事件的相互獨(dú)立性的詮釋與應(yīng)用

一、事件的相互獨(dú)立性

1.相互獨(dú)立的概念

一般地，若事件A，B 滿足P （AB ）=P（A）P（B），則稱事件A 與B 相互獨(dú)立。

（1）事件A 與事件B 獨(dú)立是相互的。

（2）設(shè)A 與B 為兩個(gè)事件，則下列四對事件：A 與B、A 與B，A 與B，A 與B，只要有一對事件相互獨(dú)立，其余三對也相互獨(dú)立。

（3）若事件B 發(fā)生與否對事件A 發(fā)生的概率沒有影響，則事件A，B 獨(dú)立。

2.互斥與獨(dú)立的辨析

事件間的互斥與獨(dú)立是兩個(gè)不同的概念，但極易混淆。兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生;兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響。獨(dú)立性是指兩個(gè)試驗(yàn)中，一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的概率;互斥性是指兩個(gè)事件之間有很強(qiáng)的依賴關(guān)系，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)事件發(fā)生，另一個(gè)就不發(fā)生。在解答兩個(gè)或兩個(gè)以上事件相互關(guān)系的概率問題時(shí)，首先要判斷事件是互斥還是相互獨(dú)立，只有搞清了事件的類型才能采用相應(yīng)的概率公式。

二、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

若事件A 與B 相互獨(dú)立，則A 和B 同時(shí)發(fā)生的概率等于A 發(fā)生的概率與B 發(fā)生的概率之積，即P（AB）=P（A）P（B）。

（1）任何事件與必然事件相互獨(dú)立，任何事件與不可能事件相互獨(dú)立，事件A，B 相互獨(dú)立的充要條件是P（AB）=P（A）P（B）。

（2）兩個(gè)事件的獨(dú)立性可以推廣到n（ngt;2）個(gè)事件的獨(dú)立性。若事件A1，A2，…，An 相互獨(dú)立，則這n 個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P（A1A2…An ）=P （A1）·P （A2）· … ·P（An）。

（3）P（AB）=1-P （A ）P （B）表示兩個(gè)相互獨(dú)立事件A，B 至少有一個(gè)不發(fā)生的概率。在求事件的概率時(shí)，有時(shí)遇到求“至少”“至多”等事件的概率，若直接求解，則過程煩瑣，但“至少”“至多”這些事件的對立事件往往很簡單，其概率也易求出，此時(shí)可逆向思考，先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率。

三 、事件的相互獨(dú)立性的應(yīng)用

1.相互獨(dú)立的判斷

例1 判斷下列各對事件是否相互獨(dú)立。

（1）為備戰(zhàn)乒乓球世界杯賽，國家乒乓球隊(duì)成立了男、女集訓(xùn)隊(duì)各一支，“從男隊(duì)中選3人”與“從女隊(duì)中選3人”。

（2）某電視節(jié)目有個(gè)“砸金蛋”的游戲環(huán)節(jié)，其中金蛋3個(gè)，銀蛋3個(gè)，“從6個(gè)蛋中任意砸1個(gè)，砸掉的是金蛋”與“從剩下的5個(gè)蛋中再砸1個(gè)，砸掉的還是金蛋”。

（3）一禮品筐中有6 個(gè)蘋果和3 個(gè)梨，“從中任意取出1個(gè)，取出的是蘋果”與“把取出的蘋果放回筐子，再從筐子中任意取出1個(gè)，取出的是梨”。

分析：兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，要看其中一個(gè)事件的發(fā)生對另一個(gè)事件發(fā)生的概率是否有影響。

解：（1）“從男隊(duì)中選3人”這一事件是否發(fā)生，對“從女隊(duì)中選3人”這一事件的發(fā)生沒有影響，因此它們是相互獨(dú)立的。

（2）“從6個(gè)蛋中任意砸1個(gè)，砸掉的是金蛋”的概率為1／2，若這事件發(fā)生了，則“從剩下的5個(gè)蛋中再砸1個(gè)，砸掉的還是金蛋”的概率是2／5。若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為3／5。可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，因此它們之間不是相互獨(dú)立的。

（3）把取出的蘋果放回筐子，對“從中任意取出1 個(gè)，取出的是蘋果”的概率沒有影響，所以兩者是相互獨(dú)立的。

點(diǎn)評

判斷事件是否相互獨(dú)立是解題的關(guān)鍵，要學(xué)會(huì)對事件進(jìn)行正確合理的判斷與應(yīng)用。

2.相互獨(dú)立的應(yīng)用

例2 甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員分別對一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9。

（1）求2人都射中目標(biāo)的概率。

（2）求2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率。

（3）求2人中至少有1人射中目標(biāo)的概率。

分析：設(shè)“甲射擊1次，射中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊1次，射中目標(biāo)”為事件B，則A與B、A 與B，A 與B，A 與B 都是相互獨(dú)立事件，可按相互獨(dú)立事件求解。對于（3），也可以轉(zhuǎn)化為對立事件求解。

解：記“甲射擊1 次，射中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊1次，射中目標(biāo)”為事件B。

（1）2人都射中目標(biāo)的概率為P（AB）=P（A）P（B）=0.72。

（2）“2人中恰有1人射中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲射中、乙未射中（事件AB發(fā)生），另一種是甲未射中、乙射中（事件AB發(fā)生）。由題意得事件AB 與AB 互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得所求概率為P （AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=0.26。

（3）（方法1）“2人中至少有1人射中目標(biāo)”包括“2人都射中”和“2人中有1人未射中”，這兩種情況，其概率為P =P （AB ）+[P（AB）+P（AB）]=0.72+0.26=0.98。

（方法2）“2人中至少有1人射中目標(biāo)”與“2人都未射中目標(biāo)”為對立事件，“2人都未射中目標(biāo)”的概率為P （AB）=P （A ）·P（B）=0.02，所以“2人中至少有1人射中目標(biāo)”的概率為P=1-P（AB）=0.98。

點(diǎn)評

解決獨(dú)立事件問題，關(guān)鍵在于先判斷出題目中相關(guān)事件的獨(dú)立性，再由事件的性質(zhì)對事件進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化，從而解決問題。

3.相互獨(dú)立的綜合問題

例3 某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲、乙、丙三人100m（互不影響）的成績在13s內(nèi)（稱為合格）的概率分別為2／5，3／4，1／3，現(xiàn)對這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m 的成績進(jìn)行一次檢測。

（1）求三人都合格的概率。

（2）求三人都不合格的概率。

（3）出現(xiàn)幾人合格的概率最大？

分析：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出相應(yīng)的事件，利用各事件之間的相互獨(dú)立性，結(jié)合條件，再利用概率公式進(jìn)行分析與求解。

解：記甲、乙、丙三人100m 的成績合格分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C 相互獨(dú)立，則P（A）=2／5，P（B）=3／4，P（C）=1／3。

設(shè)恰有k 人合格的概率為Pk （k=0，1，2，3）。

（1）三人都合格的概率P3=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=2／5×3／4×1／3=1／10。

（2）三人都不合格的概率P0=P（-A-B-C）=P（A）P（B）P（C）=3／5×1／4×2／3=1／10。

（3）恰有兩人合格的概率P2=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=2／5×3／4×2／3+2／5×1／4×1／3+3／5×3／4×1／3=23／60，恰有一人合格的概率P1=1-P0-P2-P3=5／12。

結(jié)合（1），（2）知P1 最大，所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大。

點(diǎn)評

涉及相互獨(dú)立事件的概率問題，關(guān)鍵是利用相互獨(dú)立事件的概率公式，確定相應(yīng)事件的概率。解題時(shí)，注意復(fù)合事件的合理分解與巧妙轉(zhuǎn)化。

作者單位：江蘇省邗江中等專業(yè)學(xué)校

（責(zé)任編輯 郭正華）