大單元視角下“一次函數”課程 目標設計與內容整合

彭敏 余冬晴

彭敏，湖北省特級教師，襄陽市隆中名師工作室主持人，出版專著《基于整體觀的初中數學教學實踐》。彭敏帶領工作室成員聚焦單元整體教學研究，探索出“三階”課例研究模式，即通過研究精品課例明晰一節課的特點，通過研究專題課形成一類課的教學模式，通過課例研究課題化探索一種教學主張。工作室成員在全國初中數學青年教師優秀課展示活動中三次執教展示課，執教的20余節課獲省級及以上優質課（精品課）獎項。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》 指出，課程內容組織的重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。大單元教學設計應致力整體規劃和設計具有相同本質或內在關聯的課程內容，以凸顯知識體系的邏輯性和整體性，確保教學的連貫性和流暢性，促進學生數學核心素養發展。本文基于人教版數學八年級下冊《19.2一次函數》課程內容，探索大單元視角下課程目標的設計與課程內容的整合。

一、研讀課程標準，分析單元教學要素

在“數與代數”知識板塊中，一次函數是連接前后知識的橋梁，是第四學段學生必須深入掌握的核心數學知識。一次函數相關知識不僅能為二次函數和反比例函數等復雜函數的學習奠定基礎，還有助于學生理解物理學、化學等學科中的數量關系。

一次函數作為最基本的函數類型，是學生學習函數知識的入門課程。課程標準對第四學段學生提出“會用代數式、方程、不等式、函數等描述現實問題中的數量關系和變化規律，形成合適的運算思路解決問題；形成抽象能力、模型觀念，進一步發展運算能力”等目標要求。教師要引導學生利用一次函數描述實際情境中關聯量的動態變化關系，建構模型觀念和符號意識；研究具體數量與一次函數圖象之間的內在聯系，感悟數形結合思想，發展抽象能力；應用一次函數解決問題，逐步領悟函數原理，提高運算能力。

課程標準分別針對一次函數的意義、一次函數的圖象、一次函數與二元一次方程的關系、一次函數的應用等提出如下四點針對性要求。①能結合具體情境體會一次函數的意義，根據已知條件確定一次函數的表達式；會運用待定系數法確定一次函數的表達式。②能畫一次函數的圖象，根據圖象和表達式[y=kx+b（k≠0）]，探索并理解[k>0]和[k<0]時圖象的變化情況；理解正比例函數。③體會一次函數與二元一次方程的關系。④能用一次函數解決簡單實際問題。由此可見，大單元視角下一次函數的教學可以分為函數建模、函數性質、函數應用三個維度。函數建模要從實際問題出發引出一次函數、正比例函數的概念，為下面探究函數的圖象與性質奠定基礎；函數性質的學習要循序漸進，借助直觀圖象探究一次函數的性質，體會一次函數與二元一次方程之間的關系；函數應用要求學生借助函數分析與解決實際問題。在此基礎上，筆者從“四基”角度歸納出如下大單元視角下一次函數的教學目標。基本知識：理解一次函數的概念、解析式、圖象和性質。基本技能：會畫一次函數（包括正比例函數）的圖象，能結合圖象討論函數的增減性；能利用一次函數分析和解決簡單實際問題。基本思想：體會并應用數形結合思想、變化與對應思想和建模思想。基本活動經驗：經歷根據實際問題建立數學模型、求解模型并進行驗證與反思的學習過程，體會一次函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型，初步建立模型觀念。

綜上，大單元視角下一次函數的教學要從變化和對應的函數觀點引入一次函數的概念，接著研究其圖象、性質及應用，讓知識和技能的學習蘊含在問題探究的過程中，引導學生在真實的問題情境中發掘和提煉一次函數相關知識，深化對線性運算的認識，發展數學思維，豐富學習體驗，以整體落實上述“四基”目標，并使之與學生核心素養的發展融為一體。

二、分析學情，把握單元教學重難點

雖然一次函數對學生來說是一個全新的知識領域，初次接觸理解起來可能有困難，但是，學生在小學階段已經對正比例關系和反比例關系有了初步探索，具有一定的識圖與讀圖能力。初中階段，學生通過數軸、方程、平面直角坐標系等內容的學習，已經體會到數形結合思想的妙用，增強了抽象能力。從教材編排角度講，在一次函數內容之前，教材編排了變量與函數、函數的圖象兩部分內容，通過學習這些內容，學生已經初步了解變量與函數的概念，初步掌握解析法、表格法和圖象法等刻畫函數的方法。這些知識與經驗都是學生學習一次函數的有力支持。

在一次函數的學習中，學生需要重點掌握數形結合這種特殊的思維運算方式。這意味著他們需要將抽象的數學符號與直觀的圖形相結合，在符號語言和圖形語言靈活切換的過程中深入理解一次函數的本質和特性。然而，在學生的認知結構中，數與形往往單獨存在，它們之間缺乏必要的聯系和互動。因此，教師在教學中要注重將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，從而降低學習難度，幫助學生提高抽象能力，發展幾何直觀，建立模型觀念。

三、整合課程內容，規劃單元課時任務

“一次函數”概念的呈現應該是一個典型的數學建模過程，其學習過程一般要從具體的實例出發，從中提煉出抽象的規律，也就是要將文字描述轉變為符號化表達。教材用多個例子說明一次函數的實際背景，大量的實際問題中變量之間具有形如[y=kx+b（k≠0）]的一次函數關系，學生需要仔細審視眾多同類型數量關系的不同實例，從中發掘它們共有的本質和特性，還需要運用分類和對比等方法探究正比例函數和一次函數兩個不同概念的內在關聯。正比例函數和一次函數都是根據函數的解析式定義的，都屬于初等函數中的一元多項式函數。當b=0時，一次函數就是正比例函數。正比例函數圖象經過平移可以得到一次函數圖象，一次函數的增減性與相對應的正比例函數相同。可見，正比例函數是一次函數的特例，但它們沒有必然的邏輯順序。教材出于從特殊向一般推廣的考慮，首先編排了正比例函數的內容，討論了這種函數的定義、圖象與性質，然后以此為基礎，繼續呈現一次函數的定義、圖象與性質、解析式求解（待定系數法），及其與方程、不等式的關系。

為讓學生以歸納思維形成概念，整體構建數學認知結構，筆者將教材中“一次函數”課程內容進行整合，劃分為6個課時：以學生的直接經驗為基礎，將正比例函數定義和一次函數定義的教學合并為第1課時，正比例函數和一次函數的圖象與性質納入第2課時，第3課時則是圖象與性質的綜合運用，第4課時教學用待定系數法求一次函數的解析式，第5課時從一次函數的角度重新分析方程、不等式、二元一次方程組，第6課時通過單元小結與復習構建相對完整的知識體系。由此，筆者概括出“下定義（課時1）—畫圖象（課時2）—歸納性質（課時3）—解決問題（課時4、5）—體系重構（課時6）”的一次函數研究路徑，確定了數形結合的研究方法。這種研究函數的路徑和方法具有一般性，可遷移運用于其他函數模型的研究，有利于學生舉一反三、觸類旁通，更加系統化、整體化地研究其他函數。

（作者單位：襄陽市實驗中學教育集團）