淺談如何在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透函數(shù)思想

摘" 要：新課程目標(biāo)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能獲得數(shù)學(xué)的基本思想。函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)思想隱藏在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)背后，貫穿小學(xué)教材。小學(xué)教師雖然不講函數(shù)概念，但一定要滲透函數(shù)思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，在教學(xué)中促使學(xué)生發(fā)展函數(shù)思維，提高學(xué)生解決問題的能力。文章對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行了梳理，立足課堂教學(xué)，探究了如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中把握滲透的時(shí)機(jī)、有效滲透函數(shù)思想，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);函數(shù)思想;變化與對(duì)應(yīng)

張景中先生在《感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量》一文中曾提出：“最重要的，首推函數(shù)的思想。”他在文中講到，用加法幫助乘法，實(shí)質(zhì)上包含了變量和函數(shù)的思想;試商的過程，就是調(diào)整函數(shù)自變量，使函數(shù)值滿足一定條件的過程。小學(xué)教師雖然不講函數(shù)概念，但一定要適時(shí)、適度地滲透函數(shù)思想，豐富學(xué)生對(duì)變化與對(duì)應(yīng)的直觀經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生感受到事物之間是相互聯(lián)系和相互制約的。因?yàn)檫@對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)課程內(nèi)容的順利銜接，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成有重要意義。

一、解讀挖掘教材，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

中小學(xué)函數(shù)教學(xué)可以分為三個(gè)階段：函數(shù)思想滲透階段（小學(xué)至初中七年級(jí)）、動(dòng)態(tài)宏觀研究階段（初中八年級(jí)到九年級(jí)）、靜態(tài)微觀研究階段（高中），三個(gè)階段內(nèi)容分段安排，呈螺旋式上升。

在實(shí)際教學(xué)中，部分教師對(duì)滲透函數(shù)思想存在疑惑：在哪里滲透？怎么滲透？滲透多少？這需要教師把握函數(shù)的知識(shí)和函數(shù)思想本質(zhì)，認(rèn)真、全面和系統(tǒng)地解讀課程標(biāo)準(zhǔn)和整套教材，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，把握滲透的時(shí)機(jī)，找到合適的滲透點(diǎn)。

函數(shù)思想，指用函數(shù)的定義和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，最終解決問題的一種思維策略，其本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。新課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)的“基本思想”主要包括數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)模型的思想。而函數(shù)思想正是由這三個(gè)基本數(shù)學(xué)思想派生出來的。函數(shù)描述數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征建立數(shù)學(xué)關(guān)系模型，體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。對(duì)人教版小學(xué)教材進(jìn)行梳理和解讀，可以將函數(shù)思想滲透階段的具體表現(xiàn)，分為以下幾個(gè)方面（如圖1所示）。

二、立足課堂教學(xué)，有效滲透思想

（一）在運(yùn)算中初步感受變化與對(duì)應(yīng)

計(jì)算教學(xué)中可以滲透函數(shù)思想的時(shí)機(jī)和內(nèi)容有很多。比如第一學(xué)段中四則運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系、加法表、減法表、百數(shù)表、九九乘法表、除法表，第二學(xué)段中“積不變”“商不變”條件下兩個(gè)數(shù)之間的變化關(guān)系，以及“總價(jià)、單價(jià)與數(shù)量”“路程、速度與時(shí)間”“工作總量、工作效率與工作時(shí)間”等一些基本的數(shù)量關(guān)系，都蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想。

1. 在加與減的運(yùn)算中感受

從函數(shù)的角度看，加減法運(yùn)算可以看成自變量與因變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)給出不同的輸入時(shí)，按照加、減法的運(yùn)算規(guī)則，得到對(duì)應(yīng)的輸出。比如計(jì)算3-1、3-2、3-3時(shí)，教師引發(fā)學(xué)生思考：“為什么都是從3里面減，得數(shù)卻不同？”讓學(xué)生初步感受到數(shù)學(xué)中的變化與對(duì)應(yīng)“被減數(shù)不變，減數(shù)越大，差越大;減少越小，差越小”，這就是最初的函數(shù)思想滲透。

2. 在積與商的變化規(guī)律中感受

對(duì)積的變化規(guī)律，可以將一個(gè)因數(shù)視為自變量，積視為因變量;而對(duì)商的變化規(guī)律，可以把被除數(shù)或者除數(shù)看作自變量，商看作因變量。當(dāng)自變量發(fā)生變化時(shí)，因變量按照規(guī)則發(fā)生變化，這本質(zhì)上就是一種函數(shù)關(guān)系。比如在教學(xué)“積的變化規(guī)律”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘一個(gè)數(shù)時(shí)，積怎么變化，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)除以一個(gè)數(shù)時(shí)，積又怎么變化。教師在教學(xué)中，要讓學(xué)生充分體會(huì)其中的“變與不變”，透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，用函數(shù)思想引導(dǎo)學(xué)生觀察積與商的變化規(guī)律，幫助學(xué)生更好地感受和理解這些規(guī)律的內(nèi)在邏輯。

3. 在解決問題的數(shù)量關(guān)系中感受

數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是比數(shù)量更為一般的抽象，也就是數(shù)量之間的關(guān)系。數(shù)量關(guān)系有靜態(tài)的，也有動(dòng)態(tài)的。比如購物時(shí)單價(jià)、數(shù)量確定，總價(jià)是唯一的，這是一種靜態(tài)關(guān)系。此外，學(xué)生還可以從運(yùn)動(dòng)變化的角度發(fā)現(xiàn)：買同樣的東西，買的數(shù)量越多，總價(jià)越高;買的數(shù)量越少，總價(jià)越低。這種動(dòng)態(tài)體驗(yàn)，其實(shí)就是對(duì)函數(shù)中變量及其關(guān)系的初步感知。像這樣在量的變化過程中蘊(yùn)含函數(shù)關(guān)系的模型有許多，如加法模型“總量=一部分+另一部分”，行程模型“距離=速度×?xí)r間”，工程模型“工作總量=工作效率×工作時(shí)間”等。教師只要對(duì)條件問題稍加改變，學(xué)生就可以體會(huì)到其中的動(dòng)態(tài)變化，感知一個(gè)量隨著另一個(gè)量變化而變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受兩個(gè)量之間相互依存的本質(zhì)，從而積累研究變量數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）在圖形中直觀感受變化與對(duì)應(yīng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)思想不僅體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”板塊，還體現(xiàn)在“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”板塊中。比如折線統(tǒng)計(jì)圖本身就是函數(shù)圖像，而圖形的周長、面積、體積公式也都是函數(shù)表達(dá)式。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以結(jié)合圖形直觀感受變化與對(duì)應(yīng)，體會(huì)到數(shù)量的變化與對(duì)應(yīng)關(guān)系。

如教學(xué)長方形的面積時(shí)，教師用幾何畫板演示：一個(gè)長方形長不變、寬變大;以及寬不變、長變大的動(dòng)態(tài)視頻。通過動(dòng)態(tài)畫面展示，學(xué)生可以直觀感受到長方形面積與長、寬的相依關(guān)系：一個(gè)長方形，如果長不變，寬變大，面積就變大;如果寬不變，長變大，面積也變大。其面積計(jì)算公式S=ab，本身就是一個(gè)二元函數(shù)模型。學(xué)生在探究過程的變化中尋找不變，探尋規(guī)律，從而建立模型。

（三）在用字母表示數(shù)中感悟變化與對(duì)應(yīng)

“用字母表示數(shù)”蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想。從具體、確定的數(shù)過渡到用字母表示抽象、可變的數(shù)，這是小學(xué)生代數(shù)初步知識(shí)的起步，是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一次飛躍，也是滲透函數(shù)思想的重要契機(jī)。教師要在探究過程中讓學(xué)生充分感悟變量間的變化與對(duì)應(yīng)，讓教材上看得見的思維結(jié)果折射出看不見的思維活動(dòng)過程。

比如，教師用小棒擺三角形，先讓學(xué)生用乘法算式分別表示2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)三角形所用的小棒根數(shù)，再讓學(xué)生通過對(duì)數(shù)量關(guān)系及所列乘法算式的分析比較，用字母a表示出三角形的個(gè)數(shù)，用含有a的式子表示出擺a個(gè)三角形所用小棒的根數(shù)。在構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的過程中，學(xué)生逐漸感受到表示三角形個(gè)數(shù)的字母a是一個(gè)變量，表示小棒根數(shù)的式子3a所表示的數(shù)會(huì)隨著a的變化而變化。學(xué)生雖然不懂什么是函數(shù)，但是在這一過程中可以充分體會(huì)到3a與a之間的變化與對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受變量之間的變化規(guī)律和依存關(guān)系。

（四）在比例關(guān)系的教學(xué)中深化函數(shù)思想

函數(shù)用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)反映事物之間的聯(lián)系和規(guī)律，而運(yùn)動(dòng)、變化是客觀事物的本質(zhì)屬性。正比例、反比例知識(shí)的學(xué)習(xí)，接近函數(shù)中的正、反比例函數(shù)，強(qiáng)調(diào)了一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量變化而變化，這種確定性的規(guī)律正是函數(shù)思想的核心之一。正、反比例的學(xué)習(xí)是小學(xué)生第一次正式接觸函數(shù)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)過程中的一次重大飛躍。教師要關(guān)注解析式、表格和圖像等多元表征的運(yùn)用，讓學(xué)生充分感受到變量之間的動(dòng)態(tài)變化以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并利用這些關(guān)系預(yù)測、分析和解決實(shí)際問題，這正是函數(shù)思想的生動(dòng)體現(xiàn)。

比如，在教學(xué)“正比例”時(shí)，教師先讓學(xué)生橫向分析表格（如圖2所示），感受兩個(gè)數(shù)量之間的變化關(guān)系：總價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量擴(kuò)大幾倍，總價(jià)也擴(kuò)大幾倍，總價(jià)是隨著數(shù)量的變化而變化的;再縱向比較，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)的總價(jià)和數(shù)量的比值都是3.5，是一定的。如文具店有一種彩帶，銷售的數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系見下圖。

然后教師讓學(xué)生通過對(duì)比辨析深入理解正比例的意義，并用含有字母的表達(dá)式表征兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：y=3.5x，其本質(zhì)已接近函數(shù)的解析式。之后讓學(xué)生通過描點(diǎn)連線的方式畫出圖像（如圖3所示），將抽象的函數(shù)關(guān)系具體、直觀地表示出來。通過分析圖像，學(xué)生可以理解到圖中射線上的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正比例關(guān)系中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量的某一組具體值，感受到函數(shù)的對(duì)應(yīng)性和連續(xù)性，更好地把握正比例的兩個(gè)量之間的變化規(guī)律，形成正確的表象。最后，學(xué)生利用正比例關(guān)系圖像進(jìn)行預(yù)測、分析，進(jìn)一步感知正比例關(guān)系圖像的特征，進(jìn)而解決了簡單的實(shí)際問題。

（五）在解決問題、綜合實(shí)踐中提升函數(shù)思想

教師滲透函數(shù)思想的目的，是使學(xué)生能用函數(shù)的觀點(diǎn)思考、分析和解決問題。在教材的“數(shù)學(xué)廣角”“綜合與實(shí)踐”部分，很多地方都體現(xiàn)了應(yīng)用函數(shù)思想解決問題的價(jià)值。教師要抓住機(jī)會(huì)，讓學(xué)生用函數(shù)思想主動(dòng)思考，進(jìn)而解決問題。

比如，人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中“數(shù)與形”（探尋規(guī)律）、六年級(jí)下冊(cè)的綜合與實(shí)踐中“自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)”（反比例關(guān)系）和“有趣的平衡”（反比例關(guān)系），都是很好的教學(xué)內(nèi)容。教師可以設(shè)計(jì)巧妙的引導(dǎo)過程，在學(xué)生進(jìn)入初中正式接觸函數(shù)概念之前，扎實(shí)有效地滲透函數(shù)思想，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，打下良好的數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)課教學(xué)建議

從特殊到一般，從具體到抽象，學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的感悟是一個(gè)長期的過程。小學(xué)課堂并不缺少函數(shù)思想的滲透點(diǎn)，但思想與方法往往是無形的，加之分散在不同年級(jí)教材中的不同章節(jié)中，給教學(xué)和評(píng)價(jià)帶來了一定的困難，這就對(duì)小學(xué)教師提出了更高的要求。

首先，小學(xué)教師要認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)的本體知識(shí)，提升自身的專業(yè)素養(yǎng)。例如函數(shù)和函數(shù)思想的具體含義是什么？函數(shù)思想是如何形成和發(fā)展的？函數(shù)思想在小學(xué)中是如何體現(xiàn)的？函數(shù)概念和函數(shù)思想在初高中又是怎么體現(xiàn)的？教師只有清晰掌握函數(shù)和函數(shù)思想的本質(zhì)，才能更好地在小學(xué)階段滲透函數(shù)思想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)擁有生長的力量。

其次，小學(xué)教師要全面和系統(tǒng)地解讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和整套教材，站在整體的高度綜合考慮問題，深挖和把握其中的函數(shù)思想，認(rèn)真思考哪些地方滲透了函數(shù)思想、怎么滲透、滲透多少，在備課時(shí)下足真功夫。

最后，小學(xué)教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，通過多元表征、數(shù)學(xué)建模等多種方式，將函數(shù)思想的滲透真正有效地落實(shí)到教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地感悟函數(shù)思想，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思想和方法，激發(fā)數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

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（責(zé)任編輯：石子靜）