具有雙線性發(fā)生率的SEIR模型的Hopf分支分析

摘 要：討論具有雙線性發(fā)生率的SEIR模型的Hopf分支，首先通過(guò)計(jì)算得到模型的基本再生數(shù)和疾病持續(xù)存在的地方病平衡點(diǎn)；將系統(tǒng)線性化，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，利用中心流形定理和規(guī)范型證明在地方病平衡點(diǎn)處存在生Hopf分支，并得到相應(yīng)Hopf分支產(chǎn)生的充分條件；當(dāng)?shù)谝籐yapunov系數(shù)時(shí)，在地方病平衡點(diǎn)附近有超臨界的Hopf分支產(chǎn)生。

關(guān)鍵詞：基本再生數(shù) Hopf分支 中心流形定理 雙線性發(fā)生率

中圖分類號(hào)：O175.13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Analysis of the Hopf Bifurcation of the SEIR Model with the Bilinear Incidence Rate

DOU Zhongli

Chongqing Finance and Economics College， Chongqing， 401320 China

Abstract： This paper discusses the Hopf bifurcation of the SEIR model with the bilinear incidence rate. Firstly， it obtains the basic reproductive number of the model and an endemic equilibrium point of disease persistence by calculating. Then， it linearizes the system， selects appropriate parameters， proves the existence of the Hopf bifurcation at the endemic equilibrium point by the central manifold theorem and the normal form， and obtains sufficient conditions for the generation of the corresponding Hopf bifurcation. When the first Lyapunov coefficient ， there is the supercritical Hopf bifurcation near the endemic equilibrium point.

Key Words： Basic reproductive number; Hopf bifurcation; Central manifold theorem; Bilinear incidence rate

傳染病嚴(yán)重威脅著人類的生存與健康，如2019年爆發(fā)的新冠肺炎不僅影響人類的生命健康安全而且對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)造成不可估計(jì)的損失，因此建立傳染病模型分析傳染病的發(fā)病機(jī)理和流行規(guī)律已成為研究重要問(wèn)題[1]。周會(huì)娟、蘭曼[2]從總?cè)丝谧兓慕嵌龋芯烤哂袠?biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型，討論模型無(wú)病和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性；王鑫雨[3]、梁桂珍和郝林莉等人[4]分別討論種群在染病期和潛伏期均具有傳染性的模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。上述文獻(xiàn)是在標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和非線性發(fā)生率下討論模型的穩(wěn)定性，對(duì)雙線性發(fā)生率的模型穩(wěn)定性很少討論，并且大多數(shù)文獻(xiàn)都只是討論模型在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，很少討論模型的Hopf分支問(wèn)題。本文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，討論具有雙線性發(fā)生率且在潛伏期和傳染期均傳染的傳染病模型

式（1）中：，，和分別表示時(shí)刻易感者、潛伏者、染病者和恢復(fù)者；表示總量；表示雙線性傳染率；表示自然死亡率；表示轉(zhuǎn)化率；表示潛伏者的恢復(fù)率；表示恢復(fù)率；表示因病死亡率；參數(shù)為非負(fù)。由于式（1）中前三個(gè)方程都不含恢復(fù)者，本文僅研究由前三個(gè)方程所構(gòu)成的傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

我們僅在式（2）的正向不變集內(nèi)，本文主要討論地方病平衡點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

1 Hopf分支

計(jì)算得到模型的基本再生數(shù)為，令，則式（2）可以轉(zhuǎn)換為：

通過(guò)式（3）計(jì)算，當(dāng)時(shí)，可得到疾病持續(xù)存在的地方病平衡點(diǎn)，

其中

對(duì)式（3）做如下變換

則式（3）可化為

其中，

的各分量如下：

若矩陣A的特征方程有一對(duì)純虛根，假設(shè)為特征方程的一個(gè)復(fù)根，代入特征方程可得到

對(duì)式（5）兩邊關(guān)于求導(dǎo)，利用，可得到

若，則滿足Hopf分支產(chǎn)生的橫截性條件。

取滿足條件的，使得，可得

為了必要的標(biāo)準(zhǔn)化，可取

其中

其中

式（5）的非線性項(xiàng)以及參考ARENAS ， González等人[5]的觀點(diǎn)，取

和的對(duì)稱多重線性向量函數(shù)

通過(guò)計(jì)算可得

其中

其中

計(jì)算第一Lyapunov系數(shù)可得

由于帶有參數(shù)具體表達(dá)式太長(zhǎng)，不易討論其正負(fù)。但是當(dāng)時(shí)，在地方病平衡點(diǎn)附近有超臨界的hopf分支產(chǎn)生，在地方病平衡點(diǎn)附近存在穩(wěn)定的極限環(huán)。

2 結(jié)論

由上述結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，染病者的數(shù)量將會(huì)趨于穩(wěn)定，傳染病不會(huì)消失而形成地方病；通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，利用中心流形定理證明在地方病平衡點(diǎn)處的產(chǎn)生Hopf分支，當(dāng)時(shí)，在地方病平衡點(diǎn)附近有超臨界的Hopf分支產(chǎn)生，在地方病平衡點(diǎn)附近存在穩(wěn)定的極限環(huán)。本文構(gòu)建的雙線性發(fā)生率的SEIR傳染病模型不僅豐富傳染病動(dòng)力學(xué)的研究方法，而且也為實(shí)現(xiàn)傳染病的預(yù)防和控制提供理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 馬知恩，周義倉(cāng)，李承治.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

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