在求真、求新、求變的解題教學中落實核心素養

戴學明

評析 該解法對學生的代數推理能力，數學運算能力，推理能力要求都很高，適用于學有余力的同學掌握．優點：計算較為簡潔，解法新穎，創新度高；缺點：運用了高中的數學知識．

3 教學啟示

3.1 解題教學中求真，洞悉數學本質，提高思維能力

所謂解題教學的求真，就是指解題教學不僅僅是講題，要揭示問題中所蘊含的數學本質，真正做到理解數學，理解數學解題方法．

波利亞在《怎么解題》中提到解題四步驟：理解題目，首先要弄清問題，理解題目的未知條件和已知條件；擬定方案，找到已知條件和未知之間的聯系和橋梁；執行方案；回顧[1]．而此問題的數學本質就是運動變化過程中，用函數來刻畫各變量之間的關系．本題中線段關系的最值問題可通過建立二次函數來刻畫，運用代數方法來建立這個橋梁，一般是將題目中所有條件集中在一個圖形中，利用勾股定理、相似三角形和等積變形來建立二次函數，再運用二次函數的性質及二次函數的圖象來求最值．而方法3采用“建系法”快速高效解題，這給了我們啟示：一些幾何問題通過建立平面直角坐標系，采取函數或方程、不等式等求解，也是解題的常規路徑．教學中，要關注幾何直觀能力的培養，為數形結合方法靈活應用打下心理基礎，構建坐標系，在數與形之間鋪路架橋，拓寬學生的解題視野，積累數學解題方法．學生思維能力的提高和核心素養的形成不是一蹴而就的，在解題教學中不能就題論題，要揭示問題的數學本質，通過對數學知識和方法的深刻理解轉變思維方式和提高思維水平．

3.2 解題教學中求新，揭示數學思想，培養創新意識

所謂解題教學中求新就是指教師的教學不局限于具體解題方法，僅用模型記憶法進行解題教學，沒有對問題的深刻剖析，就難以揭示數學思想方法在解題教學中的重大指導價值．

數學思想方法是對數學知識和方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本；數學思想方法揭示概念、原理、規律的本質，是溝通基礎知識和能力的橋梁，是數學知識的重要組成部分；數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊藏于數學知識的發生、發展和應用過程中．解題教學中，一定要注意培養學生提煉數學思想的習慣．上面幾種解法充分體現了數形結合、化歸與轉化、分類討論等數學思想，以及整體代換、消元、建立平面直角坐標系、函數思想等數學方法．只有在教學中讓學生系統地掌握這些數學思想方法，才可以把所學知識融會貫通，在解題時運用自如，才能創造性地解決問題．

3.3 解題教學中求變，注重變式融通，培養應變能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出“教學內容的呈現過程和教學的展開過程都應當考慮如何關注四基，體現四基”．要通過解題教學，把“四基”轉化為“四能”，通過問題變式和多樣化的教學手段，在培養學生思維靈活性上下功夫，讓學生能活學活用．

從試題的答題結果來看，本題的得分率較低，其原因就在于試題的命制突破了學生固有的認知結構，平時教學中教師講解和練習比較多的問題是一條線段的最值、兩條線段和的最值及三條線段和的最值，而試題考查了平方和的最值，從式子的結構變化考查考生應變能力和靈活性．另外本題通過補形作輔助線（如圖2），其實是構造一個內含30度角的直角三角形，是非?；A的數學模型，但并沒有要求學生作垂線和平行線，這也體現了中考題的命題思路，題在書外，根在書內，樸實于外，靈動于內，適度的變化考查學生思維的靈活性．命制完全避免模型化套路，注重通性解法，淡化特殊技巧，這樣源于教材的設計是在啟發我們廣大教師在平時的教學中，對書上的例題、操作、實驗、探究要認真研究，探索歸納其中的數學精髓．引領一種以書為本，返璞歸真的教學方向．

在本題解決過程中，勾股定理方法體現的是方程思想；不同的建系方法體現了解析幾何思想，展示了“以數釋形”的技巧；最后兩種解法體現了高階的思維方式，需要學生具備高深的數學底蘊．所以教學中要注意培養學生通過不同的注意指向和思維方式，嘗試分析問題并解決問題，不斷積累基本的數學活動經驗，培養思維能力，創造性地解決問題，從而達到發展學生的核心素養，體現數學學科育人價值的教學目標．

參考文獻

[1]波利亞．怎樣解題[M] ．徐泓譯．上海：上海科技教育出版社，2007

[2]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[S]．北京：北京師范大學出版社，2022