注重知識的產生過程：培養學生分析問題和解決問題的能力

摘要：本文以數列的極限為例，簡單敘述了極限概念的產生過程，并借助數學家們探索極限理論的過程進行教學設計，結合人的認知規律，以問題驅動的方式再現知識產生的過程，來培養學生分析問題和解決問題的能力，體現課堂教學中融入知識產生過程的重要性.

關鍵詞：數列極限；高等數學；知識產生過程

文獻標識碼：A

極限理論是高等數學的核心概念，廣泛應用于高等數學及其他科學領域。注重極限理論的知識產生過程，能夠幫助學生深入理解數學概念的演變與邏輯推理，促進批判性思維與發現問題、問題解決能力的培養［1］.

1極限理論發展過程

1.1我國古代極限思想萌芽

無線分割下的極限思想是微積分思想起源的關鍵［2］.我國有文獻記載的最早的無限分割思想是公元前3世紀以前，《莊子·天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.我國數學家劉徽，基于（莊子）的無限分割思想，在《九章算術》的注文中，提出了《割圓術》的方法.劉徽用割圓術求出了內接正3072邊形的面積，導出圓周率為3.1416［3］.南北朝時期的天文學家、數學家祖沖之又用劉徽的割圓術計算出了圓內接正24576多邊形的面積，把圓周率的計算精確到了小數點后7位［4］.祖沖之的兒子祖暅同樣遵循劉徽的方法推導出了球體的體積［4］.

1.2西方極限理論發展進程

1.2.1?;極限概念的萌芽

公元前5世紀，古希臘安提豐提出了一種與割圓術類似的方法，即通過不斷加倍邊數的方式，用圓內接正多邊形的面積來逼近圓的面積.公元前408—公元前355年歐多克斯提出了一種觀點，即對于兩個不同的量，如果從較大的量中減去大于其半的量，再從所余量中減去大于其半的量，并不斷重復這一步驟，那么所剩下的量將會比原來較小的量要小，重大發展了安提豐用圓內接正多邊形面積來逼近圓的面積這一方法.這種方法在17世紀時被人稱為窮竭法，是近代極限理論的雛形，標志著極限概念的輪廓已在古希臘問世［3］.阿基米德在《圓的度量》中應用窮竭法證明了球的表面積和體積相關的重要結論，例如在《論球與圓柱》中記載了，阿基米德用極限思想推導出了球體積為半徑立方和圓周率之積的34［4］.

1.2.2極限概念的發展

窮竭法在應用時計算十分煩瑣，荷蘭的西蒙斯杰文大膽舍棄了窮竭法的形式歸謬法，斷言“如果兩個量的差在連續細分到一定程度后能小于任何已知的量，則二者必無差異”，這一做法使得算法變得簡單易行，但邏輯上不夠嚴密.隨著解析幾何這門嶄新數學分支的發展，西方學者開始用算術的方法研究幾何問題.基于算術法的基礎，英國數學家瓦里斯首次引入了變量極限的概念，他認為，“變量的極限可以逐漸接近一個常數，以至于它們的差異小于任何給定的量”.

1.2.3極限概念的逐步形成

牛頓應用無窮小的增量來計算留數的過程體現了極限過程，但當時人們還沒明確無窮小的本質，使得牛頓的做法產生了邏輯上的混亂，引發了數學的第二次危機.自從瓦里斯提出了使用變量的視角來定義極限后，學者們逐漸對無窮小的本質有了更明確的認識.萊昂哈德·歐拉（1707—1783）認為，“無限小”或者“消逝的量”僅僅是趨近于零的量；而法國達朗貝爾（1717—1783）指出，無限大和無限小分別表示無限制地增大和無限制地減小［3］.達朗貝爾還認為微分學的基礎應建立在極限概念上.

1.2.4極限概念的確立

捷克斯洛伐克數學家波爾查諾，首次使用極限的概念來定義函數在某一區間上的連續性［3］.柯西在他的《分析教程》中，擺脫了幾何圖形和幾何量的限制，并給出了極限的定義：“如果代表某個變量的一系列數值趨向于某個固定的數值，那么這個固定值就被稱為這個數值系列的極限”［3］，即我們現在定義極限的描述性定義.在柯西、戴德金解決了實數理論之后，魏爾斯特拉斯意識到，柯西采用直觀運動來描述極限概念，并以此作為微積分的基礎，不是十分嚴謹。因此，他提出一種新的動態觀點來定義極限，取代原有變量極限的靜態觀點.具體來說，他將柯西對極限的定性描述精確化為定量描述，以呈現極限的本質含義，即“εδ”語言，由此，極限概念的嚴格化最終完成［3］.

2高等數學教學中融入知識產生過程的案例

下面簡單展示對于數列的描述性定義和精確定義教學過程中應用知識產生的過程設計的教學過程.

2.1數列極限的描述性定義

2.1.1問題引入，注重知識的產生過程

問題1：戰國時代哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》中引用過一句話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，請從數量關系上來理解這句話？

設計意圖：遵循直觀性原則，讓學生初步嘗試從動態變化的角度來觀察和分析問題，并認識到研究數列變化趨勢的必要性，為后續講解數列的描述性定義奠定基礎.

問題2：在不借助于圓的面積公式的前提條件下，思考如何計算半徑為1的圓的面積？

設計意圖：極限思想方法是在探求某些實際問題的精確解答的過程中產生的［5］.通過采取問題重現的方式教學，可以讓學生更準確地體會極限思想，同時在思考問題的過程中訓練學生分析問題的能力和解決問題的能力，讓學生體會數學的轉化思想和極限這一新思想的產生過程.

問題3：若艾賓浩斯遺忘規律滿足關系式y=et［0.0123·lnt］-0.0639，請問經過多長時間，人們會全部遺忘［6］？

設計意圖：將高等數學和其他學科構建聯系，激發學生的學習興趣的同時，也讓學生體會高等數學的重要性，引起學生對本節課學習的重視.

2.1.2基于認知，注重概念的形成過程

問題4：問題1和問題2在數量變化趨勢上有什么共同的特征？

設計意圖：采用“由具體到抽象，由特殊到一般”的教學方法，引入數列極限的描述性定義.

數列極限的描述性定義［7］：對于數列an，若當n無限增大時an能無限接近某一個常數a，則稱此數列an為收斂數列，則稱常數a稱為數列an的極限，否則，稱數列an是發散的.

2.2數列極限的精確定義

2.2.1實例分析，注重知識的產生過程

問題5：（1）當n無限增大時，數列（1+1n）n是不是無限接近于某個確定的常數呢？

（2）當n無限增大時，數列nn+1是不是無限接近于常數1.0001的呢［8］？

設計意圖：（1）讓學生明白，應用數列極限的描述性定義來確定復雜數列如（1+1n）n的極限是否存在是比較困難的，所以需要定義數列極限的精確定義.同時，學生主動思考這兩個問題的過程中也同步訓練了學生應用科學的思維方式來分析問題，有助于培養學生養成科學的思維方式和嚴密的邏輯思維，提高學生分析問題和解決問題的能力.

（2）學生通過觀察數列nn+1可以觀察出該數列的極限是1，通過讓學生思考極限為什么不可以是1.0001，從而讓學生體會到，雖然數列極限的描述性定義非常直白，易于理解，但是描述性定義中有些說辭是比較含糊的，比如“無限增大”“無限接近”，缺乏數學嚴密性，不能作為科學論證的邏輯基礎［9］，我們需要用量化的方式來定義數列的極限.通過對具體問題的具體分析，讓學生明確描述性定義中的模糊含義“無限增大”“無限趨近”如何來定量刻畫，從而總結出數列的精確定義.

2.2.2通過分析，注重概念的形成過程

通過解決上面問題5提出的兩個問題，逐步形成數列極限的精確性定義.第一個問題通過多媒體展示可以直觀得到答案；第二個問題采用師生問答的形式，以數列nn+1為例，說明該數列的極限是1，而不是1.0001為例，來使學生逐漸明確“無限增大”和“無限趨近”的定量描述.

師：若1.0001為數列nn+1的極限，需要滿足：當n無限增大時nn+1能無限接近常數1.0001，那如何刻畫數列nn+1的第n項與常數1.0001的接近程度？

生：可以通過計算nn+1-1.0001的值來表示他們之間的接近程度.

師：好，那么怎么說明，它們之間是無限接近的呢？

生：nn+1-1.0001的值無限接近于0.

師：當nn+1-1.0001的值越小時，nn+1與1.0001是越來越接近，也就是說nn+1-1.0001的值越小，我們認為nn+1與1.0001的接近程度越高，所以nn+1與1.0001要實現無限接近，nn+1-1.0001的值需達到無限小才可以.那么大家思考一下無限小是不是比你能想象得到的任意非常小的正數都小呢？

生：是的.

師：那這樣的話，大家認為多小的數才是非常小的正數呢？

生A：教師我覺得0.00001已經是很小的正數了.

師：好，A同學覺得0.00001是很小的數，那么nn+1-1.0001的值可以小于0.00001嗎？

生：不可以，nn+1-1.0001的值總是大于0.00001的.

師：對，因為nn+1-1.0001的值總是大于0.00001，所以nn+1-1.0001的值不可能做到無限接近0，因而數列nn+1的極限不是1.0001.那接下來大家思考一下nn+1-1的值可以小于0.00001嗎？

生：可以，只要就n>99999就可以得到nn+1-1<0.00001.

師：對，完全正確，那么有沒有比0.00001更小的數呢？

生B：有，比如說0.000001.

師：好，那么nn+1-1的值可以小于0.000001嗎？

生：可以，只要n>999999就可以實現.

師：對，那我們再想一下，有沒有比0.000001還小的數呢？

生：有.

師：對，有，而且有很多.那么是不是任意給定一個很小的數，我們記為ε，nn+1-1的值可以小于這個任意給定的ε嗎？

生：應該可以.

師：有一部分同學不確定是不是可以實現nn+1-1<ε，那么我們簡單計算一下.

nn+1-1<ε1n+1<εn>1ε-1

所以我們只需要滿足取的n是大于1ε-1的整數，就可以實現nn+1-1<ε了.

師：說明了任意給出一個很小的距離ε，我們可以找到某一項N，使得N項之后的任意一項都滿足nn+1-1<ε，也就是說第N項之后的任意一項與1之間的接近程度可以小于我們任意取定的ε，所以1就是數列nn+1在n趨于無窮大時的極限.根據我們上面的分析過程，數列nn+1的極限是1，也可以描述為“對任意給定的正數ε，存在正整數N=1ε-1，只要n>N時，恒有nn+1-1<ε.”將這個定義一般化，我們就得到了數列極限的精確定義.

數列極限ε-N的定義［3］：設xn為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當時n>N，不等式xn-a<ε都成立，那么就稱常數a是數列xn的極限，或者稱數列xn收斂于a，記為limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）.

結語

高等數學這門課程在其他學科中的應用是十分廣泛的，在授課過程中注重體現知識的產生過程，將有利于學生理解知識的本質和實際應用.本文以數列的極限為例，簡單介紹了極限概念的發展過程，并結合認知規律，通過問題驅動的方式，重現極限概念的形成過程，在學生主動思考問題的過程中有利于培養學生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］魏連鑫.大學數學教學應重視學生四種能力的培養［J］.上海理工大學學報（社會科學版），2021，43（01）：8184.

［2］劉秀連.淺談微積分學中的極限思想［J］.呂梁高等專科學校學報，2006（02）：4951.

［3］李經文.極限理論的發展及其歷史評價［J］.邵陽師范高等專科學校學報，2001（05）：1518.

［4］龔升，林立軍.簡明微積分發展史［M］.湖南：湖南教育出版社，2001.

［5］同濟大學數學科學學院.高等數學（第八版）上冊［M］.北京：高等教育出版社，2023.

［6］溫猛麟.艾賓浩斯遺忘曲線0～60分鐘內的擬合曲線［J］.廣東職業技術教育與研究，2021（02）：119121.

［7］華東師范大學數學系.數學分析（第四版）上冊［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［8］呂志宏，李永明.為什么要用“ε-N”語言定義數列極限？［J］.高等數學研究，1998（03）：1719.

［9］黃民海.剖析數列極限的“ε-N”定義［J］.數學教學研究，2012，31（09）：6266.

項目基金：由河南省社科聯批準的高校數學教師課程思政素養提升研究項目資助（SKL2023950）

*通訊作者：劉霄霄（1994—），女，河南焦作人，碩士，助教，研究方向：不動點理論。

作者簡介：肖亞（1995—）男，河南駐馬店人，碩士，助教，研究方向：博弈論。