數學技巧在高中物理解題中的應用

2024-07-24 00:00:00蔣沛辰

數理天地(高中版) 2024年14期

【摘要】隨著高中物理課程的深入，學生常需要運用數學知識解決各種復雜的物理問題，因此探討數學技巧在物理學習中的應用具有重要意義.本文通過分析三角函數在高中物理解題中的應用，探討數學技巧在物理學習中的重要性.通過具體例題和解題方法，展示三角函數在描述物體運動、力的作用中的關鍵作用.充分運用三角函數可以幫助學生更好地理解和應用物理知識，提升解題能力.

【關鍵詞】高中物理;高中數學;解題應用

1 引言

在高中物理學習中，數學技巧的應用至關重要.通過運用數學技巧，學生可以更好地描述和分析物理現象.本文旨在探討數學技巧在高中物理解題中的應用.筆者將以兩道應用三角函數破題的題目為例，證實數學技巧在物理問題中的實際應用價值.

2 試題呈現

例1 水平傳感器，也稱為傾角傳感器，是一種能夠測量物體相對于水平面的傾斜角度的裝置.這種傳感器通常用于各種場合.圖1為一個簡易模型，截面為內壁光滑的豎直放置的正三角形，內部有一個小球，質量為m，其半徑略小于三角形內接圓半徑，三角形各邊有壓力傳感器，分別感受小球對三邊壓力的大小，根據壓力的大小，信息處理單元能將各邊與水平面間的夾角通過顯示屏顯示出來.如果圖中此時BC邊恰好處于水平狀態，將其以C為軸在豎直平面內順時針緩慢轉動，直到AC邊水平，則在轉動過程中（）

（A）當AC邊處于豎直狀態時，BC所受到的壓力為233mg.

（B）隨著傳感器的轉動，小球對AC邊的壓力一直增加.

（C）隨著傳感器的轉動，小球對BC邊的壓力先增加后減小.

（D）在傳感器的轉動過程中，AC邊受到壓力的最大值為233mg.

例2 如圖2，使用兩根等長的細線將一個質量均勻分布的圓柱體懸掛在垂直木板上的點P上.然后，將木板以底邊MN為軸緩慢地向后旋轉，直到木板變為水平.在此過程中，保持線與木板之間的角度不變，并忽略圓柱體與木板之間的任何摩擦.在木板旋轉的過程中（）

（A）隨著木板旋轉，圓柱體對木板施加的壓力逐漸增加.

（B）隨著木板旋轉，圓柱體對木板施加的壓力先增加后減小.

（C）隨著木板旋轉，兩根細繩上的拉力均先增加后減小.

（D）隨著木板旋轉，兩根細繩對圓柱體拉力的合力保持不變.

3 思路分析

例1為高中物理常見的問題，涉及到物體在旋轉裝置上的運動情況.當裝置緩慢轉動時，小球處于受力平衡狀態，這時可以利用共點力平衡條件進行分析.首先可以繪制出受力分析圖，明確各個力的方向和作用點，以便更清晰地理解物體所受的力.當作出小球受力分析圖后，由于整體在緩慢轉動，可聯想到角度變化導致各個力的變化，進而可以探究是否可以利用三角函數進行題目簡化.例2同樣需要對圓柱體進行受力分析，結合相似三角形和角度的變化關系得出每個力的變化趨勢.

4 解法探究

例1 對三角形內部的小球受力分析，如圖3所示.

解析由幾何關系，隨著角θ從0°到120°增大的過程中，角α與角θ之和保持不變，且α+θ=120°，所以角β也保持不變，即β=60°.

由平衡條件和正弦定理得：Gsinβ=FACsinθ=FBCsin120°－θ，所以球對AC邊的壓力F′AC=FAC=233Gsinθ，球對BC邊的壓力F′BC=FBC=233Gsin120°－θ.

角θ從0°到120°增大的過程中，sinθ和sin120°－θ都是先增大后減小，所以球對AC邊的壓力和對BC邊的壓力都是先增大后減小；

當AC豎直時，θ=30°，解得BC邊受到的壓力為F′BC=233mg；

當θ=90°時，AC邊所受壓力最大，為F′AC=233mg.

例2 假設兩繩子所施加拉力的合力為T，木板的支持力為N，拉力合力T與垂直于木板方向的夾角為α，從右向左觀察，如圖4所示.

在三角形中運用數學知識，根據正弦定理得：sinαmg=sinβN=sinγT，

隨著木板旋轉，α不變，γ從90°逐漸減小到0，又γ+β+α=180°，且α<90°，可以得到：90°<γ+β<180°，則0<β<180°，因此β從銳角逐漸增大到鈍角，再結合sinαmg=sinβN=sinγT，分析可得：T減小，N先增加后減小.

因兩繩子的拉力的合力T減小，兩繩子的拉力的夾角不變，則繩子拉力減小，故（B）正確，（A）（C）（D）錯誤.

5 結語