溝通聯系明算理 遷移類推尋算法

徐娟

算理和算法是計算教學中不可分割的兩個方面，算理解決“為什么這樣算”的問題，算法是算理的具體化，解決“怎樣算”的問題。素養導向下的計算教學要讓學生感悟運算的一致性，理解運算的本質是計數單位個數的累加與遞減。如何更好地引導學生明晰算理、掌握算法呢？

一、結合已有經驗，實現從未知到已知的轉化

數與代數領域包括“數與運算”和“數量關系”兩個主題，學段之間的內容相互關聯、由淺入深、層層遞進、螺旋式上升排布，構成相對系統的知識結構。運算新知的學習要建立在學生已有舊知和原有經驗的基礎上，教師要引導學生關聯已有的知識經驗，將未知轉化為已知，進而解決問題，掌握新知。

以北師大版數學三年級上冊《小樹有多少棵》的教學為例。筆者先提出“3捆一共多少棵？”的核心問題，學生列式“20×3”。接著，筆者讓學生獨立思考怎樣計算，并把想法寫下來或畫出來。交流中，學生分享了多種不同的計算方法：有的學生將原式轉化為“20+20+20”，畫數線圖得出連加結果；有的學生先用表內乘法計算2×3=6，再聯想到20×3=60，通過遷移計算2×3的舊知，順利解決了計算20×3的新問題。筆者分兩個層次幫助學生實現知識轉化，突破教學重點。第一層次，用課件展示3捆小樹，每捆20根，每捆的20根可分成2個10根，3捆就是6個10根，也就是60根，這是實物層面的算理理解。第二層次，聯系在計數器個位上撥出的3個2即6個一的舊知，類比得出在計數器十位上撥出的3個2就是6個十。同樣在講3個2的計算，只是它們所在的數位不同。在十位上講3個2的計算，就是學生所說的先不看末尾的0，計算2×3后再在積的末尾添上1個0。學生在找相同點和不同點中發現了各種方法之間的關聯，架起了從舊知到新知的橋梁。

在學習兩位數乘一位數后，學生對“拆、算、合”的轉化形式有了一定的認識，在此基礎上，教師一方面可以引導學生獨立探索兩位數乘兩位數的算法，讓學生進一步感悟從未知到已知的轉化，由此將轉化思想遷移運用到三位數乘兩位數的運算中；另一方面可以引導學生感悟乘法計算的一致性，即最終都可以轉化為一位數乘一位數（表內乘法）進行計算。

二、在表征與聯系中體會運算一致性

2022年版數學課程標準提出，“通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性”，“感知運算律是確定算理和算法的重要依據，形成初步的代數思維”。小學階段，教師不僅要利用直觀模型幫助學生理解四則運算的算理，還要引導學生把直觀操作的過程用算式表達出來，提高學生理解算理的抽象化水平。

北師大版數學一年級下冊《小兔請客》主要教學“20＋30”。為什么是十位上的2和十位上的3相加呢？因為20＋30=2×10＋3×10=（2＋3）×10=5×10=50。學生理解“20＋30”就是把2捆小棒和3捆小棒合起來，筆者要求學生在操作的基礎上先用語言表達2捆小棒表示2個十、3捆小棒表示3個十，然后用算式表示2個十是2×10、5個十是5×10，而2捆小棒和3捆小棒合起來，用語言表達即“20＋30是2個十和3個十合起來”，用算式表示是“20＋30=2×10＋3×10”，也就是說，2個十和3個十合起來是5個十，即50。學生在直觀操作、語言表達、算式表示的勾連中清晰地發現整十數的加法計算就是計數單位的個數相加。

整數加減法強調相同數位對齊，小數加減法強調小數點對齊，分數加減法強調分母相同才能直接相加減。其中，算法的一致性是明顯的，也就是相同計數單位的數才能相加減，原因在于整數、小數、分數的四則運算本質上都是對計數單位的個數進行運算。如分數乘法就是計數單位上的數與計數單位上的數相乘（一個因數的分子與另一個因數的分子相乘的積作積的分子），計數單位與計數單位相乘（一個因數的分母與另一個因數的分母相乘的積作積的分母，同時形成新的計數單位）。在北師大版數學五年級下冊《分數乘法（三）》的教學中，學生理解了[34]×[14]的意義是求[34]的[14]之后，筆者先引導學生畫圖表示[34]，學生畫出一個正方形，把正方形平均分成4份后，涂出其中的3份。接著，筆者要求學生用語言表達[34]就是3個[14]，用算式表示就是[14]×3。然后，筆者引導學生在圖中表征[34]×[14]，即把正方形的[34]平均分成4份，用另一種畫法涂出其中的1份。由此，學生理解了把正方形的[34]平均分成4份，涂其中1份，實際上就是先把計數單位[14]平均分成4份，取其中的1份，得出一個新的計數單位[116]，再涂出3個[116]，用算式表示這個操作過程就是“[34]×[14]=[14]×3×（[14]×1）=（[14]×[14]）×（3×1）=[116]×3=[316]”。學生在操作、語言表達的基礎上，聯系算式體會到分數乘法實際上是計數單位（分數單位）個數累加的計算。

在每一次的算理教學中，教師堅持用算式表達算理，有助于學生看到整數、小數、分數的四則運算都是對計數單位和計數單位個數的操作，感知運算的一致性。在小學六年級的數學總復習中，教師要有意識地引導學生發現不同運算之間的共性與差異，溝通四則運算之間的聯系，理解減法是加法的逆運算、乘法是加法的簡便計算、除法是乘法的逆運算等，從而更好地感悟四則運算的一致性。

三、在遷移與類推中增強推理意識

數學運算是一種嚴格的推理，如果只把運算看作一種程序化的機械操作，就降低了其教學價值。2022年版數學課程標準強調運算的一致性，這在一定程度上就是強調運算的推理意義。計算教學中，教師應該引導學生不斷積累經驗，形成推理意識。? ? 仍以《小樹有多少棵》的教學為例，全課的學習充滿著推理，學生的推理路徑如下。首先，學生在計算整十數乘一位數時結合乘法的本質，通過類比，將“20×3”與“2×3”建立聯系，進而推理出可以用在“2×3”的積“6”末尾加一個0的方法解決問題。接著，探究整百數乘一位數時，學生結合乘法的意義理解了整百數乘一位數就是要計算計數單位百有多少個，由此聯想到先不看乘數末尾的兩個0，用表內乘法計算出積后，再在積的末尾添兩個0，得出最終結果。然后，在“算一算，你發現了什么？”練習中，學生通過橫向、縱向觀察算式（8×4=32，80×4=320，800×4=3200，6×7=42，6×70=420，6×700=4200），發現乘數末尾0的個數與積末尾0的個數有關系，進而歸納、概括出“一個乘數不變，另一個乘數擴大到原來的10倍，積也擴大到原來的10倍”“兩個數相乘，可以先去掉乘數中末尾的0，求出積后，再在積的末尾添上被去掉的0”等結論。最后，學生自主仿寫一組算式，類比、遷移所學知識，加深對整十數、整百數、整千數乘一位數的計算方法的理解和感悟。

計算教學中，教師應適時組織學生交流不同運算之間的聯系，以及同一種運算的不同計算方法之間的聯系。比如，學習分數加減運算后，引導學生思考分數加減運算方法與整數、小數加減運算方法的共性，促進運算知識的結構化。

（作者單位：潛江市中小學教師繼續教育中心）

責任編輯? 劉佳