記住概率中的八個“事件”

事件是研究概率問題的基本單位，求解概率問題要熟記八個“事件”，要弄清各自的特征。

一 、基本事件

例1 已知集合M = {-2，3}，N ={-4，5，6}，從這兩個集合中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標，則這個試驗的基本事件的總數為____。

解：由題意得試驗的基本事件空間Ω ={（-2，-4），（-2，5），（-2，6），（3，-4），（3，5），（3，6），（-4，-2），（-4，3），（5，-2），（5，3），（6，-2），（6，3）}，所以這個試驗的基本事件總數是12。

評注：基本事件的兩個特點：任何兩個基本事件是互斥的;任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

二、不可能事件

例2 在25件同類產品中，有2件次品，從中任取3 件產品，其中不可能事件為（ ）。

A.3件都是正品

B.至少有1件次品

C.3件都是次品

D.至少有1件正品

解：因為25件產品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品。應選C。

評注：不可能事件的概率為P（A）=0。

三、隨機事件

例3 以下事件中的隨機事件是（ ）。

A.標準大氣壓下，水加熱到100 ℃，必會沸騰

B.走到十字路口，遇到紅燈

C.長和寬分別為a，b 的矩形，其面積為ab

D.實系數一元一次方程必有一實根

解：對于A，標準大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件，A 錯誤。對于B，走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件，B正確。對于C，長和寬分別為a，b 的矩形，其面積為ab，是必然事件，C 錯誤。對于D，實系數一元一次方程必有一實根，是必然事件，D錯誤。應選B。

評注：隨機事件是在一定條件下可能發生，也可能不發生的事件。在一次試驗中是否發生不能事先確定，但在大量重復試驗的情況下，隨機事件的發生呈現一定的規律性。

四、互斥事件

例4 某人在打靶中，連續射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）。

A.至多有一次中靶

B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶

解：因為事件“至少有一次中靶”和“兩次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它們為互斥事件。應選C。

評注：判斷事件是否互斥的兩個步驟：確定每個事件包含的結果;確定是否有一個結果發生會意味著兩個事件都發生，若是，則兩個事件不互斥，否則就是互斥的。

五、對立事件

例5 從1，2，…，9中任取兩個數，①恰有一個偶數和恰有一個奇數;②至少有一個奇數和兩個都是奇數;③至少有一個奇數和兩個都是偶數;④至少有一個奇數和至少有一個偶數。在上述事件中的對立事件是（ ）。

A.① B.②④

C.③ D.①③

解：從1，2，…，9中任取兩個數，有以下三種情況：兩個奇數;兩個偶數;一個奇數和一個偶數。至少有一個奇數包含兩個奇數、一個奇數和一個偶數，其對立事件顯然是兩個偶數。應選C。

評注：若A∩B 為不可能事件，A ∪B 為必然事件，則事件A 與B 互為對立事件。若事件A 與B 互為對立事件，則A∪B 為必然事件。對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件。

六、相互獨立事件

例6 一袋中裝有5個白球，3個黃球，在有放回的摸球中，用A1 表示第一次摸到白球，A2 表示第二次摸到白球，則事件A1 與A2 是（ ）。

A.相互獨立事件

B.不相互獨立事件

C.互斥事件

D.對立事件

解：由題意得A2 表示“第二次摸到的不是白球”，即A2 表示“第二次摸到的是黃球”。因為采用有放回的摸球，所以每次是否摸到黃球或白球互不影響，所以事件A1 與A2 是相互獨立事件。應選A。

評注：兩個事件相互獨立，是指它們其中一個事件的發生對另一個事件發生的概率沒有影響。一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立。必然事件Ω 與任意一個事件相互獨立;不可能事件?與任意事件相互獨立。

七、和事件（并事件）

例7 拋擲一枚質地均勻的骰子，向上的一面出現1點、2點、3點、4點、5點、6點的概率都是1/6，記事件A 為“出現奇數”，事件B 為“向上的點數不超過3”，則P（A∪B）= ____。

解：記事件“出現1點”“出現2點”“出現3點”“出現5點”分別為A1，A2，A3，A4。由題意知這四個事件彼此互斥，則A ∪B =A1∪A2∪A3∪A4，故P （A ∪B）=P （A1∪A2∪A3∪A4）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3。

評注：若某事件發生當且僅當事件A 發生或事件B 發生，則稱此事件為事件A 與B的和事件（并事件）。在概率的加法公式P（A∪B）=P（A）+P （B）-P （A ∩B）中，易忽視只有當A ∩B =?，即A，B 互斥時，P（A∪B）=P（A）+P （B），此時P （A ∩B）=0。

八、積事件（交事件）

例8 從某大學數學系圖書室中任選一本書，設A =“數學書”，B =“中文版的書”，C=“2022年后出版的書”。

（1）A∩B∩C 表示什么事件？

（2）在什么條件下，有A∩B∩C=A？

（3）C?B 表示什么意思？

（4）如果A =B，那么是否意味著圖書室中的所有數學書都不是中文版的？

解：（1）A ∩B ∩C=“2022年或2022年前出版的中文版的數學書”。

（2）在“圖書室中所有數學書都是2022年后出版的且為中文版”的條件下，才有A ∩B∩C=A。

（3）C?B 表示2022年或2022年前出版的書全是中文版的。

（4）是。A=B 意味著圖書室中的非數學書都是中文版的，且所有的中文版的書都不是數學書。同時A=B 又可轉化為B=A，因而也可以解釋為圖書室中所有數學書都不是中文版的，且所有不是中文版的書都是數學書。

評注：若某事件發生當且僅當事件A 發生且事件B 發生，則稱此事件為事件A 與B的積事件（交事件）

感悟與提高

下列事件中，必然事件的是（ ）。

A.10人中至少有2人生日在同一個月

B.11人中至少有2人生日在同一個月

C.12人中至少有2人生日在同一個月

D.13人中至少有2人生日在同一個月

提示：因為一年有12個月，所以無論10、11、12個人都有不在同一月生日的可能，只有13個人肯定至少有2 人在同一月生日。應選D。

作者單位：湖北省巴東縣第一高級中學

（責任編輯 郭正華）