一個頻率分布直方圖問題的變式探究

基于新課標、新教材、新高考的“三新”背景，學(xué)好數(shù)學(xué)不能停留在“題海”上，這是新課標所倡導(dǎo)的方向。如果同學(xué)們對做過的題目沒有認真思考和深入探究，做再多的題也不會達到預(yù)期的效果。只有進一步的探究，才能得到理想的學(xué)習(xí)效果，由此可得到一些新的結(jié)論，深層次地進行知識的應(yīng)用。下面結(jié)合一個常見的頻率分布直方圖問題進行變式與應(yīng)用。

題目 有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖1所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12]內(nèi)的頻率為（ ）。

A.0.18 B.0.36

C.0.09 D.0.27

解：由頻率分布直方圖，可得[10，12]這個區(qū)間所對應(yīng)的頻率為1-（0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18。應(yīng)選A。

感悟：本題主要考查頻率分布直方圖及其相關(guān)的運算問題，同時考查運用圖表解決實際問題的水平和能力。讀懂頻率分布直方圖，根據(jù)圖中的信息得到對應(yīng)的數(shù)據(jù)是處理統(tǒng)計數(shù)據(jù)的關(guān)鍵。

變式1：有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖2所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12]上對應(yīng)的縱坐標（即對應(yīng)的頻率／組距的數(shù)值）為（ ）。

A.0.18 B.0.36

C.0.09 D.0.27

提示：由頻率分布直方圖，可得[10，12]這個區(qū)間所對應(yīng)的頻率為1- （0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，則其對應(yīng)的頻率／組距的數(shù)值為0.18／2 =0.09。應(yīng)選C。

感悟：顯然變式1 的設(shè)問比上面的例題更進一步，通過求解對應(yīng)的頻率／組距的數(shù)值，可以更好地理解與掌握頻率分布直方圖問題。

變式2：有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖3所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，12]內(nèi)的頻數(shù)為（ ）。

A.18 B.36

C.54 D.72

提示：由頻率分布直方圖，可得[10，12]這個區(qū)間所對應(yīng)的頻率為1- （0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，所以容量為200的樣本的數(shù)量在[10，12]內(nèi)的頻數(shù)為200×0.18=36。應(yīng)選B。

感悟：顯然變式2的設(shè)問比上面的例題更進一步，而與變式1的設(shè)問角度各不一樣，都是從不同的角度來探究頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)信息及其應(yīng)用。

變式3：有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖4所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為____。（每組取組中值為其平均數(shù)）

提示：由頻率分布直方圖，可得[10，12]這個區(qū)間所對應(yīng)的頻率為1- （0.02+0.05+0.15+0.19）×2=0.18，其對應(yīng)的頻率／組距的數(shù)值為0.18／2 =0.09。根據(jù)頻率分布直方圖，可知區(qū)間[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]所對應(yīng)的頻率組距的數(shù)值分別為0.02，0.05，0.15，0.19，0.09，其對應(yīng)的頻率分別為0.04，0.1，0.3，0.38，0.18，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3×0.04+5×0.1+7×0.3+9×0.38+11×0.18=8.12。

感悟：變式3從更深層次的問題入手，考查了頻率分布直方圖及統(tǒng)計中相關(guān)的數(shù)字特征，達到熟悉識圖，學(xué)以致用的目的。

變式4：有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖5所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為____。（保留到小數(shù)點后三位）

提示：由圖知前三個小矩形的面積為（0.02+0.05+0.15）×2=0.44lt;0.5，所以中位數(shù)的估計值為8+x。

由x ×0.19=0.5-0.44=0.06，解得x≈0.316，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為8+x≈8.316。

感悟：利用樣本數(shù)據(jù)中的中位數(shù)所對應(yīng)的頻率為50%，通過數(shù)值的分析與應(yīng)用，設(shè)置對應(yīng)的參數(shù)并建立方程進行分析與求解。

變式5：有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖6所示。根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，通過分層抽樣抽取一些樣本進行數(shù)據(jù)分析，如果在區(qū)間[2，4）內(nèi)抽取2個樣本，那么在區(qū)間[10，12]內(nèi)應(yīng)抽取的樣本個體數(shù)為____。

提示：由頻率分布直方圖，可知[10，12]這個區(qū)間所對應(yīng)的頻率為0.18，其對應(yīng)的頻率／組距的數(shù)值為0.18÷2=0.09。由頻率分布直方圖知在區(qū)間[2，4）內(nèi)對應(yīng)的頻率／組距的數(shù)值為0.02。由分層抽樣可知，如果在區(qū)間[2，4）內(nèi)抽取2個樣本，那么在區(qū)間[10，12]內(nèi)應(yīng)抽取的樣本個體數(shù)為9。

感悟：變式5從頻率分布直方圖與隨機抽樣交匯的知識入手，考查了頻率分布直方圖及分層抽樣，達到熟悉識圖，學(xué)以致用的目的，同時利用知識交匯與綜合，達到提升能力、拓展思維的目的。

作者單位：江蘇省新沂市高級中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）