關于一次函數中k值妙用的探究與思考

[摘 要] 一次函數的k值是研究其圖象的重要參數，在解題中有著一定的妙用，可以極大地簡化解題過程，降低思維難度. 文章從三大視角進行k值妙用探究，結合實例探索構建思路，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 一次函數k值;特殊角;幾何變換

一次函數y=kx+b（k≠0）中的k是其重要的特征參數，影響著直線的變化趨勢，是研究直線特性的重要參數. 實際上我們可以妙用一次函數的k值解題，下面結合實例具體探究，并總結方法思路.

關于k值妙用的探究

對于一次函數k值妙用的探究，需要關注兩點：一是關注應用內涵的解析，探索應用策略;二是關注k值應用的示例探究，精選問題，探索應用過程. k值妙用主要有三種類型，包括與特殊角的關系、與幾何運動規律的結合、隱含k值關聯，下面分類探究.

1. 應用k值探索特殊角

一次函數的k值與特殊角之間有著一定的關聯，把握兩者的關系，可以簡化解析過程. 具體關系如下：當k=±1時，直線與x軸的夾角為45°;當k=±時，直線與x軸的夾角為30°;當k=±時，直線與x軸的夾角為60°.

例1 圖1所示為一次函數y=x+2的圖象，與x軸、y軸分別交于點A和點B，將直線AB繞點B順時針旋轉30°，交x軸于點C，則線段AC長為______.

分析：本題目中給定了一次函數的解析式，對直線AB進行旋轉，求解相關線段長. 已知一次函數解析式，且k=1，解析時可以妙用其與特殊角的關系，即當k=1時直線與x軸的夾角為45°，從而確定幾何角的大小.

解析：已知一次函數y=x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，由一次函數的k=1，可得∠ABO=45°，△OAB為等腰直角三角形. 結合一次函數解析式可得點A（-2，0），B（0，2）. 在Rt△OAB中，利用勾股定理可得AB==4.

過點C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1的虛線所示，由于∠CAD=∠OAB=45°，則△ACD為等腰直角三角形，可設CD=AD=x，則AC==x. 由旋轉的性質可知∠ABC=30°，BC=2CD=2x，所以BD==x. 又可得BD=AB+AD=4+x，所以4+x=x，可解得x=2+2，所以AC=x=2+2.

評析 上述解析線段長問題時，用到了一次函數k值與特殊角的關系，即直接根據k=1求出∠ABO=45°，這是解題的關鍵.

2. 應用k值與幾何運動規律的關系

幾何運動問題在初中數學中十分常見，涉及平移、翻折、旋轉，實際上一次函數的k值與幾何運動之間存在一定的規律，可以利用其規律直接推導. 如直線平移過程中，一次函數的k值不變;直線關于坐標軸或平行于坐標軸的直線翻折時，翻折前后的k值互為相反數. 而不與x軸平行或垂直的直線經90°旋轉，前后兩直線的k值乘積為-1.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標系中，已知點P（2，2），點C在y軸正半軸上，連接PC，將線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于點A，且BD=4AD，直線CD與直線OP交于點Q，試回答下列問題.

（1）求解點Q的坐標;

（2）求解直線PC和PD的解析式.

分析：本題目為與幾何綜合題，涉及了幾何直線旋轉. 第（1）問求解點Q的坐標，需要進行幾何分析;第（2）問則求解兩直線的解析式，可以把握兩者解析式k值的關系，即乘積為-1，簡化解題過程.

解析：（1）當點D在直線OP的下方時，過點P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F，如圖3所示.

已知AB⊥OB，則∠OBF=∠EOB=∠FEO=90°，可知四邊形EOBF是矩形. 已知點P（2，2），則OE=PE=BF=2. 因為∠CPD=90°，則∠CPE+∠DPF=90°，∠ECP+∠CPE=90°，可推得∠ECP=∠DPF.

在△CPE和△PDF中，有∠PEC=∠PFD，

∠PCE=∠DPF，

PC=PD，可證△CPE≌△PDF（AAS），所以DF=PE=2，則BD=BF+DF=4. 因為BD=4AD，可得AD=1，AB=OB=5，則CE=PF=3，可求得D（5，4），C（0，5）. 利用待定系數法可求得直線CD的解析式為y=-x+5，從而可得點Q

，.

當點D在直線OP的上方時，參考上述方法，可得C（0，3），D（3，4），利用待定系數法可求得直線CD的解析式為y=x+3，從而可得點Q

，.

（2）由第（1）問結論可知，當點D在直線OP的下方時，有D（5，4），C（0，5）. 又知點P（2，2），利用待定系數法求得其解析式為y=-x+5. 由于直線PC與PD垂直，則有k=，直線PD的解析式為y=x+.

當點D在直線OP的上方時，有C（0，3），D（3，4），結合點P坐標，利用待定系數法求得其解析式為y= -x+3. 直線PC與PD垂直，則可推知k=2，直線PD的解析式為y=2x-2.

評析 求解兩線的解析式時，充分利用了垂直直線之間k值的關系，簡化了解題過程. 對于與x軸平行的直線，此時k=0，旋轉90°后，恰好與y軸平行，此時不存在k，這一點需要注意.

3. 應用k值的隱含關系

在一次函數中還存在k值的隱含關系，如與正切值的關系，即k=tanθ，θ表示直線與x軸的夾角. 而在坡度問題中，k與坡度角之間也存在一定的聯系. 探究解析時，可充分利用其隱含關系，構建點、線、角與k值的聯系.

例3 已知點A（4m，3m），且m>0，點B為x軸正半軸上一點，點P為∠AOB內一點，OP=5，則△PAB周長的最小值為______.

分析：本題目求解三角形周長的最小值，總體上需要分兩步進行：第一步，探究解析，確定最值情形;第二步，求解線段長，確定周長最值. 而求解線段長時，可以充分利用一次函數k值的隱含關系，直接轉化推導.

解析：如圖4所示，作點P關于OA，OB的對稱點分別為點E、點F，連接EF，過點O作OH⊥EF于H.

由題意可知點P關于OA，OB的對稱點分別為點E、點F，所以OE=OP=OF=5，∠EOA=∠POA，∠FOB=∠POB，AP=AE，BP=BF. 因為△PAB周長=AP+BP+AB=AE+BF+AB，分析可知當點A、點B、點E、點F共線時，AE+BF+AB的值最小，即最小值為EF.

因為∠EOA=∠POA，∠FOB=∠POB，所以∠EOF=2∠AOB. 由于OE=OF=5，OH⊥EF，則EH=FH，∠EOH=∠EOF=∠AOB，由于點A（4m，3m），則直線OA的解析式為y=x，其中k=，所以tan∠AOB=k=. 進而可知tan∠EOH==，且OE=5，所以EH=4，EF=8，即△PAB周長的最小值為8.

評析 上述求解三角形周長的最小值，實則為“軸對稱—最短路徑問題”. 解析的關鍵有兩點：一是構建最值模型，確定最值情形;二是轉化求解其中的線段長，解析時需要利用一次函數k值的隱含關系，直接推導角度的正切值，求得線段長.

關于解題的教學思考

上述結合實例深入探究了一次函數k值的妙用，分別從特殊角、幾何變換、隱含關系三大視角進行剖析，總結了相應的知識規律，形成了轉化應用的具體思路. 下面筆者將結合教學實踐進行反思，提出相應的教學建議.

1. 強化定義公式，構建知識關聯

上述圍繞一次函數的k值開展應用探究，與幾何特殊角、正切值、動態幾何構建了知識關聯，形成了相應的轉化思路. 教師可以分三個階段教學：階段一，概念定義公式教學，指導學生理解k值的概念、幾何意義，以及求解的具體公式;階段二，探索與k值相聯系的知識，如由直線與x軸的特殊角直接求k值、相關角度的正切值;階段三，引導學生進行知識關系梳理，構建完整的知識體系，形成關聯網絡. 階段性教學中教師需要立足教材的知識定義，引導學生開展探究分析，領悟定義本質，掌握知識要點.

2. 注重應用探究，梳理構建思路

對于一次函數k值的妙用探究，需要圍繞其知識關聯從上述三大Fn5I6hVkXJV6KNZc1UzLBw==視角進行，即與特殊角的關系、與動態幾何的關聯及常用的隱含關系. 而在應用探究中需要注意三點：一是注意應用的知識解讀，分析知識關聯，形成常規的解題策略;二是注意結合實例引導探究，探究中可分為“解題分析”與“過程詳解”兩個階段，引導學生分析解題方法，探索k值妙用，呈現構建過程，掌握構建思路;三是注意解后反思總結，總結應用過程、轉化思路、構建策略，教師可適度點撥，引導學生思考應用轉化的思路.

3. 合理滲透思想，提升綜合素養

一次函數k值妙用的探究過程中涉及了眾多的思想方法，以上述探究問題為例，其中隱含了構造、化歸轉化、數形結合、分類討論思想. 教師要注意開展思想方法教學，滲透數學思想，于潛移默化中提升學生的綜合素養. 對此，教師可分為三個階段教學：一是思想方法定義教學，指導學生理解其思想內涵;二是解題應用滲透教學，指導學生應用數學思想解題，掌握構建思路;三是開展數學思想解題反思，思考其應用價值，同時適度拓展，提升學生思維的靈活性. 思想方法能力提升是一個長期過程，教師應注意合理設計教學環節，引導學生理解方法精髓，讓學生逐步掌握其構建策略.

寫在最后

上述圍繞一次函數k值的妙用從三個方面進行解題探索，形成了k值轉化應用的方法策略. 探究教學中，教師要注意精選問題類型，突出轉化構建過程，引導學生分析思路. 歸納、總結，讓學生充分理解知識.