一元二次不等式的解或解集？

總結：從特殊到一般，一元二次方程的解、一元二次不等式的解集都可以統一從二次函數的圖象上去直觀“讀”取.

師生活動：從問題呈現到學生回答，再到教師引導，最后組織討論.

【設計意圖】從學生所熟悉的一元二次方程求解入手，過渡到學生所不熟悉的一元二次不等式求解，引發學生認知沖突，為用二次函數觀點看問題作鋪墊.帶領學生從二次函數的圖象上讀取信息，進一步理解二次函數的圖象和性質，感受二次函數與一元二次方程、不等式的內在聯系，體會二次函數在數學內部的應用.

（4）變式：x2-4x＋3＞x-1.

（5）挑戰性任務：求不等式y=1x2 ＞x的解集.

回憶我們學習最簡單的二次函數y=x2的過程，在畫圖之前，我們先根據函數表達式去推斷、想象函數圖象的基本特征，然后再畫圖驗證觀察.

（6）類似地，你能說出函數y=1x2的圖象具有哪些特征嗎？

x、y均不為0，說明與坐標軸無交點；x取一對相反數，y值均相等，說明圖象關于y軸對稱；不論x取何值，y值總是正數，說明圖象始終在x軸上方；x＞0時，y隨x的增大而減小，說明圖象下降；x＜0時，y隨x的增大而減大，說明圖象上升.

（7）請你在下面的表格中填入數字，并在方格紙中畫出它的圖象，驗證你的推斷.

總結：包括二次函數在內的函數學習，“由數想形，以形定數”的數形結合既是重要的知識內容也是重要的思想方法.

師生活動：投影展示，學生講解.

【設計意圖】通過遷移二次函數的學習研究方法探索一個未知函數的圖象與性質，進一步感受表層知識背后的深層思想方法.

環節3：課堂小結，回顧領悟.

（1）根據這節課的學習經歷，你準備怎樣解不等式x2-2x＋3＞2x.

（2）談談你這節課的學習收獲.

師生活動：學生分享經歷、思路和收獲，教師進行澄清和補充.

【設計意圖】通過將內在的由特殊到一般的感悟和由一般到特殊的領悟用語言表達出來的方式，評判本節課的目標達成情況，深化學生的課堂理解.

4 依據課堂實踐，觀點演繹反思

從課堂的實施情況來看，學生在教師引導下主動思考學習二次函數的過程，梳理學習函數的一般思路，遷移應用探索新的函數，在學習中學會學習.學生能夠“在大概念的引領下，思維深度參與，用數學的方式思考，感受科學精神，發揮數學學科育智與育德的融合作用”.

4.1 課程育德的專業化超越

數學課程是作為教育任務的課程，是落實立德樹人根本任務的重要載體之一，在育智中育科學之德，在育智中育深刻之情，學生能夠感受到數學觀念，體會到探索之樂，感悟到數學思想，學會用數學的方式思考，用數學的方式學習.數學課程在培養學生科學精神、理性思維和促進學生智力發展中發揮著不可替代的獨特作用.

我們有理由相信，學生長期在這樣的課堂熏陶下，會越學越聰明、越來越智慧，不僅會有數學的思維，更會有科學的思維，逐步從“理性思維”走向“理性精神”，以不同學科的整合超越“專業化”.

4.2 育智之中育德需思維深度參與

本課通過對全章知識內在聯系、學習過程以及相關知識的整體考查，以“函數觀點”這一大概念為統領，選擇數學史、數理融合以及數學內部相關知識三類素材，在問題解決的過程中，整體調用二次函數知識結構、思想方法結構，有效促進了學生思維的深度參與，在引導學生深切體驗中，育學生“文化自信”之德、“審慎批判”之德.

融合理念下數學育德，并非偏離數學之育德，而是基于對數學本質的深刻洞察、數學結構的整體把握、數學思想的深遠領悟之上所開發的育德資源，引領學生思維由淺入深地參與，滲透道德情感，遵循科學規律，培育和發展學生數學核心素養，將育德融于育智之中，在育智之中進行育德，讓數學教育發揮獨特而不可替代的育人價值.

4.3 育德立意讓課堂學習走向深入

數學課程是作為教育任務的課程，是立德樹人根本任務的載體之一，育德立意是數學課堂教學的根本要求.“情意原理”的知情互進、“序進原理”的由淺入深、“活動原理”的充分參與和“反饋原理”的評價調節，讓課堂學習逐步深入，發揮育德作用.

首先，遵循“情意原理”的知情互進.全章梳理二次函數，通過啟發性提問、澄清式追問、批判性反問，教師激發學習者的學習動機和探索興趣，幫助學生梳理學習脈絡、建構知識框架，把二次函數一章知識的基本結構呈現出來.在“海倫—秦九韶公式”的問題解決之后，教師介紹秦九韶的情況，加強與學生的感情交流，培育學生“文化自信”之德，讓學生認識到數學學習不僅僅是數學課本、不僅僅是刷題，還有更為廣闊的數學閱讀，激發學生的學習興趣，培育學生“求真向善尚美”之德.

其次，遵循“序進原理”的由淺入深.這節課整體思路清楚，結構性與節奏性較好.在梳理全章脈絡之后，進入“海倫—秦九韶”公式的求最值問題之中，用二次函數觀點看待其中的二次多項式，然后遷移這種觀點解釋物理測量方法的合理性，最后依然用這種觀點轉化視角解決含未知數的不等式問題，有步驟地呈現知識和經驗的結構化程度，有層次、有遞進地建立“函數觀點”，并一以貫之.典型的理性思維讓學生深刻感受到數學學習中所蘊含的科學精神.

缺憾之處在于，課始的追問“為什么是拋物線”難度太大，耽誤了較多時間.這是因為，這個問題距離學生的經驗較遠，跨度較大.事實上，可以這樣改進：這個式子a2-6a＋5你認識嗎？請談談你的認識.從數的角度如何解釋？從形的角度如何解釋？在這些問題之后，再梳理全章知識，初步建立“函數觀點”.這樣一節課會更加貫通一致、連貫順暢，學生也比較容易回答，能夠更好地由淺入深進行學習.

再次，遵循“活動原理”的充分參與.與學生對話、與學生合作、組織小組討論、給學生板書機會，感受從常量數學到變量數學的發展規律，體悟數形結合的思想方法，學生行為活動與認知活動結合，教師主導與學生自主結合，讓學生經歷“學得”和“習得”的結合，激活學生思維、促進學生深度思考，逐步深入理解“函數觀點”.

最后，遵循“反饋原理”的評價調節.在每個環節之后，組織好總結語和過渡語，及時評價，引導學生參與評價，及時調節教學，改善學習進程.通過課堂小結，站在初中數學函數學習最后階段的角度，回頭對照梳理已經學習過的函數，發現共通的“函數觀點”能夠統領方程與不等式，有效保障教學目標的達成，更能實現目標向育德的升華.

4.4 育德統合思想、歷史和文化性

求數學之真、向數學之善、尚數學之美，建立文化自信，感受科學精神，在育德立意中統合思想性、歷史性和文化性.

在數學史上，常量數學進入到變量數學中最大的貢獻就是“函數觀點”的建立.這正是這節課的核心主線.用函數觀點審視問題，就使得數的問題獲得了“形”的直觀，這是數形結合的典范.法國數學家笛卡爾（R.Descartes）創立解析幾何以后，函數就獲得一個新的生命，兼具圖象與性質，融合“數”與“形”.本課在最后，兩個未知不等式的選擇，函數觀點讓不等式的解決可以直接用圖象進行“讀取”，“山重水復疑無路”與“柳暗花明又一村”的強烈對比，一下子讓“函數觀點”更加深刻地建立起來了.這就是本節課的思想性和歷史性.

本課不斷在函數的式子結構與函數背后的數學思想結構之間相互轉換，這兩個結構的轉換是這節課的核心方法.課堂上所有問題都體現了這種轉換所包含的化歸思想.把求最值問題、測量中的科學性問題、不等式問題全部轉換成函數式，清楚地讓學生知道向哪里轉化、為什么要轉化.于是，三個應用的例子都轉化到課始全章梳理的一個函數觀點中，梳理到函數觀點的結構里，回歸到最基本的函數結構.很好地體現了學習科學領域中的大概念.通過挖掘課程的育德資源，把課程的思想性、歷史性、文化性融合體現了出來.

參考文獻

［1］ 呂增鋒.高中數學大概念的內涵及提?。跩］.中小學教師培訓，2021（7）：53-55.

［2］ 馮春艷，陳旭遠.以大觀念為中心的教學：基本內涵、價值向度及設計路徑［J］.教育學報，2021（3）：85-94.

［3］ 鐘鳴，張泉.后建構課堂的章尾復習課設計 ——以“中心對稱圖形——平行四邊形”為例［J］.初中生世界，2021（16）：38-42.