高中立體幾何二面角的解法探究

解立體幾何問題離不開空間問題平面化，求二面角大小也是如此．把二面角大小轉化為線線角大小，這里的線線角可以是二面角的平面角，也可以是兩個半平面的法線等．

1 求二面角大小的常用方法

方法1 二面角的平面角．過公共棱上的點直接作出二面角的平面角．

方法2 公共棱的垂面產生二面角的平面角．

方法3 利用三垂線定理或三垂線定理的逆定理構造二面角的平面角．

三垂線定理 平面內的一條直線，如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直．

三垂線定理的逆定理如果平面內一條直線與穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影．

利用三垂線定理或其逆定理，作出兩個半平面的公共棱的垂面AOH，則∠AOH是二面角的平面角，在Rt△AOH中求出∠AOH的大小．

方法4 面積射影法．

設平面α內有一平面圖形的面積為S，它在平面β上的射影的面積為S′，則平面α與平面β所成銳二面角θ的余弦值cosθ=S'/S．

方法5 利用兩個平面的法向量的夾角來求二面角大小．

一般通過建立空間直角坐標系進行代數運算．

方法6 等體積法．

在平面α內找到一個點A，求出點A到兩個半平面的公共棱的距離AO，用等體積法求出點A到平面β的距離h，則二面角θ的正弦值sinθ=h/OA．

方法7 三正弦定理．

方法8 三面角的余弦定理．

定理 如圖1，四面體O?ABC的二面角A-OC-B的大小為α，則

在已知一個四面體中，OA，OB，OC的兩兩夾角的情況下，便能求解二面角A-OC-B、二面角A-OB-C和二面角C-OA-B的大小．

方法九 無棱二面角．題設背景中沒有直接給出二面角的公共棱，要解決這一問題，可以補全幾何圖形，作出二面角的公共棱，再用上述方法來求解二面角大小，也可以用面積射影法，或者用空間向量法計算二面角的大小．

2 思維受阻典例解析

例1 如圖2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AA1⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F分別是CC1，BC的中點．

（1）求證：EF⊥平面AB1F；

（2）求銳二面角B1-AE-F的平面角的余弦值．

（3）重視模型教學，引導學生重視圖形語言，尤其要重視對所畫的立體圖形與真實圖形思維理解上的一致性．

（4）重視培養學生書寫的規范性、表述的邏輯性及準確性，要注意訓練學生思維的嚴謹性． （5）設計以正方體為載體的二面角大小求解問題，靈活選擇二面角的9種求法中的一種解題，熟練掌握此類問題的解決方法，提高解題能力．

（6）重視向量在立體幾何中的應用訓練，尤其要重視向量模型在立體圖形中的建立，以利用更靈活的思維、更簡捷的方法解決二面角問題．

參考文獻

[1]卓臏葶．高考立體幾何突破口[J]．中學數學研究（華南師范大學）（上半月），2008，14（8）：38-40

[2]中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書[M]．北京：人民教育出版，2019