小學(xué)數(shù)學(xué)“差倍問(wèn)題”結(jié)構(gòu)化教學(xué)探析

劉溈

“差倍問(wèn)題”的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖等理解問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，提高分析與解決問(wèn)題的能力。教師如何引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、推理的過(guò)程中找出單位“1”的量，并畫(huà)出相應(yīng)的線段圖？如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用線段圖等方法找出倍數(shù)差所對(duì)應(yīng)的具體量，準(zhǔn)確分析各個(gè)量之間的關(guān)系？如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)假設(shè)、比較、轉(zhuǎn)化等方法分析并解答較復(fù)雜的“差倍問(wèn)題”，構(gòu)建解題模型？本期，我們討論如何更好地教學(xué)“差倍問(wèn)題”。

為應(yīng)對(duì)形式千變?nèi)f化的“差倍問(wèn)題”，師生常常陷入題海戰(zhàn)術(shù)的泥潭。結(jié)構(gòu)化教學(xué)強(qiáng)調(diào)將知識(shí)、技能和思想方法整合在一個(gè)框架內(nèi)，幫助學(xué)生理解知識(shí)之間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并將其遷移到新的問(wèn)題情境中。教師如何通過(guò)素養(yǎng)導(dǎo)向的結(jié)構(gòu)化教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生走出題海，抓住差倍問(wèn)題的內(nèi)核，領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維的魅力呢？

一、把握問(wèn)題本質(zhì)，奠定結(jié)構(gòu)化根基

差倍問(wèn)題作為小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的典型題型，其知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題方法具有較強(qiáng)的遷移性。因此，把握差倍問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)框架，是學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，提升數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵。

差倍問(wèn)題的核心在于“差”和“倍”這兩個(gè)概念。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解“差”指兩個(gè)數(shù)量之間的差距，“倍”表示兩個(gè)數(shù)量之間的比率關(guān)系。例如，面對(duì)“小明比小紅多5支鉛筆，小明的鉛筆數(shù)量是小紅的3倍”這類問(wèn)題，學(xué)生需要清晰地認(rèn)識(shí)到“5支”代表的是數(shù)量之差，“3倍”代表的是數(shù)量之比。

為了幫助學(xué)生直觀地理解“差”與“倍”的關(guān)系，教師可以引入線段圖、方格圖等模型圖示。如上述例題可以這樣畫(huà)線段表示：小紅的鉛筆數(shù)量用一條線段表示，小明的鉛筆數(shù)量用三條相同長(zhǎng)度的線段表示，多出來(lái)的兩條線段就代表“差”的量，即5支鉛筆。通過(guò)圖示，學(xué)生可以清晰地看到小明的鉛筆數(shù)量是3份，小紅的鉛筆數(shù)量是1份，多出來(lái)的部分正好是兩者之間的“差”，即5支鉛筆。這樣的模型圖示不僅能幫助學(xué)生理解題意，還能將抽象的數(shù)量關(guān)系具象化，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模型提供支架。

在圖示的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生提煉差倍問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式，如“大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)”“大數(shù)-小數(shù)=差”“（大數(shù)-差）÷小數(shù)=倍數(shù)”等。通過(guò)將文字描述轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的數(shù)量關(guān)系式，學(xué)生能更清晰地把握問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)建該問(wèn)題的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為后續(xù)解題奠定基礎(chǔ)。例如，教學(xué)“已知兩個(gè)數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù)”這類問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖，理解兩個(gè)數(shù)的和相當(dāng)于兩條線段的總長(zhǎng)度，而它們的差相當(dāng)于兩條線段相差的長(zhǎng)度，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)直觀觀察推導(dǎo)出“較大的數(shù)=（和+差）÷2”“較小的數(shù)=（和-差）÷2”。

二、剖析認(rèn)知規(guī)律，搭建結(jié)構(gòu)化框架

小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展處于具體運(yùn)算階段，他們的思維以形象思維為主，抽象思維能力不強(qiáng)。因此，在差倍問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師需要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，搭建符合其認(rèn)知水平的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)框架。具體來(lái)說(shuō)，教師可以從以下兩方面著手：一方面，將抽象的數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，借助直觀教具和生活實(shí)例幫助學(xué)生理解“差”和“倍”的概念；另一方面，遵循循序漸進(jìn)的原則，將差倍問(wèn)題分解成一系列難度遞增的子問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

以“倍”概念的教學(xué)為例，教師可以借助學(xué)生熟悉的物品進(jìn)行演示，例如將相同數(shù)量的蘋(píng)果分別放在兩個(gè)盤(pán)子里，其中一個(gè)盤(pán)子里的蘋(píng)果數(shù)量是另一個(gè)的兩倍。通過(guò)直觀演示，學(xué)生可以輕松地理解“倍”概念。此外，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中尋找倍數(shù)關(guān)系的例子，如自己的年齡是弟弟的兩倍等，讓學(xué)生通過(guò)抽象概念與生活經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合更好地理解和記憶數(shù)學(xué)知識(shí)。

在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師應(yīng)按照知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律分解、細(xì)化知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生拾級(jí)而上。例如，教師可以從簡(jiǎn)單的問(wèn)題“已知小的數(shù)和倍數(shù)，求大的數(shù)”入手，待學(xué)生熟練掌握其解法后，逐步展開(kāi)“已知大的數(shù)和倍數(shù)，求小的數(shù)”“已知大的數(shù)和差，求小的數(shù)”等難度較高問(wèn)題的教學(xué)，幫助學(xué)生逐步形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階。

在學(xué)生掌握了基本的解題思路后，教師應(yīng)逐步加大題目的復(fù)雜程度，或是將“差倍問(wèn)題”與其他類型的問(wèn)題結(jié)合，或是在實(shí)際情境中設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。例如，教師可以聯(lián)系“雞兔同籠”問(wèn)題，設(shè)計(jì)“已知雞和兔的總數(shù)量以及雞比兔多（或少）多少只，求雞和兔各有多少只”的題目，也可以聯(lián)系購(gòu)物等生活情境設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生利用“差倍問(wèn)題”的解題思路計(jì)算商品的價(jià)格、數(shù)量等，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。

三、聚焦變式訓(xùn)練，強(qiáng)化結(jié)構(gòu)化應(yīng)用

結(jié)構(gòu)化教學(xué)要關(guān)注知識(shí)的傳授，更要注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。為了幫助學(xué)生將差倍問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決，教師需要設(shè)計(jì)有效的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生在不同的問(wèn)題情境中靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。變式訓(xùn)練的目的是通過(guò)改變問(wèn)題的非本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的共性規(guī)律，進(jìn)而把握問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果。

變式訓(xùn)練的關(guān)鍵在于“變”，即在保持問(wèn)題本質(zhì)不變的情況下，通過(guò)改變條件引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力。教師可以在原有題目的基礎(chǔ)上改變其中一個(gè)或多個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生分析條件變化對(duì)解題思路的影響。例如，教師可以將“小明比小紅多5支鉛筆，小明的鉛筆數(shù)量是小紅的3倍”這道題的條件改為“小明比小紅少5支鉛筆，小紅的鉛筆數(shù)量是小明的3倍”，引導(dǎo)學(xué)生思考如下問(wèn)題：①原來(lái)是“多”，現(xiàn)在是“少”，數(shù)量關(guān)系發(fā)生了怎樣的變化？②“差”還是原來(lái)的“差”嗎？如何用線段圖表示新的數(shù)量關(guān)系？③解題的思路和方法需要怎樣調(diào)整？這種變式訓(xùn)練能幫助學(xué)生跳出機(jī)械套用公式的思維定式，真正理解“差倍問(wèn)題”的本質(zhì)即兩個(gè)數(shù)量之間既存在倍數(shù)關(guān)系又存在差的關(guān)系。

教師也可以變換問(wèn)題情境，將差倍問(wèn)題融入實(shí)際生活情境中，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。例如，對(duì)“小明比小紅多5支鉛筆，小明的鉛筆數(shù)量是小紅的3倍，小明有多少支鉛筆？”的問(wèn)題，教師可以進(jìn)行情景變式：“商店正在進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，一支鋼筆的價(jià)格是一支鉛筆的3倍，并且比一支鉛筆貴5元。小明購(gòu)買(mǎi)了一支鋼筆和一支鉛筆，共花費(fèi)了13元。請(qǐng)問(wèn)一支鉛筆多少元？”通過(guò)對(duì)比，我們可以看出，變式問(wèn)題將“差倍問(wèn)題”融入更貼近生活的購(gòu)物情境中，并設(shè)置了更復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，有利于學(xué)生思維能力的提升。

教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生自主設(shè)計(jì)問(wèn)題并嘗試解答，進(jìn)一步提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。在“我是小小出題人”活動(dòng)中，學(xué)生設(shè)計(jì)出多種多樣的差倍問(wèn)題。例如：“我今年9歲，媽媽的年齡是我的年齡的5倍多2歲，10年后媽媽的年齡是我的年齡的幾倍？”“小紅和爸爸的體重和是106千克，爸爸的體重是小紅的4倍多1千克，請(qǐng)問(wèn)小紅和爸爸的體重分別是多少千克？”通過(guò)自編問(wèn)題，互相解答問(wèn)題并展開(kāi)評(píng)價(jià)，學(xué)生鞏固了知識(shí)，提升了思維能力。學(xué)生完成練習(xí)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧解題思路，分析解題過(guò)程中遇到的障礙及相應(yīng)的解決方法，并進(jìn)行歸納、總結(jié)，形成個(gè)人的解題策略。

總之，差倍問(wèn)題的教學(xué)絕非符號(hào)的堆砌，而是思維的碰撞，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用結(jié)構(gòu)化思維洞悉其數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從解題到解決問(wèn)題的跨越，更好地迎接未來(lái)學(xué)習(xí)和生活中復(fù)雜多變的問(wèn)題所帶來(lái)的挑戰(zhàn)。

（作者單位：黃石市中山小學(xué)）

責(zé)任編輯? 劉佳