布朗運動的python模擬及其應用

摘 要：布朗運動為物質微觀模型的建立提供了重要依據，是分子運動論和統計力學發展的基礎.本文基于python語言模擬了布朗運動方差均值與時間之間的關系以及每一條隨機運動軌跡上的所有相應點的x方向上位移做平均后的分布，得出的結論與理論導出的一致，直觀地說明了布朗運動的實質.此外，本文還基于細胞世界中的某些蛋白的實驗數據得出了玻爾茲曼常數.

關鍵詞：布朗運動；python語言；玻爾茲曼常數

中圖分類號：O552.1" 文獻標識碼：A" 文章編號：1673-9329（2024）03-0018-05

19世紀20年代，生物學家布朗（Brown）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉中小顆粒、玻璃粒子和小石塊碾成的細粉末時，均發現這些微小顆粒在永不停息地做無規則運動[1].1905年，愛因斯坦在物理年報發表了《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》[2].該文基于物質的原子假設，應用統計力學的方法得出了粒子運動位移的方差均值（即相對于原點位移的平方均值）〈x2〉與時間t呈線性關系，這樣將原子的物理性質與宏觀上可以測量的物理量聯系了起來.在1908—1911年期間，物理學家佩蘭（Perrin）和他的學生用一系列的實驗驗證了愛因斯坦的理論，并成功測得了阿伏伽德羅常數，從而使分子動理論的物理圖像被人們廣泛接受[3].特別是自愛因斯坦推導了布朗粒子擴散方程以來的100多年里，許多科學家對布朗運動進行了理論與實驗上的研究，得到了很多具有重要意義的結論.布朗運動理論不僅被廣泛應用到熱噪聲進而是量子噪聲、軟物質等物理領域中[4-7]，還被廣泛應用到數學、化學、生物學、氣候學和金融等其他學科中[8-14]，也是當今仍被廣泛研究的前沿課題.

布朗運動反映了液體分子在做永不停息的無規則運動，為物質微觀模型的建立提供了重要依據，也是分子運動論和統計力學發展的基礎.因此，如何使人們直觀地掌握布朗運動的性質以及應用到相關科學前沿中去是一個很值得探索的主題.本文首先基于郎之萬方程導出布朗粒子運動位移的方差均值與時間的關系，并做簡單分析.這個推導過程雖然簡單但比較抽象，因此，應用python語言中的隨機函數模擬并擬合了二維隨機運動過程的平方均值與時間的關系.然后，基于佩蘭當年的實驗數據得到了玻爾茲曼常數.最后，運用愛因斯坦關系、斯托克斯公式以及生物學中的實驗數據來說明布朗運動理論的合理性并求出玻爾茲曼常數.

1郎之萬方程

對于一維布朗運動（考慮x方向），其運動方程可用郎之萬方程表示[15].

md2xdt2=-αdxdt+X（1）

（1）式右邊的第一項是布朗粒子運動時所受的阻力，第二項是引起布朗粒子做隨機運動的力.注意到

dxdt=12xdx2dt，d2xdt2=12xddtdx2dt-1xdxdt2

可得

m2ddtdx2dt-mdxdt2=xX-α2dx2dt（2）

對（2）式的兩邊求平均后得

m2d2dt2〈x2〉-m〈dxdt2〉=〈xX〉-α2d〈x2〉dt（3）

由于位移x與隨機力X是獨立的，且X可正可負，則平均效果為零，因而〈xX〉=0.根據能量均分定理

〈12mdxdt2〉=12kT（4）

則（3）式可化簡為

d2〈x2〉dt2+αmd〈x2〉dt-2kTm=0（5）

這是一個二階常系數微分方程，其通解為

〈x2〉=2kTαt+C1e-dt/m+C2（6）

其中C1、C2是積分常數.

假定在黏度為η 的流體中的粒子呈球形，且半徑為R（大于1 nm），則根據斯托克斯公式得到黏性摩擦系數

α=6πηR（7）

布朗粒子的半徑一般為0.1～10 μm，而水在常溫下的黏性系數約為10-3Pa·s，因此

α/m=9η/（2ρR2）

其數量級為104～108.我們觀測的時間遠大于10-3 s，故（6）式中的第二項可以略去.設t=0時的位置為起點，則〈x2〉t=0=C2=0，因此（6）式簡化為

〈x2〉=2kTαt=2Dt（8）

其中D=kT/α為擴散系數.

因此，擴散系數與流體黏性系數的關系可表示為

αD=kT（9）

這個關系被稱為愛因斯坦關系[13]，揭示了布朗粒子的漲落與其所受到的耗散之間存在的重要聯系，是漲落-耗散定理的一種表示形式.更為重要的是，愛因斯坦關系表明在相同的溫度下即使是不同種類的顆粒或者溶液總能得到相同的值，這是一個普適的關系.反過來，也能利用小顆粒的擴散系數與溶液的黏性系數來給出玻爾茲曼常數.也就是說，愛因斯坦關系給出了測量物理基本常數——玻爾茲曼常數的一種方法.

2布朗運動的Python模擬

基于郎之萬方程導出的位移方差均值與時間的簡單關系，雖然數學過程并不復雜，但對人們理解這個公式還是比較抽象的.為此，筆者利用python語言中的隨機函數對布朗運動進行了模擬，使其以直觀的方式呈現出運動規律，以便人們更容易理解布朗運動的規律.

筆者設計了如下方案來模擬二維布朗運動.考慮一個運動500步的布朗粒子從當前到下一步隨機行走的規則設為：在x方向上可正可負，步長為0、1、2、3、4、5中的任何一個數，y方向同理.如果x方向與y方向均為零，那么不記錄本次數據，直接生成下一個隨機數據.這樣隨機生成500對x與y數據點之后就形成了布朗粒子的一條運動軌跡.然后，對這條軌跡上的每一個點計算方差.接下去，考慮5 000條這樣的隨機路徑，對這些路徑上的每一點分別做方差均值（即系綜平均）.最后，利用python將每個點的方差均值畫出來，并用直線擬合.圖1是用上面的隨機運動規則模擬出來的圖像，可以看出方差均值跟步數呈很好的線性關系，擬合優度為0.999 260（擬合優度為1說明這些點完全是直線上的點），直觀地呈現了（8）式的性質.圖2是在以上隨機行走規則下，對于每一條軌跡（共500個點，隨機生成5 000次）上的所有相應點的x方向上位移做平均后①這里的相應點做平均是指：第i個點（i=1，2，3，4...500）做5 000次（5 000條隨機生成的軌跡）相加后做平均.

的分布圖，總體呈現正態分布，與預期一致.

以上的模擬很好地說明了愛因斯坦關系的正確性，也證實了分子的確在永不停息地做無規則運動.其實，當年佩蘭在常溫下每隔30 s觀測半徑為0.37 μm的杜仲膠膠體顆粒在二維平面上的隨機運動，收集了508個凈位移并計算出方均根位移為〈r2〉=7.84 μm[13，16].根據二維平面上方差均值與擴散系數的關系

〈r2〉=4Dt（10）

再結合（7）式和（9）式，可得

6πηR〈r2〉=4tkT（11）

將水在溫度T=293K下的黏度系數η=1.0×10-3kg m-1s-1，方均根位移〈r2〉=7.84 μm，時間t=30 s及半徑R=0.37 μm代入（11）式，可得玻爾茲曼常數

k=1.22×10-23J/K（12）

準確性（相比后來的標準值）與他之前的測量值相比有了很大的提高[3].這樣，布朗運動的模擬與真實觀測到的實驗數據緊密地聯系了起來，有助于人們更好地理解布朗運動的本質.

3生物學與布朗運動

在細胞的世界中，很多蛋白的尺度是納米量級，此時鄰近分子的隨機沖擊會在很大程度上影響蛋白的位置，這種現象可以用布朗運動來描述.實際上，布朗運動的規律同樣可以用來描述很多舒展型生物大分子的構象，這有助于我們理解生物學中分子馬達的運轉[13].此外，單個分子的純隨機布朗運動造成了整個分子集團的擴散，而擴散是亞微米尺度下物質輸運的主要形式，也是理解細胞生物學中的雙層膜滲透率、跨膜電位等機制的基礎.基于愛因斯坦關系與一些蛋白的實驗數據，也能夠導出玻爾茲曼常數.

根據斯托克斯公式（7）以及愛因斯坦關系（9），得到

6πηRD=kT（13）

對表1中的數據進行處理，我們可以發現這些半徑大于1nm的生物分子的擴散系數與半徑倒數近似為線性關系（見圖3），計算表中的數據可得RD均值2.1×10-19m3·s-1.

取常溫為293K，這時水的黏性系數為η=1.0×10-3kg m-1s-1.將這些數據代入（13）式后可估算出玻爾茲曼常數

k=1.35×10-23J/K（14）

與現在的標準值k=1.38×10-23J/K[13]相比，誤差僅為2%，再次說明了愛因斯坦關系給出了測量玻爾茲曼常數的一種方法.反過來，我們也可以根據愛因斯坦關系去估算分子的半徑.

4結語

本文基于python語言模擬了布朗運動方差均值與時間之間的關系，得到了方差均值正比于時間的性質，這與用郎之萬方程導出的關系一致.然后模擬了每一條隨機運動軌跡上的所有相應點的x方向上位移做平均后的分布，總體呈正態分布，這與中心極限定理所預示的一致.這些結論更加直觀地說明了布朗運動的實質.接著用當年佩蘭的實驗數據得出了玻爾茲曼常數（很接近現在的標準值），證實了愛因斯坦關系的有效性.最后，基于愛因斯坦關系、斯托克斯公式以及生物學中的相關實驗數據用Python擬合出了玻爾茲曼常數.該值與現在的標準值相比，誤差僅為2%，這也表明布朗運動理論能很好地描述生物的細胞世界.

關于布朗運動的研究，已在很多看似不相干的領域取得了重要成果[12].例如，佩蘭與斯威德伯格（Svedberg）因為證實了原子的真實性分別獲得了1926年的諾貝爾物理學獎與諾貝爾化學獎.金融學中基于布朗運動規律的期權定價理論獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎.哈塞爾曼（Hasselmann）從布朗運動研究中得到啟發提出的隨機氣候學模型獲得了2021年的諾貝爾物理學獎.雖然關于布朗運動的研究已經取得了許多重要成果，但目前仍然是非常活躍的研究領域.

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[責任編輯：劉紅霞]

Simulation of Brownian Motion by the Python Programming Language and Its Application

TU Feiquan1，TAN Zhiyun1， WAN Meng1， YANG Youchang2

（1.Zunyi Normal University， Zunyi， Guizhou， 563006， China; 2. Guizhou University of Engineering Science， Bijie， Guizhou， 551700， China）

Abstract：

Brownian motion provides an important basis for the establishment of the microscopic model of matter， is the basis for the development of molecular motion theory and statistical mechanics. Based on the Python Programming language， this paper simulates the relationship between the mean variance of Brownian motion and time， as well as the distribution of the displacement in the x direction after the average of all corresponding points on each random motion trajectory. The conclusions drawn are consistent with those derived from the theory， and the essence of Brownian motion is intuitively explained. In addition， Boltzmann constants are derived based on experimental data for certain proteins in the cellular world.

Key words：

Brownian motion; python programming language；boltzmann constants