高中數學“微建模”教學實踐初探

蔡益　龔梅勇

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》把數學建模作為數學六大核心素養中的高位素養，要求將數學建模理念貫穿整個高中數學教育，并從課時、內容、形式等方面對數學建模活動進行了詳細清晰的說明．

實際上，這顆數學皇冠上的珍珠在高考歷史上始終散發著光芒．為何將數學建模的重要性一再重提？根據皮亞杰的認知發展理論，高中生的思維正處于形式運算階段，即“在頭腦中把事物的內容和形式分開，根據假設來進行邏輯推理”．數學建模引導學生從實際問題中提取數學信息，抽象出數學模型，并檢驗和調整模型，最終運用模型解決問題，這一過程有利于學生數學思維能力的發展．

但數學建模的“落地”卻存在諸多困難．一方面匹配生情、難度適中的教學資源不好找，另一方面建模過程涉及的知識繁雜、計算量大，師生都容易產生“畏難”情緒．由于具有較大的開放性與實踐性，也很難在一場時間與場地有限的考試中真正考查數學建模題．

很多數學建模題經過了層層假設包裝，變成了一道中規中矩的應用題．教學中，很多應用題的實際情境都被一筆帶過，學生只關注如何套用數學模型計算，本該有趣的應用題在他們眼中“可怕又生硬”．長此以往，學生的思維固化，對數學本質的探究逐步失去興趣．如何提高學生學習數學建模的興趣，數學建模如何落實到日常教學，如何以試題考查數學建模素養一直是筆者追探的課題．筆者在為學生答疑一道應用題時發現了契機．

1 從學生的痛點尋找數學建模學習的切入點

應用題：小李參加人才招聘會，有A，B兩家公司分別開出了以下工資標準：A公司允諾第一年的月工資為1500元，以后每年的月工資比上一年增加230元；B公司允諾第一年的月工資為2000元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上遞增5%，請問小李打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（其他因素不計），他應該選擇哪家公司？為什么？

本題的標準答案是選擇A公司．該生疑惑B公司的工資符合指數增長模型，未來工資肯定會比A高很多．為什么不選B？筆者回答，因為只需考慮前10年的工資收入總量，利用數列求和公式計算比較可知A高．學生依然表示困惑．

學生的痛點往往是教學的切入點．為什么題目要提供10年為限？什么時候選擇B公司呢？若去除10年等條件限制，不就是一道準數學建模題嗎？是不是可以反向操作，讓學生成為出題者，一起參與試題的生成過程，真正理解“10年”的意義？此次實踐也許會是一個走近數學建模的機會！

2 “微建模”試題編制，親歷數學建模的步驟

筆者邀請學生一起對一道開放性母題，進行高中數學試題編制，學生躍躍欲試．

母題 你大學畢業后參加人才招聘會，有A、B兩家公司分別開出了工資標準：A公司允諾第一年的月工資為1500元，以后每年的月工資比上一年增加230元；B公司允諾第一年的月工資為2000元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎上遞增5%，請問你會怎么選擇？

這是一道選擇標準和其他因素都很開放的問題，學生展開熱烈討論：有的希望工作輕松，有的希望工資高，有的希望能鍛煉能力，有的考慮了不同的交通費用……筆者適時引導：若想編成數學試題，首先需要將不確定的因素確定化，我們可以合理假設——非主要因素或者非數學因素可以通過合理的假設來處理．因此交通費用相同與否、工作的難易等可以一并歸入“不考慮其他因素，假設兩家公司的其他情況都一樣”．應用題中看似生硬的要求被賦予了實際意義．

若想作出選擇，需要有明確的標準．用數據說話更有說服力，學生提出以月工資的高低作為選擇的依據．到此，一道試題初具規模，學生開始嘗試選擇數學模型解題．

要研究兩個變量的關系，學生們有的選擇函數模型，有的選擇數列模型．筆者表示肯定，并補充數列是特殊的函數．大多數學生選擇函數模型，年份x為函數的自變量，第x年的月工資為函數值，記A、B公司的月工資分別為（）fx與（）gx，則

f（x）=230x+1270（x∈N*）

g（x）=2000×1.05x-1（x∈N*）

如何比較兩個公司的月工資高低？難以利用作差法比大小，學生打算利用函數圖象（利用平滑曲線連結散點）的高低來比較函數值的大小．

新問題接踵而至 一次函數與指數函數的圖象可能有幾個交點呢？本題的兩個函數圖象如何較為準確地繪制呢？

之前的教學中，筆者利用一次函數與指數函數增長方式的差異，研究了兩個函數圖象的交點個數問題，但仍有學生似懂非懂．如今借助GeoGebra（以下簡稱GGB）軟件，無需繁瑣的計算和復雜的指令，筆者在課堂上直接輸入函數表達式，通過設置變量滑動條繪制動態的函數圖象，即可演示兩個函數圖象的交點個數變化情況（圖1）．本題的函數解析式系數過大，可對系數進行同比例縮小后，利用GGB直接繪制，不影響結果判斷（圖2）．

借助GGB既能嚴謹論證學生對圖象交點個數的猜測，更用直觀的圖象生成視覺記憶，非常適合數學建模的探索過程．學生們不必為復雜的計算耗費過多時間，只需將精力放在該題的研究重點上．

如何利用函數圖象分析問題呢？學生提出，需要知道兩個函數的交點橫坐標，尋找圖象高低（月工資高低）的“分界”點．結合GGB“讀曲線交點”的功能，很快可得交點的橫坐標分別為5.1和29.63．

解讀分析數據（交點橫坐標）的實際意義，是模型解題的重點．由數據可知：第1～5年B公司的月工資更高，第6～29年A公司的月工資更高，第30年以后B公司的月工資更高．學生很快意識到收入與工作的年限有關，需要有分類討論的思想．被動接受與自我覺察，效果完全不同！

3 理解參考數據的意義，經歷數學模型的修正與調整

筆者問 如果你們是老師，如何讓學生發現這些“分界”年份呢？

學生提出，可以提供1.054和1.055讓答題者發現第5年和第6年這兩個工資高低變化的年份．第29、30年的數據設置同上．有的學生更是指出了本題的易錯點：1.054對應的是第5年的工資，我們很容易錯，可以多給一些數據作為干擾選項！至此筆者總結，題目中提供的參考數據很有意義，經過了出卷老師的精心設計，既包含解題指向，也可能“魚目混珠”，是一些干擾信息．大家一定要有數學之慧眼，提高數據分析能力．

問題真正得到解決了嗎？當筆者請求學生給出解答時，一些學生猶豫了：如果只打算在公司工作5年或者6年，肯定選B．如果第7年或第8年應該怎么選擇？筆者將解疑的主動權交給學生，大家討論之后立馬有了結果：既然收入和工作年限有關，那么僅考慮第x年的月工資有所不足，利用工資收入總量來比較更合理．

課堂生成順其自然，學生在一步一步的分析中不斷調整思路，修正模型，決定借助數列模型，利用數列前n項和公式，求出A，B公司前n年的工資收入總量分別為

Sn=12（1385n+115n2），n∈N*

Tn=12（40000×1.05n-40000），n∈N*

比較工資收入總量高低的方法與之前完全相同，學生對此已經輕車熟路，甚至主動要求上臺操作GGB，先是探究指數函數與二次函數圖象的交點變化過程——交點個數從1個變化到3個（圖3）．再作出了本題的兩個函數圖象驗證自己的猜測（圖4）．最后利用“讀交點”得出了交點的橫坐標分別為0、9.6、39.27．

學生們分析著數據的實際意義：前9年B公司收入高，若工作超過9年直到退休，A公司收入高．可見指數爆炸增長也要考慮年限．在上一個模型建立之后，再用類似的思想方法解決同類問題、簡化工作，學生逐步認識到數學建模的巨大意義，更是真正體會了數學在實際生活中的作用．

筆者提問：結合上述分析，你們會如何編制試題呢？學生各抒己見．有的提出以10年為限出題，有的說可以不給時間限制加大難度……課堂一時熱鬧非凡，一掃對應用題的無聊之感．

4 “微建模”教學為數學建模核心素養尋找落地途徑

以往，數學建模教學難以在筆者的課堂開展，本節課卻讓人信心大振．教師可以從符合生情的應用題入手，去除題目的部分條件或結論，引導學生出于解決問題的實際需求，為半開放的問題增設條件和標準，借助GGB對于圖形和數據的處理能力，最終編制成數學試題．借此經歷數學建模的步驟：模型假設、模型構建、模型求解、模型檢驗直至解決問題．這一縮微版本的數學建模教學（筆者稱之為“微建模”教學）沒有照本宣科，一切自然發生．既能激發學生的學習熱情，又具有極大的可操作性和實際意義．

以本題為例，筆者認為“微建模”下的試題編制可以有以下兩個走向：

（1）常規應用題．如果只想考查數學模型的建立與計算，可以如開篇的應用題，提供具體年限“10年”．學生會建模、會用模型的公式計算、會使用模型中的思想方法即可．

（2）如果想讓題目更具有開放性，可以考查建模步驟中的某幾步，或者提出更高層次的要求——多種模型的選擇與評價．比如可以這樣出題：請問僅以工資收入的高低作為應聘的標準（其他因素不計），他應該選擇哪家公司？為什么？

這就需要學生有較強的建立模型、分析模型的能力，學會從參考數據中發現解題信息．無論以月工資還是工資總量作為選擇依據，只要言之有理都可得分．對同一個問題可以有不同的評價標準，選取不同的模型，就采用不同的思考方式．

無論哪一個走向，最關鍵是尋找學生的興趣點，創設教學機會，利用半開放的課堂，讓學生參與建模過程，并在此過程中發展數學建模能力．

參考文獻

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