記住統計中的五個“數”

眾數、中位數、平均數、百分位數和頻數是統計數據的重要特征數，主要描述數據的集中趨勢。

一、眾數

例1 為了弘揚體育精神，某校組織秋季運動會，在一項比賽中，學生甲進行了8組投籃，得分分別為10，8，5，8，7，9，6，8，則這組數據的眾數為____。

解：因為數據10，8，5，8，7，9，6，8中出現次數最多的是8，所以這組數據的眾數為8。

評注：在一組數據中，出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。

二、中位數

例2 （1）一個樣本數據按從小到大的順序排列為13，14，19，x，23，27，28，31，中位數為22，則x=____。

（2）某工廠對一批新產品的長度（單位：mm）進行檢測，圖1是檢測結果的頻率分布直方圖，據此估計這批產品的中位數為（ ）。

A.20 B.25

C.22.5 D.22.75

解：（1）由中位數的定義可得x+23/2 =22，則x=21。

（2）易得中位數在第3組。設中位數為x，則0.02×5+0.04×5+0.08×（x-20）=0.5，解得x=22.5。應選C。

評注：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據或最中間兩個數據的平均數叫作這組數據的中位數;在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的頻率分布直方圖的面積應該相等。

三、平均數

例3 （1）一組觀察值4，3，5，6出現的次數分別是3，2，4，2，則樣本的平均數為（ ）。

A.4.55 B.4.5

C.12.5 D.1.64

（2）已知樣本數據x1，x2，…，xn 的均值x=5，則樣本數據2x1+1，2x2+1，…，2xn +1的均值為____。

解：（1）由題意得樣本的平均數為（4×3+3×2+5×4+6×2）/（3+2+4+2）≈4.55。應選A。

（2）由條件知x=（x1+x2+…+xn）/n =5。所以所求的均值x0=（2x1+1+2x2+1+…+2xn +1）/n=（2（x1+x2+…+xn）+n）/n=2x+1=2×5+1=11。

評注：如果給定的一組數據是x1，x2，…，xn ，那么這組數據的平均數為x=1n（x1 +x2+…+xn）。

四、百分位數

例4 （1）一個容量為20的樣本，其數據按從小到大的順序排列為1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數據的第75百分位數為，第86百分位數為____。

（2）將高三某班60名學生參加某次數學模擬考試所得的成績（成績均為整數）整理后畫出頻率分布直方圖，如圖2所示，則此班的模擬考試成績的80%分位數約為____。（結果保留兩位小數）

解：（1）因為75%×20=15，所以第75百分位數為第15個數據與第16個數據的平均值，即為14+15/2 =14.5。

因為86%×20=17.2，所以第86百分位數為第18個數據，即為17。

（2）由頻率分布直方圖可知，分數在120分以下的學生所占的比例為（0.01+0.015+0.015+0.03）×10×100% =70%，分數在130分以下的學生所占的比例為（0.01+0.015+0.015+0.03+0.0225）×10×100%=92.5%，所以80% 分位數一定位于區間[120，130）內。

因為120+（ 0.8-0.7/0.925-0.7）×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的80%分位數約為124.44。

評注：25%，50%，75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數，其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數。

五、頻數

例5 （1）在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形的面積和的25，且樣本容量為140，則中間一組的頻數為（ ）。

A.28 B.40

C.56 D.60

（2）一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.125，則該組樣本的頻數為（ ）。

A.2 B.4

C.6 D.8

解：（1）設中間一組的頻數為x。因為中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形的面積和的2/5，所以其他8組的頻數和為5/2x。由x +5/2x =140，解得x =40。應選B。

（2）因為頻率= 頻數/樣本容量，所以頻數=頻率×樣本容量=0.125×32=4。應選B。

評注：頻率分布直方圖的縱坐標是頻率/組距，每一組對應的小矩形的高與頻率成正比，且每個小矩形的面積等于這一組對應的頻率，所有小矩形的面積之和為1。

感悟與提高

一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人。為了解這個單位職工與身體狀態有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，應該怎樣抽取？

提示：該抽樣為比例分配的分層隨機抽樣，抽取步驟如下。

①按年齡將500名職工分成三層，不到35歲的職工;35歲至49 歲的職工;50 歲及50歲以上的職工。② 由抽樣比為100/500=1/5，可知在不到35歲的職工中抽取125×1/5=25（人）;在35歲至49歲的職工中抽取280×1/5=56（人）;在50歲及50歲以上的職工中抽取95×1/5=19（人）。③ 各層按隨機數法抽取樣本。④ 匯總每層抽樣，組成容量為100的樣本。

作者單位：湖北省巴東縣第三高級中學

（責任編輯 郭正華）