含參量一階線性時變常微分系統(tǒng)狀態(tài)的幾個性質(zhì)

摘要：文章針對含參量線性時變常微分系統(tǒng)，研究其參變量對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，并探求含參變量的微分系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)。基于參變量集合的特點和點集 Hausdorff 距離，主要得到以下兩方面的結(jié)果：其一，在參變量集非空條件下，線性時變常微分系統(tǒng)狀態(tài)集是凸緊的；其二，在 Hausdorff 距離意義下，含參量時變常微分系統(tǒng)的狀態(tài)依時間是連續(xù)的。

關鍵詞：線性時變常微分系統(tǒng)；含參變量；系統(tǒng)狀態(tài)；凸緊；連續(xù)

中圖分類號：O193"""""""""""" 文獻標識碼：A""""""""" 文章編號：1009-3583（2024）-0084-04

Several Properties of the State of First-order Linear Time- varying Ordinary Differential Systems with Parameters

CHEN Zhang-hong

（No.57 Middle School of Zunyi， Zunyi 563006， China）

Abstract： The article focuses on linear time-varying ordinary differential systems with parameters， investigates the influence of their par- ameter variables on the system state， and explores the properties of the differential system state with parameter variables. Based on the characteristics of the parameter set and the Hausdorff distance of the point set， the following two results are mainly obtained： firstly， un- der the condition of non 1 parameter set， the state set of linear time-varying ordinary differential systems is convex and compact; sec- ondly， in the sense of Hausdorff distance， the state of a time-varying ordinary differential system with parameters is continuous over time.

keywords： linear time-varying ordinary differential systems; parameter; system state; convex tightness; continuity

對于常微分系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的可解性、如何求解微分方程系統(tǒng)、微分系統(tǒng)的數(shù)值解以及解的性質(zhì)都是微分方程研究的核心問題，其研究也是微分方程在實際中得以應用的前提[1-5]。在微分方程的實際應用中，系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)是工程人員常關注的重點之一，因為不管是在討論微分方程解的存在性，還是在計算微分方程數(shù)值解時都會一定程度上依賴于系統(tǒng)狀態(tài)集的緊性、凸性以及有界性等性質(zhì)[2-4]。微分系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)甚至對系統(tǒng)的穩(wěn)定性都具有決定性意義。另外在微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題中，微分系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)對于解決微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題也具有重要意義[6，7]，因為最優(yōu)控制問題的目標泛函通常情況下是一個泛函極值問題，而泛函的極值在很大程度上依賴于泛函中函數(shù)的性質(zhì)，這里所謂的泛函中的函數(shù)實質(zhì)上就是控制系統(tǒng)中狀態(tài)變量，所以一階線性常微分方程狀態(tài)的性質(zhì)就在某個層面上決定了最優(yōu)控制問題中諸多問題的解決，尤其對于探究微分系統(tǒng)時間最優(yōu)控制問題更是如此[8-10]。微分系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)除了受系統(tǒng)的線性性與非線性性的影響，還會受到微分系統(tǒng)的階數(shù)的制約[3，4]。對于非線性常微系統(tǒng)的研究，不管是一階還是高階的系統(tǒng)，其解的存在性目前都沒有有效的判斷方法，更不用說系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)[4]。對于線性常微系統(tǒng)而言，不管是一階還是高階都可以通過變換的方式將其轉(zhuǎn)化為一個一階線性的微分方程組。尤其，對于常系數(shù)的線性一階常微分系統(tǒng)，利用初等積分的方式就已經(jīng)能夠得到其狀態(tài)的具體表達形式，因此這個具體的公式也就成了討論其系統(tǒng)狀態(tài)性質(zhì)的有效載體[1，2]。然而對于一階時變線性微分系統(tǒng)，雖然其解也有某種特定結(jié)構(gòu)上的表達形式[2，3]，但有關研究其具體的狀態(tài)性質(zhì)目前還鮮有文獻介紹。對于含參變量的一階線性時變微分系統(tǒng)，了解其系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)能更好地幫助大家理解和處理一些與線性一階時變微分系統(tǒng)有關的問題，諸如其在控制系統(tǒng)、信號處理和動力學等領域中的應用[7-10]。

本文主要針對含參量的一階線性時變常微分方程，其具體形式如下

（1）

其中M（t ）R?，Nt ）R *， UR ，研究系統(tǒng)中參變量 u 對系統(tǒng)（1）中狀態(tài)y（t）的影響，并基于系統(tǒng)狀態(tài)y（t）的相關分析，探究其性質(zhì)。

為了后面問題敘述和討論的方便，下面先給出凸集、緊集、半連續(xù)和 Hausdorff 度量等幾個對應相關的概念以及與后面問題討論有關聯(lián)的 Caratheod- ory 定理和Filippov 引理。首先，給出下面兩個定義。

定義1[5] 設集合K Rn ，

i）如果，其中且 a+β=1，則稱集合 K 是凸的，或稱集合 K 為凸集；

ii）如果它既是有界的又是閉的，則稱集合 K 是緊的，或稱集合 K 為緊集；

iii）包含K 的最小凸（閉）集稱為集合K 的凸（閉）包，記為 coK（coK）。

定義2[6] 對于 Rn 中的任何非空子集 P、Q 定義

其中，記為由 Rn 中所有非空緊集構(gòu)成的集合族，則由上面定義的定義了上一個距離，也稱之為 Hausdorff 距離。

除了上述定義，有關一階線性時變常微分系統(tǒng)狀態(tài)的研究常需要考慮狀態(tài)集合的凸性。而在通常情況下，我們習慣用一個特定集合的凸包來刻畫一個凸集，這就提供了一種用凸組合的形式來判斷集合是凸的常用手段。下面需要介紹一個與之密切相關的 Caratheodory 引理。另外在探求含參變量微分系統(tǒng)可解性時，需要一個表明函數(shù)存在性的Filippov 引理來判斷在一定條件下存在一個可測的函數(shù)，使得其滿足某種特定的關系。

引理1[5]（Caratheodory 引理）設s=R\"，xecos，則

存在x，es 以及α，≥0（≤i≤n）使得x=∑a

引理2[5]（Filippov 引理）

設 滿足：對任何te[0，Tl，u（t）是緊集；進一步，它是上半連續(xù)的，即對任何。e[0，T]，≥0，存在6=6（，）≥0，使得當時，。設f：[0，T]×R\"→R連續(xù)，\"Y（）：[0，T]→R\"可積，且 ， a.e. ， 則存在一個可測函數(shù)u（）e[0，T]→R\"使得u（t）eu（t，）f（tM（）） ， a.e. 。特殊情況下，如果不依賴于 t，它自然是上半連續(xù)的。

一、有關線性時變常微分系統(tǒng)狀態(tài)性質(zhì)的幾個結(jié)果

為了討論的方便，不失一般性，對線性時變系統(tǒng)常微分系統(tǒng)（1），通常可以令 t0=1，考察其如下相應形式的系統(tǒng)

其中te[0，T]，VTgt;0。根據(jù)常微分系統(tǒng)求解公式，有系統(tǒng)（2）的狀態(tài)可以表示為

其中，而滿足

為了后續(xù)關于系統(tǒng)狀態(tài)表述的方便，0，對初始狀態(tài)（0，y0）的系統(tǒng)（2），不妨設該系統(tǒng)的狀態(tài)集為

（3）

其中y（T0，y，u是系統(tǒng)（2）的通解。

考慮到系統(tǒng)（2）受參數(shù)u 的影響，首先探究參數(shù) u 性態(tài)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響。對于考察參數(shù) u 性態(tài)對系統(tǒng)（2）狀態(tài)的影響程度，先研究參數(shù)u 所對應的集合 U 狀態(tài)很一般的非空情況下系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集 S（Tr，0，y）的性質(zhì)；再討論參數(shù)u 所對應的集合 U 狀態(tài)很特殊的非空且凸緊情況下系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集 S s（r，0，y）的性質(zhì)；最后探究參數(shù)所對應的集合狀態(tài)介于前后兩者之間的非空緊的情況下系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集s（r，0，yn）的性質(zhì)。基于系統(tǒng)的線性性，首先發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集合具有如下性質(zhì)。

命題1若U Rm是非空集合，則系統(tǒng)（2）的狀

態(tài)集S（T，0，Y）是凸集。

證明：設1 2∈

顯然有，因此是凸的，故命題得證。

集合的凸與緊是集合兩個重要的性質(zhì)，具有廣泛的應用。

命題1中由于只考慮到集合U非空所得到的系統(tǒng)狀態(tài)集s（r0，y）的凸性，并不能很好地反映出參變量 u 對系統(tǒng)（2）狀態(tài)完整的影響。為了進一步考察狀態(tài)集S（T0，Y）的緊性，同時為了降低討論問題的復雜程度，我們不妨先將含參量u（t）所在集合U 限定在一個約束較強的情況下，令一階線性時變含參量微分系統(tǒng)（2）中的參變量 u（t）所在集合 U 是凸緊的，則發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集合s（r，0，yu）具有如下的性質(zhì)。

命題2

在命題1中已經(jīng)知道即便U沒有凸性，系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集合s（r，0，y）也具有凸性；結(jié)合命題2，不妨將 U 的條件降低到U也只是非空的，但具有緊性，考察一下系統(tǒng)（2）的狀態(tài)集s（r，0，y）是否也有緊凸性。事實上，如果參變量 u（t）所在集合 U 是非空緊集，則系統(tǒng)狀態(tài)集s（T，0，yu）有如下的性質(zhì)。

命題3

證明：

最后，由于系統(tǒng)（2）是時變的，因此其狀態(tài)也是一個與時間相關的量，而命題3已經(jīng)表明態(tài)集 S（r，0，y）既是凸的，又是緊的。對于一個隨著時間變化而變化的凸緊集，如果它對于時間的變化具有特殊的性質(zhì)，那將給與系統(tǒng)狀態(tài)賦予特別的性質(zhì)，拓寬其應用前景。由于系統(tǒng)的狀態(tài)是一個關于時間變化的凸緊集，基于集合間的 Hausdorff 距離，對一階時變含參量線性微分系統(tǒng)（2），容易發(fā)現(xiàn)其狀態(tài)在Hau- sdorff 距離下是連續(xù)的，即具有如下的性質(zhì)。

命題4

證明：

二、總結(jié)

從上面的幾個結(jié)論可以看到，一階線性時變含參變量常微分系統(tǒng)的狀態(tài)在系統(tǒng)中參變量的影響下，其狀態(tài)集合s（r，0.y）保持了參變量 u （t）所在集合 U 的緊性，其凸性與參變量 u （t）所在集合 U 的性質(zhì)無關，只要它是非空即可，另外進一步發(fā)現(xiàn)時變系統(tǒng)的狀態(tài)集合在 Hausdoff 距離意義下關于時間 t 的連續(xù)性。

雖然線性時變微分方程系統(tǒng)解的存在性以及解的表達形式都已經(jīng)解決了，但是在解決很多實際問題時，需要更多的是深入了解所討論系統(tǒng)狀態(tài)的性質(zhì)。尤其是上述討論的狀態(tài)集合的凸性、緊性以及系統(tǒng)的狀態(tài)集合在 Hausdoff 距離意義下關于時間 t 的連續(xù)性。這些特性對處理一些優(yōu)化和控制問題具有重要的意義，尤其系統(tǒng)的狀態(tài)集合在 Hausdoff 距離意義下的連續(xù)性對利用 Hilbert 空間理論以及變分原理來處理一些微分系統(tǒng)的優(yōu)化或者最優(yōu)控制問題、信號處理問題以及一些動力系統(tǒng)的數(shù)學模型問題都具有重要的意義。

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（責任編輯：羅東升）