“反比例函數(shù)”單元作業(yè)設(shè)計(jì)例談

彭敏 路回鄉(xiāng)

大單元作業(yè)要體現(xiàn)結(jié)構(gòu)性、關(guān)聯(lián)性、實(shí)踐性特征，關(guān)注學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的整體性、素養(yǎng)培養(yǎng)的全面性和自主學(xué)習(xí)的過程性。初中階段，“反比例函數(shù)”是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)不連續(xù)函數(shù)，教材內(nèi)容涉及定義、圖象與性質(zhì)、圖象與性質(zhì)的應(yīng)用等。筆者在“反比例函數(shù)”單元作業(yè)設(shè)計(jì)中為每個(gè)課時(shí)設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)性、提升性、拓展性三種類型的作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，鞏固研究函數(shù)的一般方法與路徑，發(fā)展抽象能力、幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、基礎(chǔ)性作業(yè)，鞏固知識(shí)

基礎(chǔ)性作業(yè)可從教材習(xí)題中選擇，其設(shè)計(jì)不能簡(jiǎn)單地重現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)、堆砌基本技能訓(xùn)練，而要將豐富的生活情境融入作業(yè)內(nèi)容中，化解題為解決問題，以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

生活中有許多實(shí)際量之間是反比例函數(shù)關(guān)系，教師可利用生活情境設(shè)計(jì)作業(yè)。如以下兩道題。

1.列出下列問題情境中相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式，并判斷它們是否為反比例函數(shù)。

（1）某農(nóng)場(chǎng)的糧食總產(chǎn)量為1600噸，該農(nóng)場(chǎng)人數(shù)[y]（人）與平均每人占有的糧食量[x]（噸）的函數(shù)關(guān)系式是什么？它屬于什么函數(shù)類型？

（2）在加油站，機(jī)器顯示某種油的單價(jià)為每升7.91元，總價(jià)從0元開始隨著加油量的變化而變化，總價(jià)[m]（元）與加油量[n]（升）的函數(shù)關(guān)系式是什么？它屬于什么函數(shù)類型？

（3）小華完成400米賽跑時(shí)，時(shí)間[t]（秒）與他跑步的平均速度v（米/秒）的函數(shù)關(guān)系式是什么？它屬于什么函數(shù)類型？

2.下列[y]關(guān)于[x]的函數(shù)中，是反比例函數(shù)的有? ? ? ? ? ? ? （填序號(hào)）。

①[y=x2]? ②[y=2x]? ③[y=5x-1]? ④[xy=-3]

⑤[y=x-1]? ⑥[yx=2]? ⑦[y=x2-1]

第1題引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)分析生活中變量之間的關(guān)系，強(qiáng)化反比例函數(shù)的定義和意義，鞏固反比例函數(shù)模型。每個(gè)情境涉及的量之間的關(guān)系清晰，所有的學(xué)生都能理解和掌握。第2題不僅考查反比例函數(shù)的形式，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反比例函數(shù)的概念進(jìn)行判斷，還考查學(xué)生對(duì)兩個(gè)變量的乘積為定值這一反比例函數(shù)基本特征的掌握情況，能夠深化學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的理解。

通過作業(yè)反饋，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的定義理解得較好，于是對(duì)第1題進(jìn)行了拓展，設(shè)置了包含正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生從變量之間的數(shù)量關(guān)系角度區(qū)分正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，從次數(shù)上區(qū)分反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)。這樣的題目綜合性更強(qiáng)，更能體現(xiàn)大單元作業(yè)的特點(diǎn)。

二、提升性作業(yè)，提高能力

提升性作業(yè)固然側(cè)重挖掘?qū)W生潛能，但不能無限制地拓展所學(xué)內(nèi)容，而應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生在完成基礎(chǔ)性作業(yè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行“再創(chuàng)造”。與基礎(chǔ)性作業(yè)相比，提升性作業(yè)彈性更強(qiáng)且具有一定的開放性，需要分層設(shè)計(jì)。例如，同樣是考查反比例函數(shù)的定義和形式，基礎(chǔ)性作業(yè)力求簡(jiǎn)潔、高效，反饋的是學(xué)生大腦對(duì)問題的直接反應(yīng)，提升性作業(yè)往往要求學(xué)生進(jìn)行對(duì)比、分析、綜合等有一定深度的思考。如下題。

3.已知函數(shù)[y=（m2+2m）xm2-m-1]

（1）如果[y]是[x]的正比例函數(shù)，求[m]的值。

（2）如果[y]是[x]的反比例函數(shù)，求[m]的值，并寫出此時(shí)[y]與[x]的函數(shù)關(guān)系式。

這道題中的關(guān)系式含參數(shù)，形式有別于定義式，與同是考查反比例函數(shù)定義的基礎(chǔ)性作業(yè)相比，難度增大，學(xué)生既要考慮[x]的指數(shù)[m2-m-1=-1]，又要考慮比例系數(shù)[m2+2m≠0]。這道題有助于學(xué)生把握兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：一是不清楚反比例函數(shù)自變量的指數(shù)應(yīng)為1；二是容易忽略比例系數(shù)不能為0的限制。

提升性作業(yè)應(yīng)體現(xiàn)遞進(jìn)性，以滿足不同水平學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。本單元，教師可設(shè)置如下作業(yè)題目。

4.探究歐姆定律時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)若定值電阻兩端的電壓保持不變，其電阻越大，通過定值電阻的電流越小。設(shè)定值電阻為R（Ω），通過的電流為I（A）。

（1）如果電阻為40Ω，通過的電流為0.2A，求I關(guān)于R的函數(shù)解析式。

（2）如果電阻小于40Ω，通過定值電阻的電流在什么范圍？

這道題借用了物理學(xué)科的電學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生探究電壓為定值的情況下電流和電阻之間的函數(shù)關(guān)系，可考查學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)增減性的掌握情況。題目從方程提升到不等式，循序漸進(jìn)地滲透建模思想，有利于拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

三、拓展性作業(yè)，發(fā)展思維

拓展性作業(yè)應(yīng)側(cè)重實(shí)踐性、綜合性，并且要有一定的難度。反比例函數(shù)在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，教師可結(jié)合交通流量問題設(shè)計(jì)相關(guān)拓展性作業(yè)，如安排查找資料等實(shí)踐環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生了解車流量[f]的含義，學(xué)會(huì)測(cè)量車輛的平均速度[v]和前后兩車車頭之間的平均距離[d]。

該拓展性作業(yè)對(duì)初中生來說有一定的難度，學(xué)生對(duì)研究對(duì)象知之甚少，對(duì)研究路徑比較陌生，對(duì)研究方法也不熟悉，需要教師適當(dāng)引導(dǎo)，為學(xué)生選定研究對(duì)象、制定變量調(diào)查表。筆者選擇襄陽市區(qū)的一條單向車道作為研究對(duì)象，并提供如下助學(xué)資料，引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)和記錄。

建議以路標(biāo)P為標(biāo)志物，分時(shí)間段（每5分鐘為1個(gè)時(shí)間段）在表格（表略）中記錄某日上午8：00—8：30高峰時(shí)段經(jīng)過該路標(biāo)的車輛數(shù)及車輛型號(hào)（建議拍照收集）。

學(xué)生可根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算該車道在該高峰時(shí)段每秒的車流量。教師可引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)，探究車流量[f]、平均速度[v]和前后兩車車頭之間的平均距離[d]之間的關(guān)系。表面上看，交通流量會(huì)隨著車輛速度增加而加大，但是兩輛行駛中的車輛需保持適當(dāng)?shù)木嚯x，我們稱這段距離（前車車尾至尾隨車車頭之間的距離）為“停車距離”，記為[s]，車輛長(zhǎng)度記為[l]，則[d=s+l]，所以[f=vs+l]。在交通擁擠的情況下車距往往很小，我們可認(rèn)為停車距離[s]遠(yuǎn)小于車長(zhǎng)[l]，交通流量[f]近似等于[vl]。在此基礎(chǔ)上，教師可設(shè)計(jì)如下作業(yè)題。

5.根據(jù)前期調(diào)查及數(shù)量關(guān)系分析，作答如下問題。

（1）若平均車長(zhǎng)是4.8m，平均速度為15m/s。根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算該車道在該高峰時(shí)段每秒的車流量。

（2）小明根據(jù)觀測(cè)結(jié)果提出建議：若保持車輛的平均速度不變，在高峰時(shí)段應(yīng)提前對(duì)要進(jìn)入襄城區(qū)的車輛進(jìn)行分流（“分流”指讓部分車輛改行其他路段）。你認(rèn)為他的建議合理嗎？請(qǐng)說明理由。

（3）請(qǐng)你給出緩解本市交通擁擠的方案。

問題（1）給出具體的數(shù)值，讓學(xué)生通過計(jì)算進(jìn)一步了解[f]、[v]、[d]之間的關(guān)系；問題（2）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)[f]、[v]、[d]的關(guān)系式，預(yù)判交通流量；問題（3）是一個(gè)開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考緩解交通擁擠的方案。完成此項(xiàng)拓展性作業(yè)，學(xué)生需要經(jīng)歷設(shè)計(jì)方案、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、解決問題等學(xué)習(xí)過程，有助于他們深入認(rèn)識(shí)實(shí)際生活中的反比例變化規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性，提升綜合素養(yǎng)。

此外，教師可布置積累性作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生自主積累與反比例函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)文化方面的材料，如最早提出反比例概念的是古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯，他觀察到某些物理量的變化趨勢(shì)與其相關(guān)量的變化趨勢(shì)呈現(xiàn)相反關(guān)系等，以更好地感悟數(shù)學(xué)文化的魅力。

（作者單位：襄陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)）

責(zé)任編輯? 劉佳