高中數(shù)學多項選擇題應答錯誤的成因分析與規(guī)避對策

喻榮樂

自2020年新高考數(shù)學全國卷開始增設多項選擇題以來，多項選擇題的應答質(zhì)量已經(jīng)在某種程度上成為考生獲取高分的瓶頸．產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是什么？如何規(guī)避這種現(xiàn)象的出現(xiàn)？本文將闡釋筆者的思考與做法．

1 高中數(shù)學多項選擇題應答錯誤的成因分析

數(shù)學問題的解決，審題是基礎和前提，探究是關(guān)鍵和核心，呈現(xiàn)是目的和歸宿．從余文森教授提出的“讀思達教學法”看數(shù)學問題的解決，審題即為“讀”、探究即為“思”、呈現(xiàn)即為“達”．

基于此，并注意到選擇題的應答特征，可將高中數(shù)學多項選擇題應答錯誤的成因主要歸結(jié)為“讀”不清和“思”不明．

所謂“讀”不清，指的是學生沒有掌握文本的閱讀方法，不能通過“讀”，整體把握問題情境，準確實現(xiàn)數(shù)學的文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化、有效提取關(guān)鍵信息，為問題的解決奠定基礎．

所謂“思”不明，指的是學生沒有掌握推理的規(guī)則與方法，不能通過“思”，挖掘求解目標的引領(lǐng)價值，有效聯(lián)想相關(guān)的知識與方法；或者，不能通過“思”，選擇合理的運算路徑并借助相應的運算法則進行準確運算，或準確選擇推理形式并借助相應的推理規(guī)則進行有理有據(jù)、有邏輯的演繹．

2 高中數(shù)學多項選擇題應答錯誤的規(guī)避對策

2.1 因“讀”不清而致錯的規(guī)避對策

“讀”不清現(xiàn)象的出現(xiàn)，原因眾多，“缺少讀、不懂讀”無疑是主因．相關(guān)研究以及教學實踐均表明，基于求解目標的方向引領(lǐng)而“讀”可能思路、基于試題情境的整體把握而“讀”求解入口，是規(guī)避多項選擇題求解中的“讀”不清的有效對策．

例1 （2023年新高考全國Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠整體放入棱長為1m的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（ ）

A．直徑為0.99m的球體

B．所有棱長均為1.4m的四面體

C．底面直徑為0.01m的，高為1.8m的圓柱體

D．底面直徑為1.2m的，高為0.01m的圓柱體

分析 嚴格而言，本題難度并不大，學生應答的障礙主要在于無法確定選項D是否符合題目要求．深究上述障礙出現(xiàn)的原因，不難發(fā)現(xiàn)主要在于“讀不清”、在于不會基于目標引領(lǐng)、基于情境把握讀取求解思路：

直徑為0.99m的球體之所以可以整體放入棱長為1m的正方體容器內(nèi)，是因為0.99<1（1為正方體的棱長）．

所有棱長均為1.4m的四面體之所以可以整體放入棱長為1m的正方體容器內(nèi)，是因為1.4<根號下2（根號下2為棱長為1的正方體的面對角線長）

底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體之所以不可以整體放入棱長為1m的正方體容器內(nèi)，是因為1.8>根號下3（根號下3為棱長為1的正方體的體對角線長）．

至此，在保證圓柱的放置方式與選項C一致的前提下，由選項C得知底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體能否整體放入棱長為1m的正方體容器內(nèi)，取決于過正方體的體對角線中點且垂直于體對角線的截面的內(nèi)切圓直徑與1.2m的大小關(guān)系．

在這種思路引領(lǐng)下，注意到上述截面是邊長為根號下2/2的正六邊形，其內(nèi)切圓直徑根號下2/6>1.2，故選項D符合題目要求．

綜上，符合題目要求的選項為A、B和D．

例2 （2021年新高考數(shù)學全國I卷·12）在正三棱柱ACB-A1B1C1中，AB=AA1=1點P滿足BP=λBC+μBB1，其中λ，μ∈[0，1]，則（）

A．當λ=1時，△AB1P的周長為定值

B．當μ=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

C．當λ=1/2時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP

D．當μ=1/2時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P

分析 求解本題，按順序逐一判斷選項是否符合題目要求當然是一種方法．

當λ=1時，點P為側(cè)棱CC1上的動點，故AB1+AP+B1P=根號下2+AP+B1P不可能為定值，所以選項A不符合題目要求；

當μ=1時，點P為側(cè)棱B1C1上的動點，而B1C1與平面A1BC平行，故點P到平面A1BC的距離為定值，又△A1BC的面積為定值，所以選項B符合題目要求；

當λ=1/2時，點P為1DD上的動點（1DD，分別為BC，B1C1的中點），由于D，D1均可使得A1P⊥BP，故選項C不符合題目要求；

當μ=1/2時，點P為EE1上的動點（E，E1分別為BB1，CC1的中點），由于A1B⊥AB1，所以A1B⊥平面AB1P需要且只需要A1B⊥B1P，亦即BD1⊥B1P，而BD1⊥B1P當且僅當點P為E1故選項D符合題目要求．

綜上，符合題目要求的選項為B和D．

容易看到，上述解法是“讀”清了問題的綜合體現(xiàn)．但可以看出，支撐上述解法的“讀”“量大且方向模糊”，學生“讀”不清的可能性極大，這應該也是本題應答正確率不高的主要原因．

事實上，如果能夠基于求解目標引領(lǐng)（從4個選項中找出2個或3個符合題目要求的選項、或者從4個選項中找出1個或2個不符合題目要求的選項）、基于情境整體把握（4個選項呈現(xiàn)的方式與內(nèi)容之間的異同或關(guān)聯(lián)）而“讀”，則不難發(fā)現(xiàn)選項A和B的關(guān)注點均為“定值”，而選項A相對簡單；選項C和D的關(guān)注點均為“垂直”，而選項C相對簡單．于是，從判斷選項A和C是否符合題目要求入手，在得出選項A和C都不符合題目要求之后，即可得知符合題目要求的選項為B和D．

上述關(guān)于例2的分析進一步表明：基于求解目標的方向引領(lǐng)而“讀”可能思路、基于試題情境的整體把握而“讀”求解入口，不僅是規(guī)避多項選擇題求解中的“讀”不清的有效對策，而且是獲取多項選擇題“最具性價比”求解方案的有效策略．

2.2 因“思”不明而致錯的規(guī)避對策

“思”不明現(xiàn)象的出現(xiàn)，原因同樣眾多，習慣于“由因?qū)Ч倍恰皥?zhí)果索因”無疑是主因．相關(guān)研究以及教學實踐均表明，基于求解目標的方向引領(lǐng)而“思”相關(guān)的知識與方法，進而合理選擇運算（推理）的路徑、準確運用相應的運算法則和推理規(guī)則，是規(guī)避多項選擇題求解中的“思”不清的有效對策．

例3 （2023年新高考全國Ⅰ卷·11）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（ ）

A．f（0）=0

B．f（1）=0

C．f（x）是偶函數(shù)

D．x=0為f（x）的極小值點

分析 求解本題時，借助x=y=0計算得出選項A符合題目要求，以及借助x=y=1計算得出選項B符合題目要求，于多數(shù)學生而言應該是不難的．換言之，本題的部分得分目標不難實現(xiàn)，難在于得滿分．深究得滿分的障礙，主要在于選項C是否符合題目要求的判斷．

實測結(jié)果的分析表明，不能準確判斷得出選項C符合題目要求的原因有二．

一是“思”不清：不能“執(zhí)果索因”地快速準確聯(lián)想與求解目標相關(guān)聯(lián)的知識，進而明晰，選項C符合題目要求等價于f（-x）=f（x）；

二仍是“思”不清：能借助y=-1，得出f（-x）=f（x）+x2f（-1），未能借助f（1）=0以及x=y=-1出f（-1）=0，也就沒能判斷出選項C是符合題目要求的．

事實上，也就是因為對選項C是否符合題目要求的判斷出錯，不得不面對選項D是否符合題目要求的判斷．

實測結(jié)果的分析表明，不能準確判斷出選項D是否符合題目要求的原因同樣在于“思”不清：沒能基于多項選擇題的首選求解方法：排除法，從特殊到一般，借助f（x）=0便捷得出選項D不符合題目要求．

注 在判斷得出選項A和B均符合題目要求的前提下，如果能夠判斷得出選項C也符合題目要求，即可根據(jù)多項選擇題的評分規(guī)則得知，符合題目要求的選項為A、B和C，而無需關(guān)注選項D是否符合題目要求．

例4 （2022年新高考全國Ⅱ卷·11）若實數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=1，則（ ）

A．x+y<1 B．x+y≥?2

C．x+y≤2 D．x+y≥1

分析 求解本題時，學生容易想到借助特殊值排除的方法．但嘗試之后發(fā)現(xiàn)可操作性并不強．原因在于滿足x2+y2-xy=1的實數(shù)x，y的特殊值不易選取．倘若學生能夠“執(zhí)果索因”地“思”問題的求解路徑，則不難聯(lián)系到高中數(shù)學課程中不等式問題的求解通常更多地依賴于函數(shù)知識（尤其是函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值）的運用，而高中階段研習的是一元函數(shù)，問題涉及的是二元，于是想到需要借助換元的方式實現(xiàn)“減元”．

基于這樣的“思”，注意到條件“x2+y2-xy=1的呈現(xiàn)方式與圓方程的相似性、以及圓方程借助三角替換的“減元”方法，便有如下“思”的可操作性結(jié)果：由x2+y2-xy=1，得（x-y/2）2+（根號下2y/2）2=1．設

于是由x+y=根號下2sinθ+cosθ=2sin（θ+π/6）∈[-2，2]，得選項A不符合題目要求，選項B符合題目要求；由x2+y2=4/3+根號下3/3sin2θ-1/3cos2θ=4/3+2/2sin（2θ-φ）∈[2/3，2]（?滿足tan?=根號下3/3），得選項C符合題目要求，選項D不符合題目要求．

綜上，符合題目要求的選項為B和C．

3 結(jié)束語

本文基于多項選擇題應答錯誤的規(guī)避闡釋了“讀”與“思”的價值與運用．應該指出，如果從高中數(shù)學非選擇題（尤其是解答題）的角度看，“讀、思、達”作為一個有機的整體，可以發(fā)揮的價值與作用更為顯見：閱讀是基礎和前提，沒有“讀”，所有的思考都是胡思亂想、所有的表達都是胡言亂語；思維是關(guān)鍵和核心，沒有“思”，表達就會變成無源之水、無本之木，所有的“讀”都是一掠而過、走馬觀花，而所有的“答”都是死記硬背、照抄照搬；表達是歸宿和提升，沒有“達”的思維往往稍縱即逝，沒有“讀”的運用都是“胡作非為”．

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”．學習知識和掌握方法只是提高多項選擇題得分的前提，要把所學知識轉(zhuǎn)化為能力、學以致用，還得多嘗試、多探索，在練習中學真知、在實踐中悟真諦．基于這種理解，如何以“讀、思、達”為視角審視高中數(shù)學問題應答錯誤的成因和規(guī)避，應成為高中數(shù)學一線教學的關(guān)注點與探究點．

參考文獻

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[2]任子朝，趙軒，翟嘉祺，等．新高考多選題考查功能實證研究[J]．中學數(shù)學教學參考，2022（01）：4-7

[3]余文森．論“讀思達”教學法[J]．課程·教材·教法，2021（04）：51-57

（本文系教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心2022年開放課題“‘讀思達教學法在高中數(shù)學個性化教學中的實踐研究”（批準號KCB-2022087）研究成果）