總體百分位數的估計

總體百分位數的估計是新教材增加的內容，直觀上比較容易理解，它把一組按大小排列的數據分成相應百分比的兩部分，一組數據的第p 百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有（1-p）%的數據大于或等于這個值。幾種常用的百分位數：第25百分位數（又稱下四分位數或第一四分位數），第50百分位數（又稱中位數或第二四分位數），第75百分位數（又稱上四分位數或第三四分位數），第1百分位數，第5百分位數，第95百分位數，第99百分位數。

題型一：由原始數據求百分位數

計算一組原始數據（n 個數據）的第p 百分位數的一般步驟：第1步，從小到大排列原始數據;第2步，計算i=n×p%;第3步，若i 不是整數，大于i 的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j 項數據，若i 是整數，則第p百分位數為第i 項和第（i+1）項的數據的平均數。

例 1 “幸福指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間[0，10]內的一個數來表示，該數越接近10表示滿意程度越高。現隨機抽取6位小區居民，他們的“幸福指數”分別為5，6，7，8，9，5，則這組數據的50%分位數是（ ）。

A.7 B.7.5

C.8 D.6.5

解：該組數據從小到大排列為5，5，6，7，8，9。因為6×50%=3，所以這組數據的第50百分位數是第三位數與第四位數的平均值，即6+7／2 =6.5。應選D。

評注：本題主要考查百分位數的概念與應用。

例 2 數據2.2，3.6，3.7，4.1，4.4，4.5，x，6.1的第65百分位數是4.5，則實數x 的取值范圍是（ ）。

A.[4.5，+∞） B.[4.5，6.1）

C.（4.5，+∞） D .[4.5，6.1]

解：因為8×65% =5.2，所以這組數據的第65 百分位數是第6 項數據4.5，所以x≥4.5。應選A。

評注：本題容易受思維定式的影響，誤認為x 在4.5與6.1之間，從而錯選B或D。

例3 （多選題）某班級體溫檢測員對一周內甲、乙兩名同學的體溫進行了統計，其結果如圖1所示，則下列說法正確的是（ ）。

A.乙同學體溫的極差為0.4℃

B.乙同學的體溫比甲同學的體溫穩定

C.乙同學體溫的眾數為36.4℃，50%分位數與平均數相等

D.甲同學體溫的第70百分位數為36.5℃

解：由圖可知，乙同學體溫的極差為36.5-36.3=0.2 ℃，A 錯誤。從折線圖可以看出，乙同學的體溫比甲同學的體溫穩定，B 正確。乙同學的體溫從低到高依次為36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，可得眾數為36.4℃，平均數為36.4℃，而50%分位數即中位數是第4項36.4℃，所以數據的平均數和中位數相等，C 正確。甲同學的體溫從低到高依次為36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，由70%×7=4.9，可知數據的第70 百分位數為第5 項數據36.5℃，D正確。應選BCD。

評注：從折線圖中找出原始數據，可得數據的眾數、中位數、平均數、百分位數。

題型二：根據頻率分布直方圖、頻率分布表估計樣本數據的第p 百分位數

根據頻率分布表、頻率分布直方圖估算百分位數的一般步驟：第1步，確定第p 百分位數所在區間[a，b），即確定小于a 和小于b的數據所占的百分比分別為fa %，fb%，且滿足fa %

例4 某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位：min）。現隨機抽取了到訪該商場顧客的100輛車進行調查，將數據分成6組，即（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，整理得到頻率分布直方圖，如圖2所示。

（1）求樣本中停車時長在區間（400，500]上的頻率。

（2）為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務。若使該服務能夠惠及20%到訪顧客的車輛，請你根據頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議。

解：（1）設（400，500]上的頻率為x，由頻率分布直方圖中所有頻率之和為1，可得（0.0002+0.0014+0.0016+0.0031+0.0034）×100+x=1，所以x=0.03，所以樣本中停車時長在區間（400，500]上的頻率為0.03。

（2）確定免費停車標準能夠惠及20%到訪顧客的車輛，即求該數據的20% 分位數。因為（0，100]的頻率為0.14lt;20%，且（0，200]的頻率為0.45gt;20%，所以20%分位數位于（100，200]之間，所以100+ （0.2-0.14／0.45-0.14）×100≈119.4，即該組數據的20%分位數約為119.4。

若要能夠惠及20%到訪顧客的車輛，可確定免費停車時長為2h。

評注：由于頻率分布表和頻率分布直方圖中不能體現原始數據，在估算第p 百分位數時，根據累計頻率先確定第p 百分位數所在的區間，再把區間內的數據看成均勻分布，根據公式計算得出第p 百分位數的估計值。

例5 從某地區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現用電量都在50 至350kW·h之間，將數據分組后得到的頻率分布表，如表1所示，估計此地區月均用電量的第80百分位數是（ ）。

A.230 B.235

C.240 D.245

解：設該組數據的第80百分位數為x。

因為0.12+0.18+0.3lt;0.8，0.12+0.18+0.3+0.25gt;0.8，所以該組數據的第80百分位數位于區間[200，250）內，則0.12+0.18+0.3+（x-200／50） ×0.25=0.8，解得x=240。

應選C。

評注：本題考查百分位數的應用。解題時，先確定第80百分位數所在的區間，再從累計頻率角度建立等量關系，此解法與例4中的估算第p 百分位數的原理相同。

作者單位：1.河南省鄢陵縣第一高級中學

2.河南省光山二高

（責任編輯 郭正華）