“化曲為直”在解答平拋和類平拋問題時的運(yùn)用

謝龍 張巖松

摘?要：有關(guān)平拋、類平拋的題目，可以說是紛繁復(fù)雜，變化萬千.就像風(fēng)箏在空中翻飛、亂竄，而“化曲為直”便是那風(fēng)箏的引線，無論風(fēng)箏飛得多高、多遠(yuǎn)，也無論怎樣變換、花樣迭出，但始終都逃不出風(fēng)箏引線的一線牽.有關(guān)平拋、類平拋的題目就像孫悟空，神秘莫測，變化多端，而“化曲為直”就像那如來佛，縱然孫悟空有七十二般變化，而且能夠騰云駕霧，一個筋斗云十萬八千里，卻始終跳不出如來佛的手掌心.

關(guān)鍵詞：平拋運(yùn)動；類平拋運(yùn)動；化曲為直

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0108-03

平拋運(yùn)動和類平拋運(yùn)動的題目變化萬千，紛繁復(fù)雜，但是無論怎樣變化，萬變不離其宗，解題的思路都是相同的，都可采用“化曲為直”的方法，即將復(fù)雜的平拋運(yùn)動和類平拋運(yùn)動.分解為簡單的兩種相互垂直的直線運(yùn)動，然后再利用運(yùn)動學(xué)公式、牛頓第二定律、動能定理等去求解即可.

1 “化曲為直”在平拋運(yùn)動中的運(yùn)用

例1?在做研究平拋運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)時，讓小球多次沿同一軌道運(yùn)動，通過描點(diǎn)法畫出小球平拋運(yùn)動的軌跡.用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長為L，若小球在平拋運(yùn)動途中的幾個位置如圖1中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計算式為v0=（用L、g表示）.

解?根據(jù)化曲為直的思想，可以將該平拋運(yùn)動分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的自由落體運(yùn)動.

設(shè)時間間隔為t.

由圖示可知：a、b、c三個點(diǎn)間的水平位移為：

x=2L.

在豎直方向上，相鄰兩點(diǎn)間的位移差為：

△y=2L-L=L.

因?yàn)椤鱵=gt2

所以L=gt2①

在水平方向上：x=2L=v0t②

由①②聯(lián)立解得：v0=2gL.

評析

本題是典型的平拋運(yùn)動，初速度方向水平向右，在水平方向上做的是勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上做的是勻加速直線運(yùn)動.這類題屬于常規(guī)題目，學(xué)生很習(xí)慣做這樣的題目，記住利用“化曲為直”的思想去求解即可.

2 “化曲為直”在類平拋運(yùn)動中的運(yùn)用

2.1 初速度沿豎直方向的類平拋運(yùn)動

例2?如圖2所示，真空中x軸上方有一與x軸平行的水平方向勻強(qiáng)電場，一電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向以速度v0豎直向上射入電場，在運(yùn)動中電子正好通過

豎直平面xOy內(nèi)的A點(diǎn)，A點(diǎn)與原點(diǎn)相距L，OA與x軸夾角為θ，已知電子電量為e，質(zhì)量為m，電子的重力不計.

求：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小和方向;

（2）電子到達(dá)A點(diǎn)時的速度大小.

解

（1）根據(jù)“化曲為直”的思想，將電子的運(yùn)動分解為沿初速度v0的方向，即y軸方向的勻速直線運(yùn)動，和與初速度v0垂直的方向，即x軸方向的勻加速直線運(yùn)動.

所以Lcosθ=12Eemt2①

Lsinθ=v0t②

由①②聯(lián)立解得：E=2mv20cosθeLsin2θ

（2） 電子由O到A的過程，根據(jù)動能定理：

EeLcosθ=12mv2A-12mv02③

將上面電場強(qiáng)度E的表達(dá)式代入③解得：

vA=v01+4cotθ2

評析

本題的初速度方向是豎直向上的，而我們常見的、最為熟悉的常規(guī)平拋運(yùn)動是初速度方向水平的，因此這個題的初速度方向和平拋運(yùn)動相比，轉(zhuǎn)動了90°.因此，本題在豎直方向上做的是勻速運(yùn)動，在水平方向做的是勻加速直線運(yùn)動，與平拋運(yùn)動恰好相反.學(xué)生解這樣的題目時會感到很別扭，常常弄反了，要特別注意才行.

2.2 初速度沿一般方向的類平拋運(yùn)動

例3?在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場，柱的橫截面積是以O(shè)為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖3所示. 質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場，速度方向與電場的方向垂直.已知剛進(jìn)入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°.運(yùn)動中粒子僅受電場力作用.

（1）求電場強(qiáng)度的大小；

（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進(jìn)入電場時的速度應(yīng)為多大？

解?（1）由題意知：初速度為零的帶正電粒子由A點(diǎn)開始運(yùn)動，以速率v0從C點(diǎn)穿出電場.

所以電場強(qiáng)度的方向應(yīng)該沿AC，而且由A指向C.

帶電粒子從A到C做的是初速度為零的勻加速直線運(yùn)動.

連接OC，因?yàn)棣?60°，則△AOC為等邊三角形，如圖4所示.圖4?勻加速運(yùn)動的示意圖

由運(yùn)動學(xué)公式得：v20=2aR

而a=Fm=Eqm

所以E=mv202qR.

（2）以初速度方向?yàn)閤軸，入射點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示.因?yàn)榱Ｗ訌腁點(diǎn)射入電場的初速度方向沿x軸正方向，與沿y軸正方向的電場強(qiáng)度垂直，而且粒子只受電場力的作用，所以粒子做類平拋運(yùn)動.

根據(jù)力的獨(dú)立作用原理，粒子沿x軸做勻速直線運(yùn)動，沿y軸做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，且

加速度為a=Eqm=v202R.④

過O點(diǎn)做y軸的平行線，交圓周與D點(diǎn).過D點(diǎn)做圓的切線，該切線與y軸垂直，設(shè)與y軸的交點(diǎn)為F.

則粒子從D點(diǎn)射出時沿y軸方向移動的距離最大，電場力做功最大，動能增量最大.

過O點(diǎn)做y軸的垂線，設(shè)垂足為E.則四邊形ODFE為正方形.如圖5所示.

粒子從D點(diǎn)射出時：

x=Rsin60°=vt⑤

y=R+Rcos60°=12at2⑥

由④⑤⑥聯(lián)立解得：

v=24v0.

評析?第（1）問：

題目中的已知條件“已知剛進(jìn)入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場”是解題的切入點(diǎn)和突破口.提示我們電場強(qiáng)度方向由A指向C，粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)做的是勻加速直線運(yùn)動，再結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律不難求出第（1）問，也為求第（2）問奠定了基礎(chǔ).第（1）問比較簡單.

第（2）問：

題目中的已知條件“帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場，速度方向與電場的方向垂直.”是解第（2）問的切入點(diǎn)和突破口.因?yàn)檫\(yùn)動中粒子僅受電場力作用，所以可以知道粒子做類平拋運(yùn)動.為使粒子穿過電場后的動能增量最大，則需要電場力做功最大.根據(jù)力的獨(dú)立作用原理可知，沿初速度的方向（x軸）做勻速運(yùn)動，沿與初速度垂直的方向（y軸）做勻加速直線運(yùn)動.因此粒子出電場時沿y軸的位移最大時做功最大，動能增量最大.那么怎樣尋找沿y軸的位移最大時的射出點(diǎn)呢？根據(jù)數(shù)學(xué)知識，做與y軸垂直的圓的切線，則切點(diǎn)即為所要尋求的射出點(diǎn).然后利用運(yùn)動學(xué)公式便不難求出入射速度.

這一問與平拋運(yùn)動相比，初速度方向轉(zhuǎn)了一個一般的角度，是一般方向上的類平拋運(yùn)動.學(xué)生不太容易適應(yīng)，難度比較大，難就難在不善于利用“化曲為直”的思想，不會利用力的獨(dú)立作用原理去尋找出射點(diǎn)，不能把求最大動能轉(zhuǎn)化為求y軸上的最大位移.

3 結(jié)束語

在解答平拋運(yùn)動或類平拋運(yùn)動問題時，必須利用“化曲為直”的方法，即將復(fù)雜的曲線運(yùn)動轉(zhuǎn)化為兩個簡單的直線運(yùn)動.再利用運(yùn)動學(xué)公式、牛頓第二定律、動能定理等知識來進(jìn)行求解［1］.“化曲為直”是解平拋運(yùn)動或類平拋運(yùn)動問題的前提和關(guān)鍵.“化曲為直”的依據(jù)是“力的獨(dú)立作用原理”，即物體在某個方向上的運(yùn)動只由這個方向上的合外力來決定，與跟這一方向垂直方向上的力沒有關(guān)系.“化曲為直”實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)中的一種“化繁為簡”的思想，即運(yùn)用各種方法和技巧把復(fù)雜的事物或者難以直接把握的情況轉(zhuǎn)化為簡單的、已知的事物或情況.說穿了，“化曲為直”就是一種巧妙的轉(zhuǎn)換，也是一種非常重要的物理思想，能夠?qū)⑶€變?yōu)橹本€，從而將復(fù)雜的物理過程進(jìn)行簡化和抽象，幫助學(xué)生理解和分析問題，促進(jìn)物理教育教學(xué)［2］.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳慶賀.例析帶電粒子在電場中的運(yùn)動[J].教學(xué)考試（高考物理），2021（01）：67-70.

[2] 李瑞.物理模型在高中物理中的應(yīng)用：以豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動為例[J].數(shù)理化解題研究，2022（03）：125-127.

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