判斷二面角為銳角或鈍角的方法及延伸

趙彬 陳英寧

摘?要：二面角為銳角或者鈍角是高考數(shù)學(xué)立體幾何二面角中的一個(gè)難點(diǎn).通常情況下，我們都是通過觀察得到，或者題目中計(jì)算夾角的正弦值無需判斷.文章通過一道實(shí)例詳細(xì)介紹了二面角為銳角和鈍角的判斷方法.

關(guān)鍵詞：二面角；法向量；叉積

中圖分類號：G632???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0071-03

對于空間向量與立體幾何中的二面角，我們在判斷二面角是銳角還是鈍角的時(shí)候，通常是在圖中直接觀察來作出判斷，但是有些圖形看起來卻不是那么直觀.那么，在教學(xué)中，有沒有更好的方法研究呢？本文以一道高考真題為例，對二面角為銳角或鈍角的判斷方法作如下介紹.

1 真題改編

例1?（2022年新高考全國Ⅰ卷第19題改編）在圖1中，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22.

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的余弦值.

解析?因?yàn)槠矫鍭1BC⊥平面ABB1A1且交于A1B，AA1=AB，連接AB1，則AB1⊥A1B.

所以AB1⊥平面A1BC.所以AB1⊥BC.

由直棱柱知：BB1⊥BC.

所以BC⊥平面ABB1A1.

不妨設(shè)AA1=AB=a，所以

A1B=2a，S△A1BC=12·2a·BC=22.

則BC=4a.

而S△ABC=12·a·4a=2，直棱柱的體積為4，所以a=2，BC=4a=2.

2 方法探究

2.1 定義法直接求解

解析?因?yàn)锳C=22，A1C=23，AD=CD=3，AB=BC=2，所以ΔABD≌ΔCBD.

在圖2中，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，由二面角的定義知：∠AEC即為二面角A-BD-C的平面角

[1].

在△CBD中，根據(jù)計(jì)算得：CE=263=AE，

在△AEC中，cos∠AEC=-12.

2.2 向量輔助法1

解析?在圖3中，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，22，0），D（0，2，1），

BD=（-2，0，1），AB=（2，2，0），BC=（-2，2，0）.圖3?建系示意圖

設(shè)平面ABD和平面CBD的法向量分別為

n1=（x1，y1，z1）和n2=（x2，y2，z2），

則BD·n1=0，AB·n1=0，BD·n2=0，BC·n2=0，

不妨設(shè)x1=1，則y1=-1，z1=2.

令x2=1，則y2=1，z2=2.

所以n1=（1，-1，2），n2=（1，1，2）.

接下來，我們要用向量研究二面角的大小，那如何判斷二面角與兩個(gè)法向量n1和n2之間的關(guān)系呢？觀察圖4：過兩半平面的交線l上一點(diǎn)A分別作AB⊥l，AC⊥l，則∠BAC為兩半平面所成二面角的平面角，我們設(shè)∠BAC=θ.

（1）當(dāng)法向量n1和n2方向?qū)τ趦蓚€(gè)半平面是同進(jìn)或者同出時(shí)，θ=π-；

（2）當(dāng)法向量n1和n2方向?qū)τ趦蓚€(gè)半平面是一進(jìn)一出時(shí)，θ=；

怎么判斷兩個(gè)法向量的方向呢，我們首先借助于向量輔助法：

如果n1·AC>0時(shí)，法向量n1是進(jìn)；如果n1·AC<0時(shí)，法向量n1是出；同理，如果n2·AB>0時(shí)，法向量n2是進(jìn)；如果n2·AB<0時(shí)，法向量n2是出.特別注意，這里的輔助向量必須是從兩個(gè)半平面的公共直線上一點(diǎn)引出的.

在圖3中，對于例題中我們求出的法向量n1=（1，-1，2），n2=（1，1，2），BA=（-2，-2，0），BC=（-2，2，0），n1·BC<0，n2·BA<0，則法向量n1對于平面ABD是出的，法向量n2對于平面CBD也是出的，兩個(gè)法向量都是同出的，所以θ=π-，即

cosθ=cos（π-）=-cos=-12.

2.3 向量輔助法2

我們借助于向量輔助法1的技巧，在圖4中，在兩個(gè)半平面各取一點(diǎn)B，C，構(gòu)造向量BC