幾何畫板巧助

[摘 要] 依托幾何畫板軟件，借鑒理化學科實驗，進行數學創新實驗，學生自主操作探究，思索現象背后原因，深刻認識問題本質，提升數學核心素養.

[關鍵詞] 幾何畫板;創新實驗;自主操作;核心素養

《加快推進教育現代化實施方案（2018—2022年）》指出：“促進信息技術與教育教學深度融合，支持學校充分利用信息技術開展人才培養模式和教學方法改革，逐步實現信息化教與學應用師生全覆蓋. ”教育信息化是當前教育發展的必然趨勢. 以信息技術軟件為載體，進行數學創新實驗，營造數學實驗教學新常態，應成為教育信息化的關鍵舉措. 下面筆者以“圓周角定理的探究與證明”為例，展示幾何畫板支持下的數學創新實驗如何開展，并結合本實驗芻談對創新實驗教學的思考.

實驗目的

（1）借助幾何畫板畫同弧所對的圓周角，發現圓周角的度數與它所對弧上的圓心角度數的關系、同弧或等弧所對的圓周角的關系，猜想出圓周角定理.

（2）通過從特殊到一般、再從一般到特殊的方法，證明圓周角定理，體會圓周角定理證明方法的獨特性，感受分類討論、轉化等數學思想.

（3）激發問題探究意識，發展數學推理能力，學會用數學的眼光觀察、用數學的思維思考以及用數學的語言表達，發展數學核心素養.

實驗準備

（1）實驗器材. 本實驗所用器材是臺式電腦（可在電腦教室，要求每生一臺）和幾何畫板軟件.

（2）實驗素材. 為確保實驗探究的高效性，保障實驗素材的一致性，教師提前利用幾何畫板軟件制作了3種不同情況下的圖形（如圖1，B，C是☉O上的兩點，連OB，OC）：①∠BOC=90°;②∠BOC=60°;③任意∠BOC. 3種圖形中點B和點C在保證數學關系不變的前提下可在☉O上自由運動，既能夠確?；∷谖恢玫娜我庑?，又便于驗證等弧所對圓周角的性質.

（3）實驗報告單. 類比物理、化學實驗報告單，教師設計了本實驗對應的報告單，具體如表1（記所對的一個圓周角為∠BAC，另一個圓周角為∠BA′C）.

實驗教學

1. 提出問題

教師介紹圓周角的概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角. 待學生理解圓周角的概念并能準確識別圓周角后，教師提出問題：圓周角的度數與它所對弧上的圓心角度數有什么關系？同弧或等弧所對的圓周角有什么關系？

2. 實驗探究

教師打開幾何畫板軟件，就本實驗中幾何畫板的操作步驟進行演示，使學生掌握幾何畫板的基本操作，學會幾何畫板的角度度量功能. 學生一邊觀察教師演示，一邊進行畫板操作，迅速掌握操作步驟. 接著，教師把提前制作好的3種圖形分享給學生，同時巡視指導學生開展實驗. 學生自主進行實驗，必要時進行小組合作，順利完成實驗操作，填寫實驗報告單（表1）.

學生借助幾何畫板中的角度度量功能分別度量出∠BOC，∠BAC和∠BA′C的度數. 教師隨機呈現3位學生實驗過程中的操作界面，由于樣本呈現的隨機性，所以選取的樣本具有代表性，能夠反映全體學生的實驗情況. 通過操作界面的對比，發現3個圖形都既有特殊形態又有一般形態，呈現出來的都既有靜態數據又有動態數據，具體如圖2、圖3和圖4.

學生結合自己的實驗操作，完成實驗報告單的填寫，得出如下兩個結論：（1）圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半;（2）同弧或等弧所對的圓周角相等.

3. 分析證明

教師啟發學生：如何證明“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”呢？

學生1：我用幾何畫板畫出了特殊的圓周角. 如圖5，當圓心O在∠BAC的邊上時，由OA=OC，∠BOC=∠BAC+∠OCA，可得∠BAC=∠BOC.

學生2：在剛才的實驗中，我畫出了一般化的圓周角. 如圖6，當圓心O在∠BAC的內部時，就出現了“飛鏢”模型，我想到了連AO并延長交☉O于點D. 易證∠BAO=∠BOD，∠CAO=∠COD，由∠BAC=∠BAO+∠CAO，∠BOC=∠BOD+∠COD，得出∠BAC=∠BOC.

學生3：在圖6（輔助線已作）的基礎上，我拖動點A使圓心O在∠BAC的外部. 如圖7，易證∠BAO=∠BOD，∠CAO=∠COD，因為∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BOC=∠BOD-∠COD，所以∠BAC=∠BOC.

學生4：我拖動點A使圓心O在∠BAC的外部. 如圖8，易證∠BAO=∠BOD，∠CAO=∠COD，由∠BAC=∠CAO-∠BAO，∠BOC=∠COD-∠BOD，得出∠BAC=∠BOC.

教師追問：如何證明“同弧或等弧所對的圓周角相等”呢？

學生能夠根據“同弧或等弧所對的圓心角相等”，得出“同弧或等弧所對的圓周角相等”.

教師告知學生先前探究和證明的兩個結論就是圓周角定理的內容，并把圓周角定理板書在黑板上，然后畫出相應圖形，結合學生的回答形成該定理符號語言表述的板書.

4. 檢驗收獲

教師設置開放性問題如下：如圖9，A，B，C，D，E，F是☉O上的點，=，∠BAC=35°，你能求出哪些角的度數？請說明理由.

學生積極分享想法，求出∠BOC，∠BFC和∠CED的度數，并利用圓周角定理說明理由.

最后，教師指導學生就本實驗進行反思與交流，引導學生描述感受、表達收獲、總結發現.

實驗反思

1. 運用信息技術手段，開發創新實驗素材

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構. ”借助幾何畫板等軟件，開發創新實驗素材，是開展創新實驗的重要手段. 本實驗中，教師利用幾何畫板軟件制作了3種圖形，為學生直接開展實驗搭建了平臺，學生不參與復雜素材的開發過程，只參與利用素材探究問題的實驗過程，這就使得數學實驗得以高效開展.

2. 借鑒理化實驗過程，豐富實驗探究內涵

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“設立跨學科主題學習活動，加強學科間相互關聯，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求. ”理化學科實驗內容較多，而且相對比較成熟，而數學實驗還處在探索階段，有必要借鑒學科關聯度較高的理化實驗. 本實驗中，教師為每位學生配備了實驗器材、實驗素材和實驗報告單，使數學實驗具備了較成熟的硬性條件，這樣的實驗探究是有豐富內涵的真探究，達到了預期的實驗目的.

3. 強調學生切身體驗，發展數學核心素養

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，數學活動經驗需要在“做”的過程和思考的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的. 眼睛能觀察到的數學、動手能操作到的數學和用心能感受到的數學，是學生能切身體驗到的數學，這樣的數學學習是最具成效的. 本實驗中，學生親身參與“做”數學實驗，發現了圓周角定理，在思考中證明了圓周角定理，認識到實驗現象背后的問題本質，積累了數學活動經驗，發展了數學核心素養.