基于運(yùn)算一致性的《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》教學(xué)改進(jìn)

許雅婷 李雨佩

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》教學(xué)建議指出，要從數(shù)學(xué)意義、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解。教師幫助學(xué)生厘清知識(shí)背后的道理，既是體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)需要，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的育人要求。組稿聚焦分?jǐn)?shù)除法，探討如何在計(jì)算教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入理解算理、掌握算法，并逐步趨向知識(shí)本質(zhì)，領(lǐng)悟整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法的一致性。

在以往的教學(xué)中，教師習(xí)慣用直觀圖幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，進(jìn)而建立分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的聯(lián)系。筆者認(rèn)為，《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》作為單元起始課和小學(xué)階段四則運(yùn)算板塊的終止內(nèi)容，不能僅僅以教會(huì)分?jǐn)?shù)除法的算理算法為目標(biāo)，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)知識(shí)，溝通整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的算理，感悟除法運(yùn)算的一致性，理解數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位后計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。下面筆者通過對(duì)這節(jié)課兩次教學(xué)情況的對(duì)比，闡釋教學(xué)改進(jìn)的原因及策略。

一、改進(jìn)復(fù)習(xí)導(dǎo)入方式，讓已有經(jīng)驗(yàn)相互關(guān)聯(lián)

第一次教學(xué)時(shí)，教師提問：“我們之前學(xué)習(xí)過哪些除法運(yùn)算？”學(xué)生舉例后，教師追問：“這些除法算式可以分成幾類？”學(xué)生根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。這種復(fù)習(xí)導(dǎo)入方式看似引導(dǎo)學(xué)生回憶了整數(shù)除法和小數(shù)除法，但學(xué)生的理解只停留在幾種除法“型”上的區(qū)別，并未觸及本質(zhì)，不利于學(xué)生后續(xù)理解整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一致性。基于此，在集體教研之后，教師做了如下改進(jìn)。

第二次教學(xué)伊始，教師出示問題：①40張紙平均分成2份，每份有多少?gòu)垼吭鯓恿惺剑繛槭裁从贸ǎ竣?.4張紙平均分成2份，每份有多少?gòu)垼吭鯓恿惺剑繉W(xué)生列出除法算式后，發(fā)現(xiàn)：雖然兩道題中“4”的意義不同，但兩個(gè)算式都將計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)平均分。學(xué)生據(jù)此推斷：只要把一個(gè)物體平均分成幾份，求其中的一份，就可以用除法解決。教師點(diǎn)撥：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與已經(jīng)學(xué)習(xí)的整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)的意義相同。

改進(jìn)后的教學(xué)，教師借助問題情境引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)整數(shù)除法、小數(shù)除法的算理，而后引出分?jǐn)?shù)除法，喚醒學(xué)生探究分?jǐn)?shù)除法算理的知識(shí)儲(chǔ)備，為后面溝通整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法算理的聯(lián)系做了鋪墊。

二、改進(jìn)算法優(yōu)化方式，讓探究過程更加豐滿

第一次教學(xué)時(shí)，教師呈現(xiàn)問題：“把一張紙的[45]平均分成2份。每份是這張紙的幾分之幾？先列式計(jì)算，再說一說這樣算的道理。”有的學(xué)生用“[45]÷2=0.8÷2=0.4=[25]”進(jìn)行計(jì)算，教師點(diǎn)撥“將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)是探究新知的一個(gè)好方法”。有的學(xué)生用“[45]÷2=[4÷25]=[25]”進(jìn)行計(jì)算，教師點(diǎn)撥“這是將計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)（4個(gè)[15]）平均分成兩份”。還有的學(xué)生用“[45]÷2=[45]×[12]=[25]”進(jìn)行計(jì)算，并說明把[45]平均分成2份，求每份是多少，就是求[45]的[12]是多少，所以[45]÷2=[45]×[12]，計(jì)算結(jié)果為[25]。教師點(diǎn)撥：“看來分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和我們前面學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法之間是有聯(lián)系的。”基于以上分析，教師直接給出優(yōu)化算法——分?jǐn)?shù)除以整數(shù)就是用分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

集體教研時(shí)，組內(nèi)教師提出：過早優(yōu)化算法，學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算的理解不夠，導(dǎo)致知其然而不知其所以然，不利于達(dá)到“感悟四則運(yùn)算算理的一致性”目標(biāo)，不利于學(xué)生形成完整的知識(shí)體系，養(yǎng)成善于探索、追求本質(zhì)的學(xué)習(xí)觀，反而讓學(xué)生不自覺地將分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法的算理割裂開來，在后面的探究過程中毫不猶豫地選擇“乘倒數(shù)”這種最簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，而不愿意探索細(xì)化分?jǐn)?shù)單位的算理。因此，將分?jǐn)?shù)單位細(xì)化之后再進(jìn)行平均分這一看似不簡(jiǎn)便的方法，才是溝通整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的橋梁。

第二次教學(xué)時(shí)，為更好引導(dǎo)學(xué)生理解除法運(yùn)算的一致性，教師沒有急于給出優(yōu)化的算法，而是給出新問題，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“把一張紙的[45]平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？怎樣列式？”有的學(xué)生用“[45]÷3=[1215]÷3=[12÷315]=[415]”進(jìn)行計(jì)算，并說明“把5份中的每1份繼續(xù)平均分成3份，相當(dāng)于把這張紙平均分成了15份，而這樣的4份就是每人分到的紙張”。教師追問：“為什么要把5份中的每1份繼續(xù)平均分成3份呢？”學(xué)生回答：“因?yàn)?÷3得不到整數(shù)結(jié)果，而把每1份再平均分成3份，就把這張紙平均分成了15份，然后運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把[45]變成[1215]，用12÷3就能得到整數(shù)結(jié)果。”教師點(diǎn)撥：“這里用到了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，在分?jǐn)?shù)大小不變的情況下將計(jì)數(shù)單位變小了，這樣分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)就會(huì)變多，之后再平均分分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)，就能比較容易地運(yùn)用整數(shù)除法得到結(jié)果。”在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生結(jié)合教材格子圖進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：[把45]平均分成3份，求每份是多少，就是求[45]的[13]是多少，所以[45]÷3=[45]×[13]。由此，學(xué)生通過自主探究獲得了優(yōu)化算法，更加深入地理解了教材內(nèi)容。

三、增設(shè)算法比較環(huán)節(jié)，讓算理凸顯本質(zhì)聯(lián)系

在整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)的運(yùn)算中，除到不能除時(shí)，我們都是將計(jì)數(shù)單位變小繼續(xù)除。教學(xué)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時(shí)，教師能否沿用這一方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟“三類”除法運(yùn)算的一致性呢？為此，教師基于集體教研的結(jié)果在教學(xué)中添加了算法對(duì)比環(huán)節(jié)。

教師出示如下兩幅圖及計(jì)算過程，引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組討論計(jì)算過程的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)。

首先，學(xué)生通過對(duì)比觀察得出：左邊的除法能用被除數(shù)的分子直接平均分，右邊的除法不能用被除數(shù)的分子直接平均分。接著，教師讓學(xué)生探討遇到不能直接平均分的情況應(yīng)該怎樣解決。學(xué)生討論后得出：可以將計(jì)數(shù)單位變小后再分。這一教學(xué)環(huán)節(jié)旨在對(duì)比、溝通兩種不同算法，引導(dǎo)學(xué)生感悟“在分子不能直接整除時(shí)，需要根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將分子變成可以整除的情況，這樣做，分?jǐn)?shù)單位變小了，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)變多了，計(jì)算就變得方便了”。兩種情況的對(duì)比揭示了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的本質(zhì)——將分?jǐn)?shù)單位不斷細(xì)分。然后，教師順勢(shì)引導(dǎo)：“我們以前用過這種方法嗎？”學(xué)生回憶后發(fā)現(xiàn)，在三年級(jí)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”、五年級(jí)“小數(shù)除以整數(shù)”的學(xué)習(xí)過程中，我們都是用細(xì)分計(jì)數(shù)單位的方法進(jìn)行計(jì)算的。最后，教師肯定了學(xué)生的回答，并出示三年級(jí)、五年級(jí)學(xué)習(xí)的整數(shù)除法和小數(shù)除法的教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步歸納、概括，認(rèn)識(shí)到“三種”除法的算理都指向計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的細(xì)分。

此外，學(xué)生在課上提出的猜想“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)是用分子乘整數(shù)作為分子，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)能否用分子除以整數(shù)作為分子呢？”本不在教師的預(yù)設(shè)中，但這恰恰證明學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算的一致性具備感性經(jīng)驗(yàn)，只是找不到數(shù)學(xué)道理將這一猜想合理化。其實(shí)，除法運(yùn)算的一致性就體現(xiàn)的計(jì)數(shù)單位的不斷細(xì)分：在整數(shù)除法中，細(xì)分的標(biāo)志是將下一個(gè)數(shù)位上的數(shù)“落”下來；在小數(shù)除法中，細(xì)分體現(xiàn)于“添0”的過程；在分?jǐn)?shù)除法中則是分?jǐn)?shù)單位不斷變小。整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位細(xì)分有明顯標(biāo)志，而分?jǐn)?shù)除法與之不同，其分?jǐn)?shù)單位細(xì)分的過程體現(xiàn)在將除數(shù)變成倒數(shù)后分母乘分母的過程中。明確了這些，學(xué)生就能避免僅僅熟記“乘倒數(shù)”的計(jì)算方法，卻不明白背后道理的問題。

（作者單位：武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)三角湖小學(xué)）