力學平衡中臨界極值問題的解題技巧

【摘要】力學平衡問題是高中物理中的重要內容，而臨界極值問題則是力學平衡中的難點之一．這類問題通常涉及多個物體的相互作用，需要學生具備扎實的物理基礎和靈活的解題技巧．本文以摩擦力和彈力影響下的臨界極值問題為切入點，探討力學平衡中臨界極值問題的解題技巧，以期幫助學生更好地理解和解決這類問題．

【關鍵詞】力學平衡；臨界極值；解題技巧

在臨界極值問題中，常涉及兩個或多個物體之間的相互作用，當某個條件改變時，物體之間的相互作用力會發生突變，從而引發臨界狀態．因此，識別臨界狀態是解決這類問題的關鍵．

1 摩擦力影響下的臨界極值問題

例1 質量為M的斜面靜止在水平地面上，傾角為θ．另一質量為m的物體放置于斜面上，它與斜面間的動摩擦因數為μ，且兩者間的最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小．如圖1所示，在水平外力F（未知）作用下M、m均處于靜止狀態，已知重力加速度為g．求：

（1）力F多大的時候，質量為m的物體不受斜面摩擦力的作用；

（3）將斜面M固定，若θ=60°，μ=32，要使質量為m物體始終能靜止于斜面上，對水平力F的大小有何要求．

解析 （1）對物體受力分析，如圖2所示.

根據平衡條件有FNcosθ=mg，

FNsinθ=F，

聯立可得F=mgtanθ．

（2）取臨界狀態進行分析：若F很小時，物體沿斜面有向下的運動趨勢，受力分析如圖3所示.

根據平衡條件有FN=mgcosθ+Fsinθ，

Fcosθ+f=mgsinθ，

又f=μFN，

解得Fmin=mgsinθ－μmgcosθcosθ+μsinθ=35mg，

若F很大時，物體沿斜面有向上的運動趨勢，受力分析如圖4所示.

根據平衡條件有FN=mgcosθ+Fsinθ，

Fcosθ=mgsinθ+f，

又f=μFN，

解得Fmax=mgsinθ+μmgcosθcosθ－μsinθ<0，

即無論F取多大，物體受到的摩擦力都不可能沿斜面向下．所以要使質量為m物體始終能靜止于斜面上，則F≥35mg．

評析 在本題第（2）問中，F取不同值時，物體在斜面上運動趨勢可能不同，會直接影響摩擦力的方向，因此，分別討論摩擦力沿斜面向上或向下達到最大靜摩擦力時，分別求出F的最值，然后分析確定其范圍．分析摩擦力影響下的臨界問題時，摩擦力最大靜摩擦力的方向是解題的關鍵．

2 彈力和摩擦力共同影響下的臨界極值問題

例2 如圖5所示，半徑為r圓柱體B，C固定在兩個不計質量、不計厚度的相同水平底座上，且B，C靠在一起，底座與水平面間的動摩擦因素為μ，圓柱體A（半徑為r）放在圓柱體B，C上，三者處于靜止狀態，質量關系為mA＝2mB＝2mC＝2m，三個圓柱面間的光滑，重力加速度為g．

（1）求B對A的支持力FN；

（2）要使系統保持靜止狀態，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求μ的最小值；

（3）若μ＝0，從如圖所示的位置靜止釋放，求A剛接觸水平面時的速度的大小．

解析 （1）如圖6，對A受力分析.

由對稱性可知C對A的作用力與B對A的作用力大小相等，設FCA=FBA=FN，

則2FNcos30°=2mg，

解得求B對A的支持力FN=233mg．

（2）對B受力分析，如圖7，

水平方向：f=FNsinθ，

豎直方向：N=FNcosθ+mg，

由最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則f≤μN，

解得μ≥36．

（3）設A與BC剛分離時，如圖8，AB中心連線與豎直方向的夾角為α，

則A下落高度h=3r－2rcosα，

設此時A，B，C的速度分別為vA，vB，vC；

則水平方向動量守恒mvB－mvC=0，

系統機械能守恒2mg3r－2rcosα=12×2mvA2+12mvB2+12mvC2，

整理得vA2+vB2=2gr3－2cosα，

在A與B，C分離前，A，B中心距離不變，vAcosα=vBsinα，

A與B，C剛分離時，B，C對A的彈力為0，A相對B做圓周運動，

則2mgcosα=2mvAsinα+vBcosα22r，

整理得cosα=33，則vA2=439gr，

A剛接觸水平面時的速度為

vA′=vA2+2g×2rcosα=433gr．

評析 本題第（3）問中，A與B，C剛分離時，B，C對A的彈力為0，這屬于彈力影響下的臨界問題，找到這個臨界點后，A相對B做圓周運動，在結合牛頓第二定律即可求解．

3 結語

力學平衡中的臨界極值問題具有一定的難度，需要學生具備扎實的物理基礎和靈活的解題技巧．通過識別臨界狀態、確定極值條件、運用物理規律，可以幫助學生更好地解決這類問題．同時，學生需要不斷地總結歸納解題方法和技巧，提高解題效率．