關(guān)于幾何中多情況問題的討論探究

[摘 要] 多情況討論在幾何問題中十分常見，探究解析時學(xué)生先需要確定問題類型，再結(jié)合對應(yīng)方法分別構(gòu)建模型求解. 學(xué)生具體求解時可采用數(shù)形結(jié)合的方法，提取其中的特殊圖形和特殊關(guān)系，借助幾何定理轉(zhuǎn)化求解. 研究者通過開展問題綜述，并結(jié)合實例分別探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 多情況;分類討論;等腰三角形;直角三角形

問題綜述

1. 問題類型

多情況討論問題在初中數(shù)學(xué)中十分常見，也常作為中考壓軸題綜合考查學(xué)生的解析思維. 多情況討論問題的類型較為多樣，分析對比主要可以細分為四種類型：

①關(guān)于等腰三角形存在性問題，主要討論三角形腰的多情況;

②關(guān)于直角三角形存在性問題，主要討論直角的多情況;

③關(guān)于特殊點、特殊位置的問題，主要討論點位置的多情況;

④關(guān)于圖形線段的問題，主要討論線段位置的多情況.

2. 解題策略

對于多情況討論問題，解題時學(xué)生需要對其中的幾何要素進行解析討論，必要時可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合問題條件分別構(gòu)建模型，利用模型來轉(zhuǎn)化分析. 涉及點、線、圖形變換等情形不確定時，學(xué)生可以采用如下分析思路.

點的直線位置不確定時，若點在AB上時，則可分為三種情形：①點在線段AB上;②點在線段AB的延長線上;③點在線段BA的延長線上.

點在三角形、四邊形、拋物線上的位置不確定時，則需要對其在各邊、各線段上的位置進行分別討論，如點在四邊形的對角線上時，則需要討論兩種情況;如點在拋物線上時，則需要對點在對稱軸的左、右兩側(cè)進行討論.

線段的位置不確定時，則需要結(jié)合線段的屬性來分別討論. 若線段為三角形的高，則需要討論高在三角形的內(nèi)部和三角形的外部兩種情形;若涉及兩條線段且為圓中的弦，則需要討論三種情形：①一條弦經(jīng)過圓心;②兩條弦在圓心的同側(cè);③兩條弦在圓心的異側(cè).

涉及圖形變換方向不確定時，則需要對其方向進行分情況討論. 如圖形平移方向的討論、圖形旋轉(zhuǎn)方向的討論.

實例探究

上述對幾何中的多情況問題的類型和解題策略進行了歸納總結(jié). 教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生進行實例探究，構(gòu)建解題思路，下面結(jié)合實例解析過程，總結(jié)思考.

1. 等腰三角形多情況討論

例1 如圖1所示，在四邊形紙片ABCD中，AB=12，CD=2，AD=BC=6，∠A=∠B. 現(xiàn)將紙片沿EF折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在AB邊上，連接A′C. 若△A′BC恰好是以A′C為腰的等腰三角形，則AE的長為______.

分析：上述為等腰三角形多情況問題，雖然設(shè)定了A′C為腰，但依然存在兩種情況：A′C=BC和A′C=A′B. 而在具體探究中，學(xué)生需要提取其中的特殊圖形，討論圖形的具體情況. 后續(xù)針對等腰三角形的腰構(gòu)建模型，分別討論.

解析：過點C作CM⊥AB，設(shè)垂足為點M，再過點D作DN⊥AB，設(shè)垂足為點N.

因為AD=BC=6，∠A=∠B，∠DNA=∠CMB=90°，可證△ADN≌△BCM（AAS），由全等性質(zhì)可得AN=BM，DN=CM. 又知DN∥CM，DN⊥AB，可證四邊形DCMN是矩形，所以CD=MN=2，則AN=BM==5. 由題意可知將紙片沿著EF折疊，使得點A的對應(yīng)點A′落在AB邊上，可得AE=A′E.

①若A′C=BC，且CM⊥AB，如圖2（1）所示，則BM=A′M=5，所以AA′=AB-A′B=12-10=2，可得AE=1.

②若A′C=A′B，過點A′作A′H⊥BC，如圖2（2）所示. 由勾股定理可知CM2=BC2-BM2=A′C2-A′M2，代入線段長可求得A′B=，所以AA′=AB-A′B=，則AE=.

綜上可知，AE的長為1或者.

評析 題目設(shè)定A′C為腰，故有兩種情形，后續(xù)直接構(gòu)建模型討論即可. 解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建特殊圖形矩形，推導(dǎo)出AN的長. 對等腰三角形的腰不確定問題，學(xué)生需要關(guān)注其中的設(shè)定條件，結(jié)合設(shè)定條件再確定不同的情形.

2. 直角三角形多情況討論

例2 如圖3所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是對角線BD上一動點（不與點B、點D重合），將矩形沿過點E的直線MN折疊，使得點A、點B的對應(yīng)點G、點F分別在直線AD與BC上，當(dāng)△DEF為直角三角形時，CN的長為______.

分析：本題目為直角三角形多情況問題，涉及了矩形折疊，學(xué)生需要結(jié)合折疊特性，根據(jù)直角三角形特性來確定可能存在的情形. 由于點D為矩形的頂點，故△DEF為直角三角形時有兩種情況：①∠DFE=90°;②∠EDF=90°. 后續(xù)構(gòu)建模型提取其中的特殊圖形來求解.

解析：當(dāng)△DEF為直角三角形時，有如下兩種情形.

①當(dāng)∠DFE=90°時，△DEF為直角三角形，如圖4（1）所示. 由于∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，所以∠CDF=∠EFN. 分析折疊過程，可得EF=EB，所以∠EFN=∠EBN，則∠CDF=∠CBD. 又因為∠DCF=∠BCD=90°，從而可證△DCF∽△BCD，由三角形相似性質(zhì)可得=，即=，可求得CF=，所以FN=，可得CN=CF+NF=.

②當(dāng)∠EDF=90°時，△DEF為直角三角形，如圖4（2）所示. 由于∠CDF+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°，則∠CDF=∠CBD. 又知∠DCF=∠BCD=90°，可證△DCF∽△BCD，由三角形相似性質(zhì)可得=，即=，可求得CF=，所以NF=，可得CN=NF-CF=.

綜上可知，CN的長為或者.

評析 上述在解析直角三角形時，學(xué)生注意到點D為矩形的頂點，故不能以該點為直角頂點，從而將其細分為兩種直角情形. 具體求解時，關(guān)鍵一步為提取其中的相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)來構(gòu)建線段長. 對于直角三角形的多情況討論問題，需注意根據(jù)圖形特征來確定可能存在的情形.

3. 特殊點、特殊位置多情況討論

例3 如圖5所示，在等邊三角形ABC中，AB=4 cm，點M為邊BC的中點，點N為邊AB上的任意一點（不與點A、點B重合）. 若點B關(guān)于直線MN的對稱點B′恰好落在等邊△ABC的邊上，則BN的長為______cm.

分析：本題目為關(guān)于特殊點、特殊位置的多情況討論，點B關(guān)于直線MN的對稱點B′恰好落在等邊三角形ABC的邊上，但其位置不確定，可有兩種情形：①落在△ABC的邊AB上，②落在△ABC的邊AC上. 后續(xù)可分別構(gòu)建模型，提取其中的特殊圖形來求解.

解析：由于對稱點B′恰好落在等邊三角形ABC的邊上，根據(jù)圖形特征可知有如下兩種情況：

①當(dāng)點B關(guān)于直線MN的對稱點B′恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，則MN⊥AB，BN=B′N. 由于△ABC是等邊三角形，則AB=AC=BC，∠ABC=60°. 由于點M為邊BC的中點，所以BM=BC=AB=2，則BN=BM=1.

②當(dāng)點B關(guān)于直線MN的對稱點B′恰好落在等邊三角形ABC的邊AC上時，則MN⊥BB′，四邊形BMB′N是菱形. 由于∠ABC=60°，點M為邊BC的中點，所以BN=BM=BC=AB=2.

綜上可知，BN的長為1 cm或者2 cm.

評析 上述討論對稱點的位置時分為了兩種情況，其特殊之處為點在三角形的邊上，故可直接確定點所在邊的情形. 后續(xù)探究解析時學(xué)生充分利用等邊三角形、軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合菱形的性質(zhì)來分析. 對于特殊點、特殊位置的多情況問題，學(xué)生要結(jié)合問題情形來確定具體的位置，盡量簡化討論情形，后續(xù)再構(gòu)建模型.

4. 圖形中線段的多情況討論

例4 如圖7所示，△ABC是一張等腰三角形紙片，且AB=AC=6，BC=4，將△ABC沿著某條過一個頂點的直線折疊，打開后再沿著所得到的折痕剪開，若剪開后的兩個三角形能夠拼成一個與原△ABC不全等的新三角形，則折痕的長為______.

分析：本題目分析剪切拼接后的三角形與原三角形不全等，進而求解線段長，實質(zhì)上是關(guān)于線段的多情形討論. 因折痕線段要過等腰三角形ABC的一個頂點，顯然有兩種情形：①過BC上的高;②過AC邊上的中線.

解析：由于△ABC為等腰三角形，故折疊拼接有如下兩種情形.

①過點A作AD⊥BC，設(shè)垂足為點D，如圖8（1），此時沿著AD剪開后的兩個三角形可以拼成一個與原△ABC不全等的新三角形.

由于AB=AC，則BD=CD=BC=2，在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD==4.

②作AC上的中線BE，過點B作BH⊥AC，設(shè)垂足為點H，如圖8（2），此時沿BE剪開后的兩個三角形能夠拼成一個與原△ABC不全等的新三角形.

設(shè)CH=x，則AH=6-x，由勾股定理可得BC2-CH2=AB2-AH2，代入線段可得42-x2=62-（6-x）2，可解得x=，所以BH=，可得EH=3-CH=，則由勾股定理可得BE==.

綜上可知，折痕的長為4或.

評析 上述探究折疊拼接中的折痕長時，充分把握等腰三角形的特點，將其分為了兩種情形：一是BC上的垂線;二是AC上的中線. 探究關(guān)于線段特殊位置的多情況問題，要充分利用其中的幾何特性，提取模型，借助勾股定理、中線性質(zhì)來推導(dǎo)求解線段長.

思考建議

幾何中的多情況討論是其中較為特殊的問題，學(xué)生在求解時很容易由于審題不嚴謹造成漏解或錯解. 因此在探究教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生審題讀題，把握題干的關(guān)鍵詞，確定是否存在多情況，后續(xù)再根據(jù)總結(jié)的知識方法破解. 筆者提出以下幾點建議：

一是歸納常見的多情況問題，從點、線、角、圖形等視角進行總結(jié)，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注等腰三角形腰的情形、直角三角形的直角頂點情形.

二是總結(jié)常見問題的破解方法，造成問題多情況的因素很多，但破題時總體上還是要落實到分析幾何的點、線、圖形中. 教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生進行方法總結(jié)，如總結(jié)點在直線上的位置情形、線段位置不確定的討論方法等.

三是滲透數(shù)形結(jié)合的分析方法，指導(dǎo)學(xué)生掌握該方法的構(gòu)建思路，根據(jù)條件分別構(gòu)建模型，再結(jié)合模型特征進行分析推導(dǎo). 分析模型時注意提取其中的特殊圖形，充分利用特殊圖形和特殊關(guān)系來推導(dǎo)求解.