指向核心素養的初中數學大單元教學設計的實踐與研究

徐彬

［摘? 要］ 指向核心素養的大單元教學設計需整合教材內容，根據學生實際認知水平設計教學方案. 研究者從大單元教學設計的前期準備出發，以“完全平方公式”的教學為例，分別從如下幾方面談談實踐與感悟：舊知復習，新課導入；新知構建，形成體系；舉例應用，鞏固提升；背景拓展，深化理解.

［關鍵詞］ 核心素養；大單元；教學

對知識點的“了解—識記—理解—應用”已經無法滿足核心素養背景下的數學教學目標，新課標引領下的數學教學將培養學生的關鍵能力、數學品格與價值觀等作為教學的主要任務，這就要求學生關注知識間的聯系，能用所學知識來正確、持續地處理問題. 大單元教學也在這種背景下誕生.

大單元教學是指從知識層面出發，將具有一定聯系的小單元整合在一起，形成一個整體性的大單元來實施教學，學生在這種背景下從整體上把握知識結構，理解知識間的聯系. 那么，究竟哪些內容適合應用大單元教學呢？實踐發現，“完全平方公式”這部分內容相對獨立，應用大單元教學效果頗佳.

大單元教學設計的前期準備

1. 怎樣確定大單元

以學期大單元的確定為例，一般需結合如下三點來確定大單元：①認真研讀教材，觀察知識結構，弄清課標要求與學生的實際認知水平，借助可利用的教學資源在規定課時內確定單元數量；②根據數學核心素養所提出的要求，分析大單元名稱與邏輯關系，思考是以大項目、大問題、大觀念，還是以大任務來統率教學；③一個大單元至少要對接一個明確的核心素養，并按照某種邏輯、項目、觀念或問題將知識結構化.

2. 如何設計大單元

當確定了學期大單元的數量與名稱后，教師就可帶領學生設計教學方案，這種方案講究結構性與完整性. 一般情況下，設計大單元方案時需交代清楚如下六個問題：①名稱與課時；②教學目標；③評價任務；④學習過程；⑤練習訓練；⑥學后反思. 滿足以上六點的教學方案體現了大單元教學的專業性，整個過程都以學生為中心，從希望學生“學會什么”轉化為“何以學會”，這為發展數學核心素養奠定了基礎.

3. 任務的介入方法

傳統的雙向細目表、識記、理解或簡單應用等都無法從真正意義上發展學生的數學核心素養. 指向核心素養的數學教學體現的是真實學習，需將真實的情景與任務介入課堂中，啟發學生的思維. 這里的“真實”存在如下幾層意思：①將真實世界直接應用到課堂中，踐行數學生活化的理念；②踐行“知行合一”的學習理念，讓學生體悟知識源自真實情境；③讓學生實實在在地“做事”是評估核心素養的主要措施.

實施措施

1. 舊知復習，新課導入

問題1請大家回顧多項式與多項式相乘的法則，說一說是怎樣用字母表示的？又是如何用幾何圖形表示的？

此為引導學生提取舊知的問題，簡單多項式與多項式相乘的運算法則用字母表示為：x+p（y+q）=xy+xq++pq+py；用幾何圖形表示見圖1.

問題2圖1所展示的四個長方形，若將其中一個轉化成正方形，也就是當x=y時乘法公式會不會發生變化？怎樣變化？

此問的結論為：在x=y的時候，乘法公式則轉化為（x+p）（x+q）=x2+qx+pq+px=x2+（p+q）x+pq.

設計意圖這兩個問題意在引發學生回顧整式乘法法則，大部分學生并沒有意識到這兩個問題對研究完全平方公式具有什么作用，教師以這兩個問題作為教學的鋪墊，可為接下來的教學奠定基礎.

問題3請分別結合如下條件求（x+p）（x+q）的值，同時分析p，q的值.

①p=1，q=-1；②p=，q=-；③p=-2m，q=2m；④p=-m，q=m.

設計意圖學生自主解決此問時，會發現每一個結論均以平方差的形式呈現，當p，q互為相反數的時候，獲得平方差公式為（a+b）（a-b）=a2-b2. 顯然，此問有效揭露了教學主題，為接下來的探索明確了方向.

2. 新知構建，形成體系

問題4p，q互為相反數屬于特殊情況，若p，q相等，會怎樣呢？

解析若p=q，（x+p）（x+q）則可轉化為完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，讓學生體會（a+b）2的值的產生原理：結合乘法公式或將（a-b）2視為［a+（-b）］2來運算，可得（a-b）2=a2-2ab+b2.

設計意圖此問的提出，意在將平方差公式和完全平方公式從真正意義上融進整式乘法這個大單元中，揭露它們之間的關系為：完全平方公式與平方差公式，這兩者均為整式乘法中的特殊類型，由此引導學生體悟章節知識的系統性與連貫性特征.

問題5嘗試總結完全平方與平方差公式等號兩邊的結構特征，并用數學語言來表達完全平方公式.

根據式子（a+b）2=a2+2ab+b2與（a-b）2=a2-2ab+b2，學生自主總結出等號左邊為二項式的平方，右邊都是三項式，且均含有兩項乘積的2倍與平方和. 由此學生用文字語言表述為：兩個數的和或差的平方等于這兩個數的平方和加或減掉它們乘積的兩倍.

設計意圖類比分析不僅讓學生明確了完全平方與平方差公式的一般形式，還進一步強化了學生對公式意義的理解，學生在此過程中通過合作交流不僅獲得了團隊協作意識，還進一步發展了邏輯思維，提升了學力.

3. 舉例應用，鞏固提升

例1請用完全平方公式來計算下列各式：

①（3x-3）2；

②（3x+4y）2；

③

3x-2.

設計意圖三個典型式子的提出，一方面鞏固學生對完全平方公式的理解與應用，另一方面考查學生的應變能力，讓學生的思維隨著式子的變化拾級而上，促使學生通過解題進一步明確公式中的a，b所對應的量，這是發展數學運算能力的基礎.

鞏固提升（1）判斷下列式子是否正確，若存在錯誤，請在括號內改正.

①（x+3）2=x2+9（? ? ?）；②（3m-2）2=3m2-12m+4（? ? ?）；③

x+42=x+2x+16（? ? ?）；④（-a-3）2=a2-6a+9（? ? ?）.

設計意圖易錯問題羅列到一起讓學生自主辨析，可幫助學生更好地理解公式的內涵. 這四個式子均不正確，存在的問題分別為：式子①將2·x·3漏掉了；式子②沒有把“3m”視為整體；式子③遺漏了2·x·4中的系數2；式子④為常見錯誤類型，沒有將公式中的a，b分別代表誰搞清楚.

（2）計算下列各式：

①

2xy+x2；②（n-2）2-n2.

設計意圖這兩道計算題具有一定的代表意義，屬于易錯類型. 教師選擇一些典型計算過程進行投影，以引導學生自主思辨正確的計算方法. 對于式子②，可用完全平方公式進行計算，也可借助平方差公式的逆運算進行計算. 教師將不同方法展示出來，引導學生切身感知不同計算方法的優劣勢，以進一步培養學生的運算素養與思辨能力.

4. 背景拓展，深化理解

問題6平方差公式存在一定的幾何背景，那么完全平方公式能不能通過幾何圖形來驗證呢？

活動1要求學生用課前準備好的4張A套卡片進行拼接擺放，形成一個正方形，圖形間不可存在重疊或空隙.

如圖2，學生自主擺放，最終形成的大正方形面積存在如下兩種計算方法：①用直接法計算，S=（a+b）2；②用間接法計算，S=a2+2ab+b2. 根據這兩個式子，可確定（a+b）2=a2+2ab+b2.

活動2要求學生用課前準備好的3張B套卡片拼出一個大正方形，圖形間允許出現重疊情況.

學生自主擺放，如圖3所示，確定重疊部分的面積是b2，那么面積計算方法有：①用直接法列式為S=（a-b）2；②用間接法列式為S=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.

問題7通過以上分析，大家說說完全平方公式間具有什么聯系，請嘗試推導這種聯系間的數量關系.

學生自主思考并討論，列式為：（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a-b）2=a2-2ab+b2.通過類比分析，一致得出如下結論：（a-b）2較（a+b）2少4ab，也就是（a-b）2=（a+b）2-4ab.

活動3要求學生用課前準備好的4張C套卡片來擺放大正方形，圖形間不可存在重疊情況，允許有空隙存在.

如圖4，拼接而成的大正方形面積為中間空白部分的面積加上四個長方形的面積，即S=S+4S，也就是（a+b）2-（a-b）2=4ab.

設計意圖? 《義務教育數學課程標準（2022年版）》再三強調“數學實驗”的重要性，明確提出教師應創造條件為學生提供動手操作的機會，讓每個學生都能在實操中動手動腦，提升創新意識. 此環節，教師提出不同拼圖要求，讓學生切身感知完全平方公式的幾何意義，這對發展學生的抽象素養、邏輯推理能力、直觀想象力等均有重要價值.

問題8以小組為單位，設計（a+b+c）2的幾何圖形，說說你們由此獲得的結論.

學生基于（a+b）2=a2+2ab+b2，自主發現了（a+b+c）2的本質就是將原本以（a+b）作為邊長的正方形進行擴充，形成邊長為a+b+c的正方形（見圖5），那么（a+b+c）2=a2+2ab+b2+2ac+c2+2bc.

設計意圖問題背景的拓展進一步發散了學生的思維，讓學生對完全平方公式形成了更深刻的理解與靈活應用. 除此之外，教學拓展也有效促進了數學核心素養的形成與發展.

實踐感悟

指向核心素養發展的大單元教學的備課，需將當堂課置于該單元、整本教材或整個中學階段數學體系中進行設計，以引導學生從真正意義上理解知識特點、作用與地位等，為提升學力，發展核心素養奠定基礎.

完全平方公式和平方差公式從本質上來說，均隸屬于整式乘法范疇中的兩種特殊情況，即（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，當p，q互為相反數時，可將乘法公式轉化為平方差公式；而當p，q相等時，又可將乘法公式轉化成完全平方公式. 事實上，教師將這兩種特殊情況羅列出來，引導學生從不同的角度與整體的視角來理解完全平方公式以及平方差公式，而非將它們割裂. 這也是大單元教學的意義所在.

回顧本節課的活動3，該環節討論的是（a+b）2和（a-b）2之間存在怎樣的聯系，應用代數法能發現它們之間所包含的數量關系，而通過對幾何圖形面積的研究，可進一步強化學生對這種聯系的認識. 如圖6所示，將四個長方形的對角線依次連接，獲得勾股定理的證明圖形. 這一發現，讓課堂充滿了生機與活力.

總之，大單元教學需跳出課堂的局限性，應立足于教情、學情與考情，結合教學內容的特點從宏觀的角度進行教學設計，這是提升課堂教學質量，發展數學核心素養的重要途徑.