平拋運(yùn)動(dòng)的兩種題型

孫守媛

摘?要：平拋運(yùn)動(dòng)是生活中常見(jiàn)的拋體運(yùn)動(dòng)，也是考試中常考的考點(diǎn).處理平拋運(yùn)動(dòng)的方法主要是正交分解，一般都是水平和豎直方向上的分解，但如果是在斜面上的拋體，可以選擇沿斜面和垂直斜面方向上的分解.文章先研究平拋運(yùn)動(dòng)，并給出研究平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法，最后給出其應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：平拋運(yùn)動(dòng)；正交分解；水平方向；豎直方向；斜面

中圖分類號(hào)：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1008-0333（2024）13-0117-03

平拋是常見(jiàn)的拋體運(yùn)動(dòng)，在不考慮阻尼的情況下，它有簡(jiǎn)單的物理規(guī)律和結(jié)論.在有限的區(qū)域內(nèi)，重力加速度可以視為不變，不必考慮距離變化帶來(lái)的加速度變化，而且由于它是在有限區(qū)域發(fā)生的拋體運(yùn)動(dòng)，可將地面處理為平面.平拋運(yùn)動(dòng)按解題方法可分為兩種題型，一種是水平和豎直方向上的分解，另一種是沿斜面和垂直斜面方向上的分解.

1 題型一：水平和豎直方向上的分解

運(yùn)動(dòng)是具有相對(duì)獨(dú)立性的，即在正交坐標(biāo)系中，y方向的受力不影響x方向的運(yùn)動(dòng)，反之亦然.所以我們往往把平拋運(yùn)動(dòng)按照水平和豎直兩個(gè)方向分解.

如圖1所示，可以寫(xiě)出水平和豎直方向的速度分別為vx=v0，vy=gt，則根據(jù)速度矢量三角形的特征，角度θ滿足

tanθ=vyvx=gv0t

寫(xiě)出位移的兩個(gè)分量，分別為x=v0t，y=12gt2.則其特征角度滿足

tanα=yx=g2v0t圖1?水平和豎直方向上的分解

注：（1）tanθ=2tanα，說(shuō)明v的反向延長(zhǎng)線必然平分水平位移x，這在勻強(qiáng)電場(chǎng)的類平拋運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用很多，這里不做展開(kāi).

（2）消去變量t，可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y（x）=g2v20x2，我們把此方程叫作物體的軌跡方程，它是一條拋物線.

例1[1]?（2012年北約考試第11題）小球從臺(tái)階上以一定的初速度水平拋出，恰好落到第1級(jí)臺(tái)階的邊緣，反彈后再次落下，經(jīng)過(guò)t=0.3 s恰好落到第3級(jí)臺(tái)階的邊緣，已知每級(jí)臺(tái)階的寬度和高度均為L(zhǎng)=18 cm，且小球反彈時(shí)水平速度不變，豎直速度反向，大小變?yōu)樵瓉?lái)的14.求：

（1）小球拋出時(shí)的高度h0和距離第1級(jí)臺(tái)階邊緣的水平距離x0；

（2）小球是否會(huì)落到第5級(jí)臺(tái)階上？ 請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析?（1） 如圖2所示，設(shè)小球平拋的初速度為v0，它平拋到第1級(jí)邊緣（記為A點(diǎn)） 的速度分量分別為vx和vy，由題意可知碰撞后的速度分量為vx和vy′=14vy.

小球從A到第3級(jí)臺(tái)階邊緣（記為B點(diǎn)）的過(guò)程中，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng).因此在水平方向上：2L=vxt，可得vx=2Lt=1.2 m/s；豎直方向上：-2L=vy′t-12gt2，可得vy′=0.3 m/s.

所以小球落到A點(diǎn)時(shí)速度分量為

vx=1.2 m/s，vy=4vy′=1.2 m/s

假設(shè)小球從起拋點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中，所用時(shí)間為t1，則在豎直方向上：

t1=vyg=0.12 s，h0=12gt21=0.072 m.

在水平方向上：

x0=vxt1=0.144 m.

（2）如圖3所示，小球碰到B點(diǎn)的豎直速度vBy滿足

vBy=v′2y+2·g·2L=2.7 m/s

彈后的豎直速度為

vBy′=14vBy=2.74 m/s

假設(shè)它落到第5級(jí)臺(tái)階所在的水平面的時(shí)間為t2，由豎直方向的位移公式得：

-2L=vBy′t2-12gt22

由此解得t2=0.34 s.也就是說(shuō)， 水平位移為

x2=vxt2>2L.

所以不會(huì)落在第5級(jí)臺(tái)階上.

例2?如圖4所示，兩個(gè)孩子爬上高為H的屋頂嘗試水平扔出皮球，甲扔出皮球的軌跡是a， 落點(diǎn)為B；乙扔出皮球的軌跡是b，皮球與地面上A點(diǎn)發(fā)生完全彈性碰撞后又彈起最后也落在B點(diǎn).結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們剛好都經(jīng)過(guò)某個(gè)豎直擋板的頂點(diǎn)，試求此擋板的高度h.

解析

假設(shè)甲、乙兩次平拋的初速度分別為v1和v2，兩次從O到B用時(shí)分別為t1和t2.則t2=3t1.由于它們水平位移相同，故有v1=3v2.

假設(shè)a從拋出到到達(dá)擋板頂端用時(shí)為t1′，由幾何關(guān)系得：

v1t′1-v2·13t2=v213t2-v2t′1

聯(lián)立解得t′1=12t1.

而H=12gt21，H-h=12gt′12

聯(lián)立可得h=34H.

例3?如圖5所示，一個(gè)小球以初速度為v0=

5 m/s從高為H=5 m的墻的上端水平射出， 在距離墻壁為d處有一長(zhǎng)為l=4 m的豎直擋板與墻面平行，擋板的下端距離地面高度為h=1 m，距離O點(diǎn)右端s=1 m處有一個(gè)小坑A.假定小球與墻壁和擋板的碰撞都是完全彈性的，現(xiàn)在左右移動(dòng)擋板設(shè)法調(diào)整d的大小，可以使小球恰好落到坑中，試求d的大小.

解析?首先根據(jù)鏡像原理將小球在墻和板之間的軌跡拓展成如圖6所示的完整拋物線.假設(shè)小球落地之前一共發(fā)生了N次碰撞，有兩種可能：小球最后一次可能是撞墻后落到A點(diǎn)，也有可能是撞到擋板后落到A點(diǎn).但不管如何，小球在空中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間總是t=2Hg=1 s， 它在水平方向的總路程是L=v0t=5 m.分兩種情況來(lái)分析.

（1）如果小球最后一次是與墻發(fā)生碰撞后落到A點(diǎn)，則N必然為偶數(shù)，則有L-Nd=s，所以d=4N.

因?yàn)閾醢宓南虏渴强盏模?/p>

12g（N-1）dv02≤l≤12g（N+1）dv02

也就是要求4N>20N+1，因此求得的結(jié)果是

N<420-4≈8.48

故N可以取得2，4，6，8， 即d有多解，它們分別是2 m，1 m，23 m，12 m.

（2）如果小球最后一次是與擋板發(fā)生碰撞后落到A點(diǎn)，則N必然為奇數(shù)，則有

L-Nd=d-s

所以d=6N+1.

因?yàn)閾醢宓南虏渴强盏模?/p>

12gNdv02≤l≤12g（N+2）dv02

也就是要求6N+1>20N，因此求得的結(jié)果是

N≤206-20≈2.92

所以N只能取得1，即d有單解，是3 m.

綜上所述，d的取值可能是3 m，2 m，1 m，23m，12m.

2 題型二：沿斜面和垂直斜面方向上的分解

如果平拋運(yùn)動(dòng)發(fā)生在斜面，那么沿水平、豎直方向分解，會(huì)比較麻煩，這時(shí)可以考慮沿斜面和垂直斜面方向上的分解，詳細(xì)分析過(guò)程請(qǐng)參考例4.

例4?如圖7所示，足夠長(zhǎng)的斜面傾角為θ，從某處以速度v0水平拋出一個(gè)小球，它最終會(huì)落到斜面上.現(xiàn)在請(qǐng)計(jì)算小球與斜面相距最遠(yuǎn)的距離H.

解析?如圖8所示，沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐標(biāo)系，將v0分解為v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ.

將g分解為gx=gsinθ，gy=gcosθ

所以小球在x方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在y方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng).

t時(shí)刻，y方向的速度為

vy=v0y-gyt=v0sinθ-gcosθ·t

y方向的位移為

y=v0yt-12gyt2=v0sinθ·t-12gcosθ·t2

圖8中A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)是vy=0，所以可求得時(shí)間為t=v0gtanθ，將其代人y方向的位移公式，可得H=v20sin2θ2gcosθ.

3 結(jié)束語(yǔ)

平拋運(yùn)動(dòng)是個(gè)重要的物理模型，作為一線教師，要重視對(duì)物理模型的分析，同時(shí)要學(xué)會(huì)利用正交分解來(lái)解決平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.根據(jù)不同的題型選擇恰當(dāng)?shù)恼环纸夥绞绞墙鉀Q平拋運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：［1］

郭保忠，王春旺.“運(yùn)動(dòng)和力”自主招生典型題目剖析[J].物理教師，2013，34（12）：59-60.

［責(zé)任編輯：李?璟］