例析含容電磁感應(yīng)問題中的兩種模型

【摘要】電磁感應(yīng)問題是高中物理中的一個(gè)重要板塊，其以法拉第電磁感應(yīng)定律為基礎(chǔ)，輔以電磁學(xué)知識(shí)，研究一系列問題.其中含電容器的電磁感應(yīng)問題是難度較大的一類問題，綜合性強(qiáng)，對(duì)思維能力要求高.本文結(jié)合例題探究含容電磁感應(yīng)問題中的兩種模型，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】電容器；電磁感應(yīng)；高中物理

1 無外力穩(wěn)態(tài)模型

無外力穩(wěn)態(tài)模型的關(guān)鍵點(diǎn)在于“無外力”和最終的“穩(wěn)態(tài)”過程.“無外力”意味著有物理量守恒，而穩(wěn)態(tài)則是將問題簡(jiǎn)化，不需要去過多研究中間復(fù)雜的變化過程，而只需要研究最后的穩(wěn)態(tài)，就可以利用能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律等簡(jiǎn)化解題.

例1 如圖1所示，兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌的間距L為1m，其左端通過導(dǎo)線與N=10的金屬線圈連接，而右端與一個(gè)電容C=1F的電容器相連接.導(dǎo)軌固定在平面內(nèi)，其中M，N兩處用絕緣光滑材料制成.金屬線圈內(nèi)有面積S=0.2m2的圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨時(shí)間變化，滿足B1=B0+kt的規(guī)律，其中k=3T/s.除此之外，整個(gè)平行導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)存在垂直于平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2=1T.將一個(gè)質(zhì)量m=2kg，電阻R=2Ω，長(zhǎng)度比導(dǎo)軌間距L略大的導(dǎo)體棒置于左側(cè)的導(dǎo)軌上，金屬線圈內(nèi)的磁場(chǎng)開始變化時(shí)，導(dǎo)體棒就立刻開始運(yùn)動(dòng)并在到達(dá)M，N兩處前做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過M，N兩點(diǎn)后在右側(cè)導(dǎo)軌上最終做速度較小的勻速運(yùn)動(dòng).整個(gè)過程中導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌接觸良好并垂直，不計(jì)其它電阻.

（1）求導(dǎo)體棒到M，N兩處之前做勻速運(yùn)動(dòng)的速度v1；

（2）求導(dǎo)體棒最終做速度較小的勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小v2以及在穩(wěn)定時(shí)電容器的帶電量q.

（3）忽略其它的能量損失，已知電容器的電場(chǎng)能公式為E=12CU2，試求導(dǎo)體棒在右側(cè)軌道上運(yùn)動(dòng)過程中的發(fā)熱量Q.

解析 （1）當(dāng)導(dǎo)體棒的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)等于圓環(huán)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)時(shí)，導(dǎo)體棒受力平衡，導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，則E感=NSk.

又因?yàn)镋1=B2Lv1，E1=E感，

解得v1=6m/s.

（2）導(dǎo)體棒再次做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，電容器兩端電壓相當(dāng)于導(dǎo)體棒的電動(dòng)勢(shì)，則UC=qC，E2=B2Lv2，E2=UC.對(duì)導(dǎo)體棒使用動(dòng)量定理可得－B2Lq=mv2－mv1，綜上所述可解得q=4C，v2=4m/s.

（3）導(dǎo)體棒的動(dòng)能減a521949d8e733ed36b3358b54afc94f2少量應(yīng)等于電容器電場(chǎng)能和導(dǎo)體棒電阻的發(fā)熱量之和，即ΔEk=E+Q.由（2）可得穩(wěn)定時(shí)電容器兩端電壓為U=4V，

則由E=12CU2，解得E=8J，

可得ΔEk=20J，

所以可得Q=12J.

2 恒定外力模型

恒定外力雖然在不斷地做功，但是只要明晰物體之間的作用關(guān)系，就可以解出答案.因恒定外力，所以也可能存在守恒量，利用守恒量列出等式，與題目條件結(jié)合即可.

例2 如圖2所示，兩個(gè)軌道ABEF，CDGH平行放置，距離為d，AB、CD與水平面之間的夾角為30°，BE，DG是光滑且絕緣的圓弧軌道（長(zhǎng)度忽略），其余部分則都是金屬材料，電阻忽略不計(jì).EF，GH兩端均光滑且長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，兩者在同一水平面上，軌道的AC端接上一個(gè)電容C=mB2d2的電容器，F(xiàn)H端接上一個(gè)電阻不變，阻值為R的燈泡.ABCD所在的平面內(nèi)的磁場(chǎng)方向垂直于平面向下，EG右側(cè)水平面內(nèi)的磁場(chǎng)方向豎直向上，兩個(gè)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B.現(xiàn)有一根長(zhǎng)為d，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒從AC附近由靜止釋放，不計(jì)導(dǎo)體棒5b97a4f6e32522fac596aa636843f56d的電阻，在兩平面的交界處EG與靜止的質(zhì)量為2m，電阻為2R，長(zhǎng)度大小為d的導(dǎo)體棒Q發(fā)生彈性碰撞，碰后的瞬間，導(dǎo)體棒P被拿走時(shí)小燈泡恰好正常發(fā)光.導(dǎo)體棒P的初始位置離水平面的高度為h，導(dǎo)體棒與傾斜導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=39，重力加速度大小為g，導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌接觸良好并垂直.

（1）求小燈泡的額定功率；

（2）求導(dǎo)體棒Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離以及過程中導(dǎo)體棒Q上產(chǎn)生的焦耳熱.

解析 （1）導(dǎo)體棒P在傾斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)導(dǎo)體棒P受力分析可得：mgsin30°－μmgcos30°－FA=ma.

又因?yàn)镕A=BId=BΔqΔtd=BCΔUΔtd

=BCBdΔvΔtd=CB2d2a，

解得a=mg3（m+CB2d2）=g6.

設(shè)棒P到達(dá)EG時(shí)的速度為v0，

則有v02=2a×hsin30°.

設(shè)導(dǎo)體棒P，Q相撞后瞬間的速度分別為v2，v1，因?yàn)樵谂鲎策^程中動(dòng)量守恒，

所以有mv0=mv2+2mv1，

由能量守恒定律可得：

12mv02=12mv22+12×2mv12，

解得v1=232gh3，

此時(shí)導(dǎo)體棒Q產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Bdv1，

此時(shí)流過燈泡的電流為I=ER+2R，

此時(shí)燈泡的功率為P=P額=I2R=8B2d2gh243R.

（2）導(dǎo)體棒Q在水平軌道上滑動(dòng)時(shí)，對(duì)導(dǎo)體棒使用動(dòng)量定理可得IA=0－2mv1.

設(shè)導(dǎo)體棒Q在水平軌道上滑動(dòng)的時(shí)間為t，通過的距離為x，

則IA=－BIdt=－BE2R+Rdt

=－BBdxt2R+Rdt=B2d2x3R，

解得x=4mRB2d22gh3.

導(dǎo)體棒Q在運(yùn)動(dòng)過程中由能量守恒定律有

Q總=12×2mv12，

導(dǎo)體棒Q上產(chǎn)生的熱量為

Q1=2RR+2RQ總=16mgh81.

3 結(jié)語

上述兩種模型常常以壓軸題出現(xiàn)，學(xué)生要根據(jù)例題分析其中的細(xì)節(jié)，體悟解題的過程，歸納總結(jié)解題方法，從而提高物理素養(yǎng).除此之外，要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)才能在面對(duì)各種題型時(shí)從容不迫.

【基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題：物理奧賽分層教學(xué)實(shí)踐研究（FJJGZX20-089）研究成果】